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6.(1)0.15°=
(2)4 320″=
(3)45°23′45″≈
9
′= 540
″；(2)4 320″=
72
′= 1.2
°；(3)45°23′45″≈
45.396
°(精确到0.001°)。答案
6.(1)9 540 (2)72 1.2 (3)45.396
解析
【分析】
解题前先明确度、分、秒为60进制的换算规则：$1°=60'$，$1'=60''$，大单位换算为小单位时乘进率60，小单位换算为大单位时除以进率60。(1)是度转分、秒，属于大单位转小单位，依次乘60即可；(2)是秒转分、度，属于小单位转大单位，依次除以60即可；(3)是复合单位转单一的度单位，先把秒换算成分，再把分换算成度，和原有度数相加后按要求取近似值即可。
【解析】
根据度分秒60进制换算规则计算：
(1) $0.15°=0.15×60'=9'$，$9'=9×60''=540''$；
(2) $4320''=4320÷60'=72'$，$72'=72÷60°=1.2°$；
(3) 先换算秒为分：$45''=45÷60'=0.75'$，则$23'45''=23'+0.75'=23.75'$；
再换算分为度：$23.75'=23.75÷60°\approx0.3958°$；
因此$45°23'45''\approx45°+0.3958°\approx45.396°$（精确到0.001°）。
【答案】
(1)9，540；(2)72，1.2；(3)45.396
【知识点】
1.度分秒的换算 2.近似数的精确度
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制换算规则，注意区分不同单位换算时乘、除进率的适用场景，取近似值时要符合给定的精确度要求，熟练掌握该知识点可为后续角度的四则运算打好基础。
【难度系数】
0.8
解题前先明确度、分、秒为60进制的换算规则：$1°=60'$，$1'=60''$，大单位换算为小单位时乘进率60，小单位换算为大单位时除以进率60。(1)是度转分、秒，属于大单位转小单位，依次乘60即可；(2)是秒转分、度，属于小单位转大单位，依次除以60即可；(3)是复合单位转单一的度单位，先把秒换算成分，再把分换算成度，和原有度数相加后按要求取近似值即可。
【解析】
根据度分秒60进制换算规则计算：
(1) $0.15°=0.15×60'=9'$，$9'=9×60''=540''$；
(2) $4320''=4320÷60'=72'$，$72'=72÷60°=1.2°$；
(3) 先换算秒为分：$45''=45÷60'=0.75'$，则$23'45''=23'+0.75'=23.75'$；
再换算分为度：$23.75'=23.75÷60°\approx0.3958°$；
因此$45°23'45''\approx45°+0.3958°\approx45.396°$（精确到0.001°）。
【答案】
(1)9，540；(2)72，1.2；(3)45.396
【知识点】
1.度分秒的换算 2.近似数的精确度
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制换算规则，注意区分不同单位换算时乘、除进率的适用场景，取近似值时要符合给定的精确度要求，熟练掌握该知识点可为后续角度的四则运算打好基础。
【难度系数】
0.8
7.如图所示。
(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)图中共有几个角(不包括平角和周角)？
(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)图中共有几个角(不包括平角和周角)？
答案
7.解:(1)能用一个字母表示的角是∠A,∠C。
(2)图中共有9个角。
(2)图中共有9个角。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确角的表示规则：只有当某个顶点处仅有一个角时，该角才可以用表示顶点的单个大写字母表示，只需逐个排查各顶点处角的数量即可找到符合要求的角。
(2) 解决第二问数角的问题，为避免重复或遗漏，可按顶点分类计数，依次统计每个顶点处小于平角的角的个数，最后求和得到总个数。
【解析】
(1) 观察图形可知：顶点A处只有1个角，顶点C处只有1个角，顶点B、D处均存在多个角，因此能用一个字母表示的角是∠A、∠C。
(2) 按顶点逐个统计小于平角的角：
① 顶点A处：共1个，为∠A；
② 顶点B处：共3个，分别为∠ABD、∠DBC、∠ABC；
③ 顶点C处：共1个，为∠C；
④ 顶点D处：共4个，分别为∠ADB、∠BDC、∠CDE、∠EDA；
总个数为$1+3+1+4=9$，即图中共有9个符合要求的角。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A}$，$\boldsymbol{∠C}$；
(2) $\boldsymbol{9}$个。
【知识点】
角的表示；角的计数
【点评】
