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10. (2024·宿城期中)下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是(
A.$ a^2 + a - \frac{1}{4} $
B.$ -a^2 - b^2 + 2ab $
C.$ -a^2 + 25b^2 $
D.$ 4 - 9b^2 $
A
)A.$ a^2 + a - \frac{1}{4} $
B.$ -a^2 - b^2 + 2ab $
C.$ -a^2 + 25b^2 $
D.$ 4 - 9b^2 $
答案
10. A
11. 多项式 $ a^2 + 7a - 18 $ 分解因式的结果为(
A.$ (a - 1)(a + 18) $
B.$ (a - 2)(a + 9) $
C.$ (a - 3)(a + 6) $
D.$ (a + 2)(a + 9) $
B
)A.$ (a - 1)(a + 18) $
B.$ (a - 2)(a + 9) $
C.$ (a - 3)(a + 6) $
D.$ (a + 2)(a + 9) $
答案
11. B
解析
$(a - 2)(a + 9)$
12. (2025·泗阳段考)已知 $ p,q $ 为实数，关于 $ x $ 的多项式 $ x^2 - px + q $ 可以因式分解成 $ (x - 2)(x + 3) $，则 $ p - q $ 的值为(
A.5
B.7
C.-7
D.-5
A
)A.5
B.7
C.-7
D.-5
答案
12. A
解析
因为多项式$x^2 - px + q$可以因式分解成$(x - 2)(x + 3)$，将$(x - 2)(x + 3)$展开得：
$\begin{aligned}(x - 2)(x + 3)&=x^2 + 3x - 2x - 6\\&=x^2 + x - 6\end{aligned}$
所以$x^2 - px + q = x^2 + x - 6$，通过对比系数可得：$-p = 1$，$q = -6$，即$p = -1$，$q = -6$。
则$p - q = -1 - (-6) = -1 + 6 = 5$。
A
$\begin{aligned}(x - 2)(x + 3)&=x^2 + 3x - 2x - 6\\&=x^2 + x - 6\end{aligned}$
所以$x^2 - px + q = x^2 + x - 6$，通过对比系数可得：$-p = 1$，$q = -6$，即$p = -1$，$q = -6$。
则$p - q = -1 - (-6) = -1 + 6 = 5$。
A
13. 若 $ 5^8 - 1 $ 可以被 20 到 30 之间的某两个整数整除，则这两个整数是(
A.24，26
B.25，27
C.26，28
D.27，29
A
)A.24，26
B.25，27
C.26，28
D.27，29
答案
13. A
解析
解：$5^8 - 1=(5^4)^2 - 1=(5^4 - 1)(5^4 + 1)$
$=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)$
$=(25 - 1)(25 + 1)(625 + 1)$
$=24×26×626$
故这两个整数是24，26。
A
$=(5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)$
$=(25 - 1)(25 + 1)(625 + 1)$
$=24×26×626$
故这两个整数是24，26。
A
14. 已知 $ a,b,c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，且满足 $ a^2 - b^2 = ac - bc $，则 $ △ ABC $ 的形状为
等腰三角形
.答案
14. 等腰三角形
解析
$a^2 - b^2 = ac - bc$，
$(a - b)(a + b) = c(a - b)$，
$(a - b)(a + b - c) = 0$，
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，所以$a + b - c ＞ 0$，
则$a - b = 0$，即$a = b$，
所以$△ ABC$是等腰三角形。
$(a - b)(a + b) = c(a - b)$，
$(a - b)(a + b - c) = 0$，
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，所以$a + b - c ＞ 0$，
则$a - b = 0$，即$a = b$，
所以$△ ABC$是等腰三角形。
15. (2025·泗阳期中)已知实数 $ a,b $ 满足 $ a + b = 1 $，则代数式 $ a^2 - b^2 + 2b + 5 $ 的值为
6
.答案
15. 6
解析
因为$a + b = 1$，所以$a = 1 - b$。
将$a = 1 - b$代入$a^2 - b^2 + 2b + 5$得：
$\begin{aligned}&(1 - b)^2 - b^2 + 2b + 5\\=&1 - 2b + b^2 - b^2 + 2b + 5\\=&(1 + 5) + (-2b + 2b) + (b^2 - b^2)\\=&6 + 0 + 0\\=&6\end{aligned}$
6
将$a = 1 - b$代入$a^2 - b^2 + 2b + 5$得：
$\begin{aligned}&(1 - b)^2 - b^2 + 2b + 5\\=&1 - 2b + b^2 - b^2 + 2b + 5\\=&(1 + 5) + (-2b + 2b) + (b^2 - b^2)\\=&6 + 0 + 0\\=&6\end{aligned}$
6
16. 将下列各式分解因式：
(1) $ -a^2 + 2ab - ac $；
(2) $ (a^2 - ab) + c(a - b) $；
(3) $ 5a^3 - 45ab^2 $；
(4) $ 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}x^2 $.
