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例 1 关于 $ x $ 的不等式 $\frac{4x - a}{3} ＞ \frac{a}{2} - 1$ 与 $\frac{x}{3} ＞ a$ 的解集相同，求 $ a $ 的值.
分析：两个不等式的解集相同，先分别解两个关于 $ x $ 的不等式，得到 $ x ＞ \frac{5a - 6}{8} $ 和 $ x ＞ 3a $. 根据题意，得 $\frac{5a - 6}{8} = 3a$，再解关于 $ a $ 的一元一次方程即可.
解：对于 $\frac{4x - a}{3} ＞ \frac{a}{2} - 1$，去分母，得 $ 2(4x - a) ＞ 3a - 6 $.
去括号，得 $ 8x - 2a ＞ 3a - 6 $. 移项，合并同类项，得 $ 8x ＞ 5a - 6 $.
系数化为 1，得 $ x ＞ \frac{5a - 6}{8} $. 对于 $\frac{x}{3} ＞ a$，去分母，得 $ x ＞ 3a $.
$\because$ 不等式 $\frac{4x - a}{3} ＞ \frac{a}{2} - 1$ 与 $\frac{x}{3} ＞ a$ 的解集相同，$\therefore \frac{5a - 6}{8} = 3a$，解得 $ a = -\frac{6}{19} $.
分析：两个不等式的解集相同，先分别解两个关于 $ x $ 的不等式，得到 $ x ＞ \frac{5a - 6}{8} $ 和 $ x ＞ 3a $. 根据题意，得 $\frac{5a - 6}{8} = 3a$，再解关于 $ a $ 的一元一次方程即可.
解：对于 $\frac{4x - a}{3} ＞ \frac{a}{2} - 1$，去分母，得 $ 2(4x - a) ＞ 3a - 6 $.
去括号，得 $ 8x - 2a ＞ 3a - 6 $. 移项，合并同类项，得 $ 8x ＞ 5a - 6 $.
系数化为 1，得 $ x ＞ \frac{5a - 6}{8} $. 对于 $\frac{x}{3} ＞ a$，去分母，得 $ x ＞ 3a $.
$\because$ 不等式 $\frac{4x - a}{3} ＞ \frac{a}{2} - 1$ 与 $\frac{x}{3} ＞ a$ 的解集相同，$\therefore \frac{5a - 6}{8} = 3a$，解得 $ a = -\frac{6}{19} $.
答案
解：
解不等式$\frac{4x - a}{3} ＞ \frac{a}{2} - 1$：
去分母得：$2(4x - a) ＞ 3a - 6$，
去括号得：$8x - 2a ＞ 3a - 6$，
移项，合并同类项得：$8x ＞ 5a - 6$，
系数化为$1$得：$x ＞ \frac{5a - 6}{8}$。
解不等式$\frac{x}{3} ＞ a$：
去分母得：$x ＞ 3a$。
因为两个不等式的解集相同，所以$\frac{5a - 6}{8} = 3a$，
去分母得：$5a - 6 = 24a$，
移项，合并同类项得：$-19a = 6$，
系数化为$1$得：$a = -\frac{6}{19}$。
综上，$a$的值为$-\frac{6}{19}$。
解不等式$\frac{4x - a}{3} ＞ \frac{a}{2} - 1$：
去分母得：$2(4x - a) ＞ 3a - 6$，
去括号得：$8x - 2a ＞ 3a - 6$，
移项，合并同类项得：$8x ＞ 5a - 6$，
系数化为$1$得：$x ＞ \frac{5a - 6}{8}$。
解不等式$\frac{x}{3} ＞ a$：
去分母得：$x ＞ 3a$。
因为两个不等式的解集相同，所以$\frac{5a - 6}{8} = 3a$，
去分母得：$5a - 6 = 24a$，
移项，合并同类项得：$-19a = 6$，
系数化为$1$得：$a = -\frac{6}{19}$。
综上，$a$的值为$-\frac{6}{19}$。
变式：已知不等式 $ 6x - 1 ＞ 2(x + m) - 3 $，若它的解集与不等式 $\frac{x - 6}{2} + 3 ＜ x + 1$ 的解集相同，则 $ m = $
$-3$
；若它的解都是不等式 $\frac{x - 5}{2} + 1 ＜ x + 3$ 的解，则 $ m $ 的取值范围为$m≥ -17$
.答案
$-3$ $m≥ -17$
解析
【解析】
1. 求解不等式 $6x - 1 ＞ 2(x + m) - 3$：
展开右边得：$6x - 1 ＞ 2x + 2m - 3$
移项合并同类项：$4x ＞ 2m - 2$
系数化为1：$x ＞ \frac{m - 1}{2}$
2. 求解不等式 $\frac{x - 6}{2} + 3 ＜ x + 1$：
左边化简：$\frac{x - 6 + 6}{2} ＜ x + 1$，即 $\frac{x}{2} ＜ x + 1$
移项合并同类项：$-\frac{x}{2} ＜ 1$
系数化为1：$x ＞ -2$
因两不等式解集相同，故 $\frac{m - 1}{2} = -2$，解得 $m = -3$
3. 求解不等式 $\frac{x - 5}{2} + 1 ＜ x + 3$：
左边化简：$\frac{x - 5 + 2}{2} ＜ x + 3$，即 $\frac{x - 3}{2} ＜ x + 3$
两边乘2：$x - 3 ＜ 2x + 6$
移项合并同类项：$-x ＜ 9$
系数化为1：$x ＞ -9$
因第一个不等式的解都是该不等式的解，故 $\frac{m - 1}{2} ≥ -9$
解得：$m ≥ -17$
【答案】
$m=-3$；$m≥ -17$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式解集关系
