登录
典例1 计算：
(1)$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^2 -1}$；
(2)$( \frac{-a}{3b} )^2 · ( \frac{3b}{-c} )^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2}$；
(3)$( x -1 - \frac{8}{x+1} ) ÷ \frac{x^2 +6x +9}{x+1}$。
(1)$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^2 -1}$；
(2)$( \frac{-a}{3b} )^2 · ( \frac{3b}{-c} )^3 ÷ \frac{ab^2}{c^2}$；
(3)$( x -1 - \frac{8}{x+1} ) ÷ \frac{x^2 +6x +9}{x+1}$。
答案
解：
(1)
原式$=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1}{x-1}$
(2)
原式$=\frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2}$
$=-\frac{27a^2b^3c^2}{9ab^4c^3}$
$=-\frac{3a}{bc}$
(3)
原式$=[\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}-\frac{8}{x+1}] · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{x^2-1-8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{x^2-9}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\frac{x-3}{x+3}$
(1)
原式$=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1}{x-1}$
(2)
原式$=\frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2}$
$=-\frac{27a^2b^3c^2}{9ab^4c^3}$
$=-\frac{3a}{bc}$
(3)
原式$=[\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}-\frac{8}{x+1}] · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{x^2-1-8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{x^2-9}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\frac{x-3}{x+3}$
解析
【分析】
这三道题均为分式运算类题目，解题思路如下：
(1) 异分母分式加法：先利用平方差公式对第二个分式的分母因式分解，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，通分转化为同分母分式后按同分母分式加法法则计算，最后约分化为最简分式即可；
(2) 分式乘方、乘除混合运算：遵循先算乘方、再算乘除的顺序，先计算乘方，再将除法转化为乘法，分别对系数、同底数幂约分即可，运算中注意负号的处理；
(3) 含括号的分式混合运算：先算括号内的减法，将$x-1$看作整体通分后和$\frac{8}{x+1}$相减，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果。
【解析】
(1)
原式$=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1}{x-1}$
(2)
原式$=\frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2}$
$=-\frac{27a^2b^3c^2}{9ab^4c^3}$
$=-\frac{3a}{bc}$
(3)
原式$=[\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}-\frac{8}{x+1}] · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{x^2-1-8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{x^2-9}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\frac{x-3}{x+3}$
【答案】
(1)$\frac{1}{x-1}$；(2)$-\frac{3a}{bc}$；(3)$\frac{x-3}{x+3}$
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.分式的通分与约分
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，涵盖了分式加减、乘除、乘方运算的核心考点，运算时需严格遵循运算顺序，注意通分、约分的规则以及符号的判断，熟练掌握因式分解是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.7
这三道题均为分式运算类题目，解题思路如下：
(1) 异分母分式加法：先利用平方差公式对第二个分式的分母因式分解，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$，通分转化为同分母分式后按同分母分式加法法则计算，最后约分化为最简分式即可；
(2) 分式乘方、乘除混合运算：遵循先算乘方、再算乘除的顺序，先计算乘方，再将除法转化为乘法，分别对系数、同底数幂约分即可，运算中注意负号的处理；
(3) 含括号的分式混合运算：先算括号内的减法，将$x-1$看作整体通分后和$\frac{8}{x+1}$相减，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果。
【解析】
(1)
原式$=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-1+2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{1}{x-1}$
(2)
原式$=\frac{a^2}{9b^2} · \frac{27b^3}{-c^3} · \frac{c^2}{ab^2}$
$=-\frac{27a^2b^3c^2}{9ab^4c^3}$
$=-\frac{3a}{bc}$
(3)
原式$=[\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}-\frac{8}{x+1}] · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{x^2-1-8}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{x^2-9}{x+1} · \frac{x+1}{(x+3)^2}$
$=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\frac{x-3}{x+3}$
【答案】
(1)$\frac{1}{x-1}$；(2)$-\frac{3a}{bc}$；(3)$\frac{x-3}{x+3}$
【知识点】
1.分式的混合运算 2.因式分解 3.分式的通分与约分
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，涵盖了分式加减、乘除、乘方运算的核心考点，运算时需严格遵循运算顺序，注意通分、约分的规则以及符号的判断，熟练掌握因式分解是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.7
典例2 解下列方程：
(1)$\frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x}=1$；
(2)$\frac{1}{3}-\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{6x-3}$。
(1)$\frac{1}{x-1}+\frac{x}{1-x}=1$；
(2)$\frac{1}{3}-\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{6x-3}$。
答案
解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，得
$1 - x = x - 1$
移项，得$-x - x = -1 - 1$
合并同类项，得$-2x = -2$
系数化为1，得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程可整理为$\frac{1}{3}-\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{3(2x-1)}$，方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，得
$2x - 1 - 6 = 1$
移项、合并同类项，得$2x=8$
系数化为1，得$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，所以$x=4$是原分式方程的解。
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，得
$1 - x = x - 1$
移项，得$-x - x = -1 - 1$
合并同类项，得$-2x = -2$
系数化为1，得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程可整理为$\frac{1}{3}-\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{3(2x-1)}$，方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，得
$2x - 1 - 6 = 1$
移项、合并同类项，得$2x=8$
系数化为1，得$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，所以$x=4$是原分式方程的解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②求解整式方程；③检验所得的解，若解使原方程分母为0则为增根，原方程无解，反之则为原方程的解。
对于第(1)题，分母$x-1$和$1-x$互为相反数，最简公分母为$x-1$，去分母时注意$\frac{x}{1-x}$乘$x-1$后符号为负；对于第(2)题，先把$6x-3$因式分解为$3(2x-1)$，可得最简公分母为$3(2x-1)$，去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，得
$1 - x = x - 1$
移项，得$-x - x = -1 - 1$
合并同类项，得$-2x = -2$
系数化为1，得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程可整理为$\frac{1}{3}-\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{3(2x-1)}$，方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，得
$2x - 1 - 6 = 1$
移项、合并同类项，得$2x=8$
系数化为1，得$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，所以$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 无解；(2) $x=4$
【知识点】
分式方程的解法；增根的判定；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题的关键是准确找到最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解，需格外注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不含分母的项，二是解完必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②求解整式方程；③检验所得的解，若解使原方程分母为0则为增根，原方程无解，反之则为原方程的解。
对于第(1)题，分母$x-1$和$1-x$互为相反数，最简公分母为$x-1$，去分母时注意$\frac{x}{1-x}$乘$x-1$后符号为负；对于第(2)题，先把$6x-3$因式分解为$3(2x-1)$，可得最简公分母为$3(2x-1)$，去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-1)$，得
$1 - x = x - 1$
移项，得$-x - x = -1 - 1$
合并同类项，得$-2x = -2$
系数化为1，得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，因此$x=1$是原方程的增根，原分式方程无解。
(2) 原方程可整理为$\frac{1}{3}-\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{3(2x-1)}$，方程两边同乘最简公分母$3(2x-1)$，得
$2x - 1 - 6 = 1$
移项、合并同类项，得$2x=8$
系数化为1，得$x=4$
检验：当$x=4$时，$3(2x-1)=21≠0$，所以$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
(1) 无解；(2) $x=4$
【知识点】
分式方程的解法；增根的判定；分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题的关键是准确找到最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解，需格外注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘不含分母的项，二是解完必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