(1) $ -a^2 + 2ab - ac $；
(2) $ (a^2 - ab) + c(a - b) $；
(3) $ 5a^3 - 45ab^2 $；
(4) $ 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}x^2 $.
答案
16. (1) $ -a(a - 2b + c) $ (2) $ (a - b)(a + c) $ (3) $ 5a(a + 3b) · (a - 3b) $ (4) $ (1 + \frac{1}{4}x)^{2} $
17. (新考法·新定义题)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”. 如：4，12，20 都是“连偶数”.
(1) $ 52 $
(2) 下面是两名同学演算后的发现，请判断是否正确，并说明理由.
① 明明发现：两个连续偶数 $ 2k - 2 $ 和 $ 2k $(其中 $ k $ 是正整数)构造的“连偶数”是 4 的倍数；
② 心心发现：2 032 是“连偶数”.
(1) $ 52 $
是
“连偶数”(填“是”或“不是”).(2) 下面是两名同学演算后的发现，请判断是否正确，并说明理由.
① 明明发现：两个连续偶数 $ 2k - 2 $ 和 $ 2k $(其中 $ k $ 是正整数)构造的“连偶数”是 4 的倍数；
② 心心发现：2 032 是“连偶数”.
答案
17. (1) 是 (2) ① 明明的发现正确 理由：$ \because (2k)^{2} - (2k - 2)^{2} = 2(4k - 2) = 4(2k - 1) $，$ 2k - 1 $ 是正整数，$ \therefore 4(2k - 1) $ 是 4 的倍数。$ \therefore $ 两个连续偶数 $ 2k - 2 $ 和 $ 2k $（其中 $ k $ 是正整数）构造的“连偶数”是 4 的倍数。 ② 心心的发现不正确 理由：由①可知，“连偶数”是 4 的倍数，$ \therefore $ 当 2032 是“连偶数”时，一定存在一个正整数 $ k $ 满足 $ 4(2k - 1) = 2032 $，解得 $ k = 254.5 $，这与 $ k $ 是正整数矛盾。$ \therefore 2032 $ 不是“连偶数”。$ \therefore $ 心心的发现不正确。
解析
(1) 是
(2) ① 明明的发现正确
理由：$\because (2k)^{2} - (2k - 2)^{2} = [4k^{2}] - [4k^{2} - 8k + 4] = 8k - 4 = 4(2k - 1)$，
又 $\because k$ 是正整数，$\therefore 2k - 1$ 是正整数，
$\therefore 4(2k - 1)$ 是 4 的倍数，
$\therefore$ 两个连续偶数 $2k - 2$ 和 $2k$ 构造的“连偶数”是 4 的倍数。
② 心心的发现不正确
理由：由①知“连偶数”可表示为 $4(2k - 1)$，
若 2032 是“连偶数”，则 $4(2k - 1) = 2032$，
解得 $2k - 1 = 508$，$2k = 509$，$k = 254.5$，
$\because k$ 不是正整数，矛盾，
$\therefore 2032$ 不是“连偶数”。
(2) ① 明明的发现正确
理由：$\because (2k)^{2} - (2k - 2)^{2} = [4k^{2}] - [4k^{2} - 8k + 4] = 8k - 4 = 4(2k - 1)$，
又 $\because k$ 是正整数，$\therefore 2k - 1$ 是正整数，
$\therefore 4(2k - 1)$ 是 4 的倍数，
$\therefore$ 两个连续偶数 $2k - 2$ 和 $2k$ 构造的“连偶数”是 4 的倍数。
② 心心的发现不正确
理由：由①知“连偶数”可表示为 $4(2k - 1)$，
若 2032 是“连偶数”，则 $4(2k - 1) = 2032$，
解得 $2k - 1 = 508$，$2k = 509$，$k = 254.5$，
$\because k$ 不是正整数，矛盾，
$\therefore 2032$ 不是“连偶数”。
