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6.某经营者购进了 A 型和 B 型两种玩具，已知用 520 元购进 A 型玩具的数量比用175 元购进 B 型玩具的数量多 30 个，且 A 型玩具的单价是 B 型玩具单价的 1.6 倍.
(1)两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程.
甲：$\frac{520}{1.6x}=\frac{175}{x}+30$，解得 $x=5$，经检验 $x=5$ 是原分式方程的解.
乙：$\frac{520}{x}=1.6×\frac{175}{x-30}$，解得 $x=65$，经检验 $x=65$ 是原分式方程的解.
则甲所列方程中的 $x$ 表示
乙所列方程中的 $x$ 表示
(2)该经营者准备了 1 350 元，打算以原单价再次购进这两种型号的玩具共 200个，则最多可购进 A 型玩具多少个？
(1)两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程.
甲：$\frac{520}{1.6x}=\frac{175}{x}+30$，解得 $x=5$，经检验 $x=5$ 是原分式方程的解.
乙：$\frac{520}{x}=1.6×\frac{175}{x-30}$，解得 $x=65$，经检验 $x=65$ 是原分式方程的解.
则甲所列方程中的 $x$ 表示
B型玩具的单价
，乙所列方程中的 $x$ 表示
用520元购进的A型玩具的数量
.(2)该经营者准备了 1 350 元，打算以原单价再次购进这两种型号的玩具共 200个，则最多可购进 A 型玩具多少个？
答案
6. 解 (1) B型玩具的单价 用520元购进的A型玩具的数量
(2)由(1)知B型玩具的单价为5元,则A型玩具的单价为$5×1.6=8$(元).
设可购进A型玩具$a$个,则购进B型玩具$(200-a)$个.根据题意,得
$8a+5(200-a)≤1350$,
解得$a≤116\frac{2}{3}$.
因为$a$为正整数,所以$a$的最大值是116.
答:最多可购进A型玩具116个.
(2)由(1)知B型玩具的单价为5元,则A型玩具的单价为$5×1.6=8$(元).
设可购进A型玩具$a$个,则购进B型玩具$(200-a)$个.根据题意,得
$8a+5(200-a)≤1350$,
解得$a≤116\frac{2}{3}$.
因为$a$为正整数,所以$a$的最大值是116.
答:最多可购进A型玩具116个.
解析
【分析】
（1）要判断方程中未知数x的意义，需结合题目给出的两个核心等量关系：①A型玩具单价=1.6×B型玩具单价；②用520元购进A型玩具的数量=用175元购进B型玩具的数量+30，对照甲、乙所列方程每一项的实际含义即可判断x的意义。
（2）解决最值问题首先要从（1）的结论中得到两种玩具的单价，再设购进A型玩具的数量为未知数，用含未知数的代数式表示购进B型玩具的数量，根据总费用不超过1350元列一元一次不等式，求解后结合玩具数量为正整数的实际要求，取符合条件的最大整数即可。
【解析】
（1）分析甲的方程：方程中1.6x是x的1.6倍，对应“A型单价是B型单价的1.6倍”的关系，其中$\frac{175}{x}$表示用175元购进B型玩具的数量，$\frac{520}{1.6x}$表示用520元购进A型玩具的数量，符合A型数量比B型多30个的等量关系，因此甲所列方程中的x表示B型玩具的单价。
分析乙的方程：方程中x与x-30相差30，对应“A型数量比B型多30个”的关系，其中$\frac{520}{x}$表示A型玩具的单价，$\frac{175}{x-30}$表示B型玩具的单价，符合A型单价是B型1.6倍的等量关系，因此乙所列方程中的x表示用520元购进的A型玩具的数量。
（2）由（1）可知B型玩具的单价为5元，因此A型玩具的单价为$5×1.6=8$（元）。
设可购进A型玩具$a$个，则购进B型玩具$(200-a)$个，根据总费用不超过1350元列不等式：
$8a + 5(200-a) ≤ 1350$
