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19. (9分)已知a、b、c在数轴上的对应点位置如图2所示.
(1)判断正、负,用“＞”“＜”填空:
a+b 0;c−a 0;b+c 0.
(2)化简:
|a|−|a+b|+|c−a|+|b+c|.
(1)判断正、负,用“＞”“＜”填空:
a+b 0;c−a 0;b+c 0.
(2)化简:
|a|−|a+b|+|c−a|+|b+c|.
答案
(1) $\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$；(2) 化简结果为$\boldsymbol{3a-2c}$。
解析
【分析】
首先根据数轴上点的位置规律“数轴上右边的数总大于左边的数”，可得出$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，且$\vert c\vert ＞ \vert b\vert ＞ \vert a\vert$。对于(1)，根据有理数加减法的符号判断规则：异号两数相加取绝对值更大的数的符号，小数减大数结果为负，两个负数相加和为负，即可判断三个式子的正负。对于(2)，依据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，先去掉绝对值符号，再合并同类项即可完成化简。
【解析】
解：由数轴可得：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，且$\vert c\vert ＞ \vert b\vert ＞ \vert a\vert$。
(1) ① $\because a＞0,b＜0,\vert b\vert ＞\vert a\vert$，异号两数相加取绝对值较大的数的符号，$\therefore a+b ＜ 0$；
② $\because c ＜ a$，小数减大数结果为负，$\therefore c-a ＜ 0$；
③ $\because b＜0,c＜0$，两个负数相加和为负，$\therefore b+c ＜ 0$。
(2) 根据绝对值的性质化简：
$\because a＞0$，$\therefore \vert a\vert =a$；
$\because a+b＜0$，$\therefore \vert a+b\vert =-(a+b)$；
$\because c-a＜0$，$\therefore \vert c-a\vert =-(c-a)=a-c$；
$\because b+c＜0$，$\therefore \vert b+c\vert =-(b+c)$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}\vert a\vert-\vert a+b\vert+\vert c-a\vert+\vert b+c\vert &= a - [-(a+b)] + (a-c) + [-(b+c)] \\&= a+a+b+a-c-b-c \\&= 3a-2c\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$；(2) $\boldsymbol{3a-2c}$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是数轴与代数化简的综合基础题，解题核心是先通过数轴明确各数的正负和绝对值大小关系，再结合绝对值的性质去绝对值符号，最后进行整式加减运算即可，需要注意去绝对值时符号的变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
首先根据数轴上点的位置规律“数轴上右边的数总大于左边的数”，可得出$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，且$\vert c\vert ＞ \vert b\vert ＞ \vert a\vert$。对于(1)，根据有理数加减法的符号判断规则：异号两数相加取绝对值更大的数的符号，小数减大数结果为负，两个负数相加和为负，即可判断三个式子的正负。对于(2)，依据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，先去掉绝对值符号，再合并同类项即可完成化简。
【解析】
解：由数轴可得：$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，且$\vert c\vert ＞ \vert b\vert ＞ \vert a\vert$。
(1) ① $\because a＞0,b＜0,\vert b\vert ＞\vert a\vert$，异号两数相加取绝对值较大的数的符号，$\therefore a+b ＜ 0$；
② $\because c ＜ a$，小数减大数结果为负，$\therefore c-a ＜ 0$；
③ $\because b＜0,c＜0$，两个负数相加和为负，$\therefore b+c ＜ 0$。
(2) 根据绝对值的性质化简：
$\because a＞0$，$\therefore \vert a\vert =a$；
$\because a+b＜0$，$\therefore \vert a+b\vert =-(a+b)$；
$\because c-a＜0$，$\therefore \vert c-a\vert =-(c-a)=a-c$；
$\because b+c＜0$，$\therefore \vert b+c\vert =-(b+c)$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}\vert a\vert-\vert a+b\vert+\vert c-a\vert+\vert b+c\vert &= a - [-(a+b)] + (a-c) + [-(b+c)] \\&= a+a+b+a-c-b-c \\&= 3a-2c\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$，$\boldsymbol{＜}$；(2) $\boldsymbol{3a-2c}$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是数轴与代数化简的综合基础题，解题核心是先通过数轴明确各数的正负和绝对值大小关系，再结合绝对值的性质去绝对值符号，最后进行整式加减运算即可，需要注意去绝对值时符号的变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
20. (9分)已知$5a+2$的立方根是3，$b+1$是9的平方根，$c$是$\sqrt{13}$的整数部分，求$a+b+c$的值.
