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6. (2025·凉山州)若关于$x$的分式方程$\frac{x + m}{x - 2}+\frac{1}{2 - x}=3$无解，则$m =$
-1
。答案
-1
7. 小颖在解分式方程$\frac{x - 2}{x - 3}=\frac{△}{x - 3}+2$时，$△$处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解。请你帮小颖猜测一下$△$处的数应是
1
。答案
1
8. (2024·达州)若关于$x$的方程$\frac{3}{x - 2}-\frac{kx - 1}{x - 2}=1$无解，则$k$的值为
2 或 -1
。答案
2或-1
9. (2024·广元)若点$Q(x,y)$满足$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，则称点$Q$为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标
$ (2, -1) $（答案不唯一）
。答案
(2,-1)（答案不唯一）
10. 当$a$为何值时，关于$x$的分式方程$\frac{1}{x - 1}-\frac{a}{2 - x}=\frac{2(a + 1)}{x^{2}-3x + 2}$无解？
答案
解：方程两边同乘(x-1)(x-2)，得(x-2)+a(x-1)=2(a+1)，
整理，得(1+a)x=3a+4。
$ \because$方程无解，$\therefore a=-1$时，方程无解；
x=1时，$a=-\frac{3}{2}$，方程无解；
x=2时，a=-2，方程无解。
综上，当a的值为-1或$-\frac{3}{2}$或-2时，方程无解。
整理，得(1+a)x=3a+4。
$ \because$方程无解，$\therefore a=-1$时，方程无解；
x=1时，$a=-\frac{3}{2}$，方程无解；
x=2时，a=-2，方程无解。
综上，当a的值为-1或$-\frac{3}{2}$或-2时，方程无解。
11. 已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x - 1}+\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$。
(1)若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；
(2)若方程有增根，求$m$的值；
(3)若方程无解，求$m$的值。
(1)若方程的增根为$x = 1$，求$m$的值；
(2)若方程有增根，求$m$的值；
(3)若方程无解，求$m$的值。
答案
解：方程两边同乘(x+2)(x-1)，得2(x+2)+mx=x-1，
整理，得(m+1)x=-5。
$ (1)\because x=1$是分式方程的增根，
$ \therefore m+1=-5$，解得m=-6。
$ (2)\because$原分式方程有增根，
$ \therefore (x+2)(x-1)=0$，解得x=-2或x=1，
当x=-2时，$m=\frac{3}{2}$；当x=1时，m=-6。
$ \therefore m$的值为$\frac{3}{2}$或-6。
(3)当m+1=0时，该方程无解，此时m=-1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由
(2)得m=-6或$m=\frac{3}{2}$。
综上，m的值为-1或-6或$\frac{3}{2}$。
整理，得(m+1)x=-5。
$ (1)\because x=1$是分式方程的增根，
$ \therefore m+1=-5$，解得m=-6。
$ (2)\because$原分式方程有增根，
$ \therefore (x+2)(x-1)=0$，解得x=-2或x=1，
当x=-2时，$m=\frac{3}{2}$；当x=1时，m=-6。
$ \therefore m$的值为$\frac{3}{2}$或-6。
(3)当m+1=0时，该方程无解，此时m=-1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由
(2)得m=-6或$m=\frac{3}{2}$。
综上，m的值为-1或-6或$\frac{3}{2}$。
12. 已知分式$A=\frac{x}{x - 4}+\frac{y}{y - 4}$。
(1)已知$x = 2t + 6$，$y = 2 - 2t(t≠ - 1)$，求分式$A$的值；
(2)已知$x = 3y$，且分式$A$的值等于$2$，求$x$，$y$的值。
(1)已知$x = 2t + 6$，$y = 2 - 2t(t≠ - 1)$，求分式$A$的值；
(2)已知$x = 3y$，且分式$A$的值等于$2$，求$x$，$y$的值。
答案
解：
$ (1)A=\frac{2t+6}{2t+2}+\frac{2-2t}{-2t-2}=\frac{t+3}{t+1}-\frac{1-t}{t+1}=\frac{2t+2}{t+1}=2$。
(2)由题意，得$2=\frac{3y}{3y-4}+\frac{y}{y-4}$，解得y=2，
经检验，y=2是分式方程的解，
$ \therefore x=3y=6$。
$ (1)A=\frac{2t+6}{2t+2}+\frac{2-2t}{-2t-2}=\frac{t+3}{t+1}-\frac{1-t}{t+1}=\frac{2t+2}{t+1}=2$。
(2)由题意，得$2=\frac{3y}{3y-4}+\frac{y}{y-4}$，解得y=2，
经检验，y=2是分式方程的解，
$ \therefore x=3y=6$。