去括号得：$8a + 1000 - 5a ≤ 1350$
合并同类项得：$3a ≤ 350$
系数化为1得：$a ≤ 116\frac{2}{3}$
因为$a$表示玩具数量，必须为正整数，所以$a$的最大取值为116。
【答案】
（1）B型玩具的单价；用520元购进的A型玩具的数量
（2）最多可购进A型玩具116个
【知识点】
1. 分式方程的意义
2. 一元一次不等式的应用
3. 总价数量关系
【点评】
本题结合实际经营场景命题，既考查了对分式方程中未知数实际意义的理解能力，又考查了利用不等式解决实际最值问题的应用能力，解题时需注意不等式的解要符合实际生活中物品数量为正整数的要求。
【难度系数】
0.7
（1）要判断方程中未知数x的意义，需结合题目给出的两个核心等量关系：①A型玩具单价=1.6×B型玩具单价；②用520元购进A型玩具的数量=用175元购进B型玩具的数量+30，对照甲、乙所列方程每一项的实际含义即可判断x的意义。
（2）解决最值问题首先要从（1）的结论中得到两种玩具的单价，再设购进A型玩具的数量为未知数，用含未知数的代数式表示购进B型玩具的数量，根据总费用不超过1350元列一元一次不等式，求解后结合玩具数量为正整数的实际要求，取符合条件的最大整数即可。
【解析】
（1）分析甲的方程：方程中1.6x是x的1.6倍，对应“A型单价是B型单价的1.6倍”的关系，其中$\frac{175}{x}$表示用175元购进B型玩具的数量，$\frac{520}{1.6x}$表示用520元购进A型玩具的数量，符合A型数量比B型多30个的等量关系，因此甲所列方程中的x表示B型玩具的单价。
分析乙的方程：方程中x与x-30相差30，对应“A型数量比B型多30个”的关系，其中$\frac{520}{x}$表示A型玩具的单价，$\frac{175}{x-30}$表示B型玩具的单价，符合A型单价是B型1.6倍的等量关系，因此乙所列方程中的x表示用520元购进的A型玩具的数量。
（2）由（1）可知B型玩具的单价为5元，因此A型玩具的单价为$5×1.6=8$（元）。
设可购进A型玩具$a$个，则购进B型玩具$(200-a)$个，根据总费用不超过1350元列不等式：
$8a + 5(200-a) ≤ 1350$
去括号得：$8a + 1000 - 5a ≤ 1350$
合并同类项得：$3a ≤ 350$
系数化为1得：$a ≤ 116\frac{2}{3}$
因为$a$表示玩具数量，必须为正整数，所以$a$的最大取值为116。
【答案】
（1）B型玩具的单价；用520元购进的A型玩具的数量
（2）最多可购进A型玩具116个
【知识点】
1. 分式方程的意义
2. 一元一次不等式的应用
3. 总价数量关系
【点评】
本题结合实际经营场景命题，既考查了对分式方程中未知数实际意义的理解能力，又考查了利用不等式解决实际最值问题的应用能力，解题时需注意不等式的解要符合实际生活中物品数量为正整数的要求。
【难度系数】
0.7
7.列分式方程解应用题
【问题呈现】
为满足流感疫苗的接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原先提高了20%,现在生产540万剂疫苗所用的时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天.求原先每天生产多少万剂疫苗.
【分析交流】
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理,请你把表格内容补充完整.
【建模解答】
(2)请你完整解答本题.
【问题呈现】
为满足流感疫苗的接种需求,某生物科技公司开启“加速”模式,生产效率比原先提高了20%,现在生产540万剂疫苗所用的时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天.求原先每天生产多少万剂疫苗.
【分析交流】
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理,请你把表格内容补充完整.
【建模解答】
(2)请你完整解答本题.