【点评】
本题考查一元一次不等式的求解及解集关系的应用，需熟练掌握一元一次不等式的解题步骤，根据解集的等量或包含关系准确列方程或不等式求解参数。
1. 求解不等式 $6x - 1 ＞ 2(x + m) - 3$：
展开右边得：$6x - 1 ＞ 2x + 2m - 3$
移项合并同类项：$4x ＞ 2m - 2$
系数化为1：$x ＞ \frac{m - 1}{2}$
2. 求解不等式 $\frac{x - 6}{2} + 3 ＜ x + 1$：
左边化简：$\frac{x - 6 + 6}{2} ＜ x + 1$，即 $\frac{x}{2} ＜ x + 1$
移项合并同类项：$-\frac{x}{2} ＜ 1$
系数化为1：$x ＞ -2$
因两不等式解集相同，故 $\frac{m - 1}{2} = -2$，解得 $m = -3$
3. 求解不等式 $\frac{x - 5}{2} + 1 ＜ x + 3$：
左边化简：$\frac{x - 5 + 2}{2} ＜ x + 3$，即 $\frac{x - 3}{2} ＜ x + 3$
两边乘2：$x - 3 ＜ 2x + 6$
移项合并同类项：$-x ＜ 9$
系数化为1：$x ＞ -9$
因第一个不等式的解都是该不等式的解，故 $\frac{m - 1}{2} ≥ -9$
解得：$m ≥ -17$
【答案】
$m=-3$；$m≥ -17$
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式解集关系
【点评】
本题考查一元一次不等式的求解及解集关系的应用，需熟练掌握一元一次不等式的解题步骤，根据解集的等量或包含关系准确列方程或不等式求解参数。
例 2 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $\begin{cases}2x + y = 1 + 3m \\ x + 2y = 1 - m\end{cases}$ 的解满足 $ x + y ＜ 0 $，求 $ m $ 的取值范围.
分析：先求出方程组的解，用 $ m $ 分别表示出 $ x $ 和 $ y $，再代入不等式 $ x + y ＜ 0 $，得到一个关于 $ m $ 的一元一次不等式，求出 $ m $ 的取值范围即可. 也可以利用整体思想，将两方程相加求出 $ x + y $ 的值，即可得出关于 $ m $ 的不等式，求出不等式的解即可.
解：方程组 $\begin{cases}2x + y = 1 + 3m &①\\ x + 2y = 1 - m &②\end{cases}$
$① + ②$，得 $ 3x + 3y = 2 + 2m $，解得 $ x + y = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}m $.
$\because$ 方程组 $\begin{cases}2x + y = 1 + 3m \\ x + 2y = 1 - m\end{cases}$ 的解满足 $ x + y ＜ 0 $，$\therefore \frac{2}{3} + \frac{2}{3}m ＜ 0 $，解得 $ m ＜ -1 $.
分析：先求出方程组的解，用 $ m $ 分别表示出 $ x $ 和 $ y $，再代入不等式 $ x + y ＜ 0 $，得到一个关于 $ m $ 的一元一次不等式，求出 $ m $ 的取值范围即可. 也可以利用整体思想，将两方程相加求出 $ x + y $ 的值，即可得出关于 $ m $ 的不等式，求出不等式的解即可.
解：方程组 $\begin{cases}2x + y = 1 + 3m &①\\ x + 2y = 1 - m &②\end{cases}$
$① + ②$，得 $ 3x + 3y = 2 + 2m $，解得 $ x + y = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}m $.
$\because$ 方程组 $\begin{cases}2x + y = 1 + 3m \\ x + 2y = 1 - m\end{cases}$ 的解满足 $ x + y ＜ 0 $，$\therefore \frac{2}{3} + \frac{2}{3}m ＜ 0 $，解得 $ m ＜ -1 $.
答案
解：
方程组为
$\begin{cases}2x + y = 1 + 3m \quad ① \\x + 2y = 1 - m \quad ②\end{cases}$
将方程$①$和方程$②$相加，得到：
$3x + 3y = 2 + 2m$
从上式可以解出：
$x + y = \frac{2 + 2m}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}m$
根据题目条件，有：
$x + y ＜ 0$
代入之前求得的$x + y$的表达式，得：
$\frac{2}{3} + \frac{2}{3}m ＜ 0$
解这个不等式，得到：
$m ＜ -1$
方程组为
$\begin{cases}2x + y = 1 + 3m \quad ① \\x + 2y = 1 - m \quad ②\end{cases}$
将方程$①$和方程$②$相加，得到：
$3x + 3y = 2 + 2m$
从上式可以解出：
$x + y = \frac{2 + 2m}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}m$
根据题目条件，有：
$x + y ＜ 0$
代入之前求得的$x + y$的表达式，得：
$\frac{2}{3} + \frac{2}{3}m ＜ 0$
解这个不等式，得到：
$m ＜ -1$