本题属于角的基础题型，解题核心是掌握角的表示规则，计数时按顶点分类统计的方法能有效降低漏数、重复数的错误概率。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问首先要明确角的表示规则：只有当某个顶点处仅有一个角时，该角才可以用表示顶点的单个大写字母表示，只需逐个排查各顶点处角的数量即可找到符合要求的角。
(2) 解决第二问数角的问题，为避免重复或遗漏，可按顶点分类计数，依次统计每个顶点处小于平角的角的个数，最后求和得到总个数。
【解析】
(1) 观察图形可知：顶点A处只有1个角，顶点C处只有1个角，顶点B、D处均存在多个角，因此能用一个字母表示的角是∠A、∠C。
(2) 按顶点逐个统计小于平角的角：
① 顶点A处：共1个，为∠A；
② 顶点B处：共3个，分别为∠ABD、∠DBC、∠ABC；
③ 顶点C处：共1个，为∠C；
④ 顶点D处：共4个，分别为∠ADB、∠BDC、∠CDE、∠EDA；
总个数为$1+3+1+4=9$，即图中共有9个符合要求的角。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A}$，$\boldsymbol{∠C}$；
(2) $\boldsymbol{9}$个。
【知识点】
角的表示；角的计数
【点评】
本题属于角的基础题型，解题核心是掌握角的表示规则，计数时按顶点分类统计的方法能有效降低漏数、重复数的错误概率。
【难度系数】
0.8
8. 下列关于平角、周角的说法正确的是(
A.平角是一条直线
B.周角是一条射线
C.反向延长射线OA，就形成一个平角
D.两个锐角的和不一定小于平角
C
)。A.平角是一条直线
B.周角是一条射线
C.反向延长射线OA，就形成一个平角
D.两个锐角的和不一定小于平角
答案
8.C
解析
【分析】
这道题考查平角、周角、锐角的相关概念，解题时需先明确各类角的定义，再逐个对照选项判断正误即可。首先回忆核心定义：平角是由具有公共端点的两条反向共线的射线组成的角，有顶点和两条边，和直线有本质区别；周角是射线绕端点旋转一周，终边与始边重合形成的角，有顶点和两条重合的边，和射线不同；锐角是大于0°小于90°的角，结合以上定义逐一分析选项就能得出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 平角有顶点和两条边，而直线没有顶点，二者本质不同，因此平角不是一条直线，该选项错误。
B. 周角有顶点和两条重合的边，射线只有一个端点、一条边，二者本质不同，因此周角不是一条射线，该选项错误。
C. 反向延长射线OA后，以O为公共顶点，射线OA和反向延长得到的射线为两条边，两条边反向共线，符合平角的定义，因此可以形成一个平角，该选项正确。
D. 锐角的范围是$0°＜\mathrm{锐角}＜90°$，因此两个锐角的和$＜90°+90°=180°$，即两个锐角的和一定小于平角（平角为$180°$），该选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平角的定义；周角的定义；锐角的概念
【点评】
这道题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆平角与直线、周角与射线的区别，解题的关键是牢牢掌握各类角的构成要素，结合定义判断即可。
【难度系数】
0.8
这道题考查平角、周角、锐角的相关概念，解题时需先明确各类角的定义，再逐个对照选项判断正误即可。首先回忆核心定义：平角是由具有公共端点的两条反向共线的射线组成的角，有顶点和两条边，和直线有本质区别；周角是射线绕端点旋转一周，终边与始边重合形成的角，有顶点和两条重合的边，和射线不同；锐角是大于0°小于90°的角，结合以上定义逐一分析选项就能得出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 平角有顶点和两条边，而直线没有顶点，二者本质不同，因此平角不是一条直线，该选项错误。
B. 周角有顶点和两条重合的边，射线只有一个端点、一条边，二者本质不同，因此周角不是一条射线，该选项错误。
C. 反向延长射线OA后，以O为公共顶点，射线OA和反向延长得到的射线为两条边，两条边反向共线，符合平角的定义，因此可以形成一个平角，该选项正确。
D. 锐角的范围是$0°＜\mathrm{锐角}＜90°$，因此两个锐角的和$＜90°+90°=180°$，即两个锐角的和一定小于平角（平角为$180°$），该选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平角的定义；周角的定义；锐角的概念
【点评】
这道题属于基础概念辨析题，易错点是容易混淆平角与直线、周角与射线的区别，解题的关键是牢牢掌握各类角的构成要素，结合定义判断即可。
【难度系数】
0.8
9.若∠1=75°30′，∠2=75.3°，∠3=75.5°，则(
A.∠1=∠2
B.∠2=∠3
C.∠1=∠3
D.∠1,∠2,∠3都不相等
C
)。A.∠1=∠2
B.∠2=∠3
C.∠1=∠3
D.∠1,∠2,∠3都不相等
答案
9.C
解析
【分析】