答案
7. 解 (1) 510 540 $(1+20\%)x$
(2)设原先每天生产$x$万剂疫苗,则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗.根据题意,得$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$.
解得$x=75$.
经检验,$x=75$是原分式方程的解,且符合题意.
答:原先每天生产75万剂疫苗.
(2)设原先每天生产$x$万剂疫苗,则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗.根据题意,得$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$.
解得$x=75$.
经检验,$x=75$是原分式方程的解,且符合题意.
答:原先每天生产75万剂疫苗.
解析
【分析】
（1）梳理题目已知信息：原先的生产任务是生产510万剂疫苗，因此原先生产总量对应为510万剂；现在的生产任务是生产540万剂疫苗，因此现在生产总量对应为540万剂；已知现在生产效率比原先提高20%，原先每天生产量为x万剂，因此现在每天生产量是原先的(1+20%)倍，即$(1+20\%)x$万剂。
（2）本题核心是找到时间的等量关系：原先生产510万剂的时间减去现在生产540万剂的时间等于0.8天，而生产时间=生产总量÷每天生产量，代入对应量即可列出分式方程，求解后需检验根是否为原方程的解且符合实际意义，最后作答即可。
【解析】
（1）根据分析补充表格：原先生产总量填510，现在生产总量填540，现在每天生产量填$(1+20\%)x$。
（2）设原先每天生产$x$万剂疫苗，则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗。
根据题意列方程：
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$
化简得：$\frac{510}{x}-\frac{450}{x}=0.8$
合并得：$\frac{60}{x}=0.8$
解得$x=75$。
检验：当$x=75$时，$(1+20\%)x=90≠0$，因此$x=75$是原分式方程的解，且符合实际生产情况。
【答案】
(1) $\boldsymbol{510}$，$\boldsymbol{540}$，$\boldsymbol{(1+20\%)x}$
(2) 原先每天生产$\boldsymbol{75}$万剂疫苗。
【知识点】
分式方程的应用，工作量问题，分式方程检验
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，解题关键是掌握工作时间、工作总量、工作效率三者的数量关系，找准等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须双重检验，既要排除增根，还要验证解是否符合实际题意。
【难度系数】
0.7
（1）梳理题目已知信息：原先的生产任务是生产510万剂疫苗，因此原先生产总量对应为510万剂；现在的生产任务是生产540万剂疫苗，因此现在生产总量对应为540万剂；已知现在生产效率比原先提高20%，原先每天生产量为x万剂，因此现在每天生产量是原先的(1+20%)倍，即$(1+20\%)x$万剂。
（2）本题核心是找到时间的等量关系：原先生产510万剂的时间减去现在生产540万剂的时间等于0.8天，而生产时间=生产总量÷每天生产量，代入对应量即可列出分式方程，求解后需检验根是否为原方程的解且符合实际意义，最后作答即可。
【解析】
（1）根据分析补充表格：原先生产总量填510，现在生产总量填540，现在每天生产量填$(1+20\%)x$。
（2）设原先每天生产$x$万剂疫苗，则现在每天生产$(1+20\%)x$万剂疫苗。
根据题意列方程：
$\frac{510}{x}-\frac{540}{(1+20\%)x}=0.8$
化简得：$\frac{510}{x}-\frac{450}{x}=0.8$
合并得：$\frac{60}{x}=0.8$
解得$x=75$。
检验：当$x=75$时，$(1+20\%)x=90≠0$，因此$x=75$是原分式方程的解，且符合实际生产情况。
【答案】
(1) $\boldsymbol{510}$，$\boldsymbol{540}$，$\boldsymbol{(1+20\%)x}$
(2) 原先每天生产$\boldsymbol{75}$万剂疫苗。
【知识点】
分式方程的应用，工作量问题，分式方程检验
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，解题关键是掌握工作时间、工作总量、工作效率三者的数量关系，找准等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须双重检验，既要排除增根，还要验证解是否符合实际题意。
【难度系数】
0.7
