1. (2024·齐齐哈尔)如果关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{1}{x}+\frac{m}{x - 1}=0$ 的解是非负数，那么实数 $ m $ 的取值范围是()

A.$ m ＜ 1 $ 且 $ m ≠ 0 $
B.$ m ＜ - 1 $
C.$ m ＞ - 1 $
D.$ m ＞ - 1 $ 且 $ m ≠ 0 $

D

2. 关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2x + 3}{1 - x}-\frac{a - 3}{x - 1}=1$ 的解满足不等式 $\frac{x - 1}{2}+2＞\frac{1 + x}{3}$，求 $ a $ 的取值范围.

解：解关于x的分式方程$\frac{2x+3}{1-x}-\frac{a-3}{x-1}=1$，得$x=\frac{1-a}{3}.$
$ \because x≠1$，$\therefore \frac{1-a}{3}≠1$，$\therefore a≠-2.$
解不等式$\frac{x-1}{2}+2＞\frac{1+x}{3}$，得x＞-7.
$ \because$关于x的分式方程$\frac{2x+3}{1-x}-\frac{a-3}{x-1}=1$的解满足不等式$\frac{x-1}{2}+2＞\frac{1+x}{3}$，
$ \therefore \frac{1-a}{3}＞-7$，解得a＜22，
$ \therefore a$的取值范围是a＜22且a≠-2.

3. 已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{ax + 1}{x - 1}-\frac{2}{1 - x}=1$.
(1) 当 $ a = 3 $ 时，求这个方程的解；
(2) 若这个方程有增根，则 $ a $ 的值为.

-3
解：当a=3时，
原方程为$\frac{3x+1}{x-1}-\frac{2}{1-x}=1$，
方程两边同乘(x-1)，得3x+1+2=x-1，
解得x=-2.
检验：当x=-2时，x-1≠0，
$ \therefore$原方程的解是x=-2.

4. 若解关于 $ x $ 的方程 $\frac{x + 1}{x + 2}-\frac{x}{x - 1}=\frac{kx + 2}{(x - 1)(x + 2)}$ 时产生了增根，请求出所有满足条件的 $ k $ 的值.

解：方程去分母，得(x+1)(x-1)-x(x+2)=kx+2，整理，
得(k+2)x=-3，原方程有增根，分以下两种情况：
①x=1，则k+2=-3，$\therefore k=-5$；
②x=-2，则-2(k+2)=-3，$\therefore k=-\frac{1}{2}.$
综上，k的值为-5或$-\frac{1}{2}.$