要比较三个角的大小，首先需要统一角度的单位，本题涉及度和分两种单位，需要利用度与分的换算进率：1°=60′，将不同单位表示的角转化为同单位的角，再进行大小比较即可得出正确选项。
【解析】
首先进行角度单位换算：
∵1°=60′，
∴30′=30÷60=0.5°，
∴∠1=75°30′=75°+0.5°=75.5°。
已知∠2=75.3°，∠3=75.5°，
对比可得：∠1=∠3≠∠2。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题核心考查角度单位的换算能力，牢记度和分的换算进率是解题的前提，注意不要将度分的进率和十进制混淆，此类题型属于基础常考题，掌握换算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要比较三个角的大小，首先需要统一角度的单位，本题涉及度和分两种单位，需要利用度与分的换算进率：1°=60′，将不同单位表示的角转化为同单位的角，再进行大小比较即可得出正确选项。
【解析】
首先进行角度单位换算：
∵1°=60′，
∴30′=30÷60=0.5°，
∴∠1=75°30′=75°+0.5°=75.5°。
已知∠2=75.3°，∠3=75.5°，
对比可得：∠1=∠3≠∠2。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题核心考查角度单位的换算能力，牢记度和分的换算进率是解题的前提，注意不要将度分的进率和十进制混淆，此类题型属于基础常考题，掌握换算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
10.已知∠AOB=120°,OC在它的内部,且把∠AOB分成1:3的两个角,则∠AOC=
30°或90°
。答案
10.30°或90°
解析
【分析】
题目已知∠AOB的度数，OC将其分成1:3的两个角，但未明确∠AOC是占1份还是3份，因此需要分两种情况讨论求解。首先计算比例对应的每份角度，再分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
解：
∵ OC把∠AOB分成1:3的两个角，
∴ 两个角的总份数为$1+3=4$（份），
每份对应的角度为：$120°÷4=30°$。
分两种情况讨论：
① 当$∠ AOC:∠ COB=1:3$时，$∠ AOC$占1份，
$∠ AOC=1×30°=30°$；
② 当$∠ AOC:∠ COB=3:1$时，$∠ AOC$占3份，
$∠ AOC=3×30°=90°$。
综上，$∠ AOC$的度数为$30°$或$90°$。
【答案】
$30°$或$90°$
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想，比例计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略OC的位置不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时需注意当题目未明确角的大小关系时，要全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
题目已知∠AOB的度数，OC将其分成1:3的两个角，但未明确∠AOC是占1份还是3份，因此需要分两种情况讨论求解。首先计算比例对应的每份角度，再分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
解：
∵ OC把∠AOB分成1:3的两个角，
∴ 两个角的总份数为$1+3=4$（份），
每份对应的角度为：$120°÷4=30°$。
分两种情况讨论：
① 当$∠ AOC:∠ COB=1:3$时，$∠ AOC$占1份，
$∠ AOC=1×30°=30°$；
② 当$∠ AOC:∠ COB=3:1$时，$∠ AOC$占3份，
$∠ AOC=3×30°=90°$。
综上，$∠ AOC$的度数为$30°$或$90°$。
【答案】
$30°$或$90°$
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想，比例计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略OC的位置不确定性，只考虑其中一种情况导致漏解，解题时需注意当题目未明确角的大小关系时，要全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
11.【数学应用】如图，A，B，C三点表示三个城市，地图被损坏了一部分，C的具体位置看不清楚了，但知道C在A的北偏东$60°$方向上，在B的南偏东$45°$方向上，请你确定C的位置。
答案
11.解:如图,分别作出表示 A 点北偏东 60°方向和 B 点南偏东 45°方向的射线,交点就是所求C 城市的位置。
解析
【分析】
要确定C点的位置，需结合它满足的两个方位条件思考：①C在A的北偏东60°方向，说明C在以A为观测点、北偏东60°的射线上；②C在B的南偏东45°方向，说明C也在以B为观测点、南偏东45°的射线上。同时满足两个条件的点就是两条射线的交点，也就是所求的C点。