答案
解：
∵ 5a+2的立方根是3，
∴ 5a+2 = 3³ = 27，
解得 a = 5。
∵ b+1是9的平方根，
∴ b+1 = ±3，
当b+1=3时，b=2；当b+1=-3时，b=-4。
∵ 3² ＜ 13 ＜ 4²，即3 ＜ √13 ＜ 4，
∴ √13的整数部分c=3。
当a=5，b=2，c=3时，a+b+c=5+2+3=10；
当a=5，b=-4，c=3时，a+b+c=5+(-4)+3=4。
综上，a+b+c的值为10或4。
∵ 5a+2的立方根是3，
∴ 5a+2 = 3³ = 27，
解得 a = 5。
∵ b+1是9的平方根，
∴ b+1 = ±3，
当b+1=3时，b=2；当b+1=-3时，b=-4。
∵ 3² ＜ 13 ＜ 4²，即3 ＜ √13 ＜ 4，
∴ √13的整数部分c=3。
当a=5，b=2，c=3时，a+b+c=5+2+3=10；
当a=5，b=-4，c=3时，a+b+c=5+(-4)+3=4。
综上，a+b+c的值为10或4。
解析
【分析】
解题时需先根据已知条件分别求出a、b、c的值，再代入计算a+b+c即可。①求a：根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程可求出a的值；②求b：根据平方根的定义，9的平方根有两个，互为相反数，即±3，因此b+1有两种取值，需分类讨论求出b的两个可能值；③求c：要确定√13的整数部分，先找与13相邻的两个完全平方数，确定√13的取值范围，即可得到其整数部分c；最后分两种情况计算a+b+c的结果，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵ 5a+2的立方根是3，
∴ 5a+2 = 3³ = 27，
解得 a = 5。
∵ b+1是9的平方根，
∴ b+1 = ±√9 = ±3，
当b+1=3时，b=2；当b+1=-3时，b=-4。
∵ 3² = 9，4² = 16，9 ＜ 13 ＜ 16，
∴ 3 ＜ √13 ＜ 4，即√13的整数部分c=3。
分两种情况计算：
当a=5，b=2，c=3时，a+b+c=5+2+3=10；
当a=5，b=-4，c=3时，a+b+c=5+(-4)+3=4。
【答案】
10或4
【知识点】
立方根的定义；平方根的定义；无理数的估算
【点评】
本题重点考查对平方根、立方根概念的掌握和无理数估算的能力，解题时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解，分类讨论时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
解题时需先根据已知条件分别求出a、b、c的值，再代入计算a+b+c即可。①求a：根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程可求出a的值；②求b：根据平方根的定义，9的平方根有两个，互为相反数，即±3，因此b+1有两种取值，需分类讨论求出b的两个可能值；③求c：要确定√13的整数部分，先找与13相邻的两个完全平方数，确定√13的取值范围，即可得到其整数部分c；最后分两种情况计算a+b+c的结果，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵ 5a+2的立方根是3，
∴ 5a+2 = 3³ = 27，
解得 a = 5。
∵ b+1是9的平方根，
∴ b+1 = ±√9 = ±3，
当b+1=3时，b=2；当b+1=-3时，b=-4。
∵ 3² = 9，4² = 16，9 ＜ 13 ＜ 16，
∴ 3 ＜ √13 ＜ 4，即√13的整数部分c=3。
分两种情况计算：
当a=5，b=2，c=3时，a+b+c=5+2+3=10；
当a=5，b=-4，c=3时，a+b+c=5+(-4)+3=4。
【答案】
10或4
【知识点】
立方根的定义；平方根的定义；无理数的估算
【点评】
本题重点考查对平方根、立方根概念的掌握和无理数估算的能力，解题时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解，分类讨论时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