【解析】
1. 以A为顶点，建立“上北下南、左西右东”的方向标，从A的正北方向向东偏转60°画出一条射线，该射线上所有点都满足在A的北偏东60°方向；
2. 以B为顶点，同样建立“上北下南、左西右东”的方向标，从B的正南方向向东偏转45°画出一条射线，该射线上所有点都满足在B的南偏东45°方向；
3. 两条射线的交点即为城市C的位置。
【答案】
解:如图,分别作出表示 A 点北偏东 60°方向和 B 点南偏东 45°方向的射线,交点就是所求C 城市的位置。
【知识点】
方向角的应用，位置的确定
【点评】
本题结合生活实际考查利用方位角确定点位置的方法，解题的核心是理解要确定一个点的位置，需要两个不同的定位条件，两个条件对应射线的交点即为所求，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要确定C点的位置，需结合它满足的两个方位条件思考：①C在A的北偏东60°方向，说明C在以A为观测点、北偏东60°的射线上；②C在B的南偏东45°方向，说明C也在以B为观测点、南偏东45°的射线上。同时满足两个条件的点就是两条射线的交点，也就是所求的C点。
【解析】
1. 以A为顶点，建立“上北下南、左西右东”的方向标，从A的正北方向向东偏转60°画出一条射线，该射线上所有点都满足在A的北偏东60°方向；
2. 以B为顶点，同样建立“上北下南、左西右东”的方向标，从B的正南方向向东偏转45°画出一条射线，该射线上所有点都满足在B的南偏东45°方向；
3. 两条射线的交点即为城市C的位置。
【答案】
解:如图,分别作出表示 A 点北偏东 60°方向和 B 点南偏东 45°方向的射线,交点就是所求C 城市的位置。
【知识点】
方向角的应用，位置的确定
【点评】
本题结合生活实际考查利用方位角确定点位置的方法，解题的核心是理解要确定一个点的位置，需要两个不同的定位条件，两个条件对应射线的交点即为所求，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
12.【综合与实践】如图，以点B为顶点的角有几个？请把它们表示出来。以点D为顶点的角（平角和周角除外）有几个？请把它们表示出来。
答案
12.解:以点 B 为顶点的角有 3 个,分别是∠ABD,∠ABC,∠DBC;以点 D 为顶点的角(平角和周角除外)有 4 个,分别是∠ADE,∠EDC,∠ADB,∠BDC。
解析
【分析】
数指定顶点的角时，要先固定顶点，找出以该顶点为端点的所有射线，再按固定起始边依次匹配终边的方法计数，避免重复或遗漏。先处理以B为顶点的角：先找到从B出发的所有射线，再按顺序两两组合得到所有角；再处理以D为顶点的角：先找到以D为端点的射线，结合题目“平角和周角除外”的要求，仅计数小于平角的角，同样按顺序计数即可。
【解析】
1. 计数以点B为顶点的角：
以B为端点的射线有BA、BD、BC共3条，按顺序计数：
以BA为一边的角有∠ABD、∠ABC；
以BD为一边、且未被计数过的角有∠DBC；
共3个角。
2. 计数以点D为顶点的角（平角、周角除外）：
以D为端点的射线有DA、DB、DC、DE共4条，仅统计小于平角的角，按顺序计数：
以DA为一边的角有∠ADE、∠ADB；
以DB为一边、且未被计数过的角有∠BDC；
以DC为一边、且未被计数过的角有∠EDC；
共4个角。
【答案】
以点B为顶点的角有3个，分别是∠ABD，∠ABC，∠DBC；以点D为顶点的角(平角和周角除外)有4个，分别是∠ADE，∠EDC，∠ADB，∠BDC。
【知识点】
角的表示；角的计数
【点评】
本题考查角的计数与表示，解题时按固定顺序数角可有效避免重复计数或漏记的问题，同时要注意审题，明确题目对计数范围的限制要求。
【难度系数】
0.8
数指定顶点的角时，要先固定顶点，找出以该顶点为端点的所有射线，再按固定起始边依次匹配终边的方法计数，避免重复或遗漏。先处理以B为顶点的角：先找到从B出发的所有射线，再按顺序两两组合得到所有角；再处理以D为顶点的角：先找到以D为端点的射线，结合题目“平角和周角除外”的要求，仅计数小于平角的角，同样按顺序计数即可。
【解析】
1. 计数以点B为顶点的角：
以B为端点的射线有BA、BD、BC共3条，按顺序计数：
以BA为一边的角有∠ABD、∠ABC；
以BD为一边、且未被计数过的角有∠DBC；
共3个角。
2. 计数以点D为顶点的角（平角、周角除外）：
以D为端点的射线有DA、DB、DC、DE共4条，仅统计小于平角的角，按顺序计数：
以DA为一边的角有∠ADE、∠ADB；
以DB为一边、且未被计数过的角有∠BDC；
以DC为一边、且未被计数过的角有∠EDC；
共4个角。
【答案】
以点B为顶点的角有3个，分别是∠ABD，∠ABC，∠DBC；以点D为顶点的角(平角和周角除外)有4个，分别是∠ADE，∠EDC，∠ADB，∠BDC。
【知识点】
角的表示；角的计数
【点评】
本题考查角的计数与表示，解题时按固定顺序数角可有效避免重复计数或漏记的问题，同时要注意审题，明确题目对计数范围的限制要求。
【难度系数】
0.8
