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1. 若某种商品 $ m $ 千克的售价为 $ n $ 元，则这种商品 $ 8 $ 千克的售价为(
A.$\frac{8n}{m}$ 元
B.$\frac{n}{8m}$ 元
C.$\frac{8m}{n}$ 元
D.$\frac{m}{8n}$ 元
A
)A.$\frac{8n}{m}$ 元
B.$\frac{n}{8m}$ 元
C.$\frac{8m}{n}$ 元
D.$\frac{m}{8n}$ 元
答案
1. A
2. (2025·泗阳期末)下列式子是分式的为(
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{x}$
C.$\frac{x}{4}$
D.$ x - 2 $
B
)A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{x}$
C.$\frac{x}{4}$
D.$ x - 2 $
答案
2. B
3. 当 $ a = 1 $ 时，$\frac{2a}{(a + 1)^2}$ 的值为(
A.$ 2 $
B.$ 1 $
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
C
)A.$ 2 $
B.$ 1 $
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
3. C
解析
当 $a = 1$ 时，代入 $\frac{2a}{(a + 1)^2}$ 可得：
$\frac{2×1}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
C
$\frac{2×1}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
C
4. (1) 若式子 $\frac{2m}{m - 3}$ 无意义，则 $ m $ 的值为
(2) (2025·宿迁)要使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是
3
；(2) (2025·宿迁)要使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是
$ x ≠ 1 $
.答案
4. (1) 3 (2) $ x ≠ 1 $
解析
(1) 3
(2) $ x ≠ 1 $
(2) $ x ≠ 1 $
5. (1) 若分式 $\frac{x^2 - 2x}{x}$ 的值为 $ 0 $，则 $ x $ 的值为
(2) (2024·吉林)当分式 $\frac{1}{x + 1}$ 的值为正数时，写出一个满足条件的 $ x $ 的值：
2
；(2) (2024·吉林)当分式 $\frac{1}{x + 1}$ 的值为正数时，写出一个满足条件的 $ x $ 的值：
答案不唯一，如 0
.答案
5. (1) 2 (2) 答案不唯一，如 0
解析
(1) 2
(2) 0
(2) 0
6. 根据条件求下面式子的值：
(1) $\frac{a + 1}{a}$，其中 $ a = 1 $；
(2) $\frac{|x|}{2x - y^2}$，其中 $ x = - 1 $，$ y = -\frac{1}{2} $.
(1) $\frac{a + 1}{a}$，其中 $ a = 1 $；
(2) $\frac{|x|}{2x - y^2}$，其中 $ x = - 1 $，$ y = -\frac{1}{2} $.
答案
6. (1) 2 (2) $ -\frac{4}{9} $
解析
(1) 当 $ a = 1 $ 时，$\frac{a + 1}{a} = \frac{1 + 1}{1} = 2$
(2) 当 $ x = -1 $，$ y = -\frac{1}{2} $ 时，$|x| = |-1| = 1$，$2x - y^2 = 2×(-1) - (-\frac{1}{2})^2 = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$，则 $\frac{|x|}{2x - y^2} = \frac{1}{-\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}$
(2) 当 $ x = -1 $，$ y = -\frac{1}{2} $ 时，$|x| = |-1| = 1$，$2x - y^2 = 2×(-1) - (-\frac{1}{2})^2 = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$，则 $\frac{|x|}{2x - y^2} = \frac{1}{-\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}$
7. 不论 $ x $ 取何值，下列代数式的值不可能为 $ 0 $ 的是(
A.$ x + 1 $
B.$ x^2 - 1 $
C.$\frac{1}{x + 1}$
D.$ (x + 1)^2 $
C
)A.$ x + 1 $
B.$ x^2 - 1 $
C.$\frac{1}{x + 1}$
D.$ (x + 1)^2 $
答案
7. C
解析
A. 当$x=-1$时，$x + 1=0$；
B. 当$x=\pm1$时，$x^2 - 1=0$；
C. 若$\frac{1}{x + 1}=0$，则分子$1=0$，不成立，故$\frac{1}{x + 1}$的值不可能为$0$；
D. 当$x=-1$时，$(x + 1)^2=0$。
C
B. 当$x=\pm1$时，$x^2 - 1=0$；
C. 若$\frac{1}{x + 1}=0$，则分子$1=0$，不成立，故$\frac{1}{x + 1}$的值不可能为$0$；
D. 当$x=-1$时，$(x + 1)^2=0$。
C
8. 若不论 $ x $ 取何实数，分式 $\frac{2x - 3}{x^2 + 6x + m}$ 总有意义，则 $ m $ 的取值范围是(
A.$ m ≤ 9 $
B.$ m ＜ 9 $
C.$ m ≥ 9 $
D.$ m ＞ 9 $
D
)A.$ m ≤ 9 $
B.$ m ＜ 9 $
C.$ m ≥ 9 $
D.$ m ＞ 9 $
答案
8. D
解析
要使分式$\frac{2x - 3}{x^2 + 6x + m}$总有意义，则分母$x^2 + 6x + m$不能为$0$，即方程$x^2 + 6x + m = 0$无实数根。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta ＜ 0$时，方程无实数根。
在方程$x^2 + 6x + m = 0$中，$a = 1$，$b = 6$，$c = m$，则$\Delta = 6^2 - 4×1× m = 36 - 4m$。
要使方程无实数根，需$\Delta ＜ 0$，即：
$36 - 4m ＜ 0$
$-4m ＜ -36$
$m ＞ 9$
D
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。当$\Delta ＜ 0$时，方程无实数根。
在方程$x^2 + 6x + m = 0$中，$a = 1$，$b = 6$，$c = m$，则$\Delta = 6^2 - 4×1× m = 36 - 4m$。
要使方程无实数根，需$\Delta ＜ 0$，即：
$36 - 4m ＜ 0$
$-4m ＜ -36$
$m ＞ 9$
D
9. (教材变式)若分式 $\frac{10x}{x^2 - 7}$ 无意义，则 $ x $ 的值为
$ \pm \sqrt{7} $
.答案
9. $ \pm \sqrt{7} $
解析
要使分式$\frac{10x}{x^2 - 7}$无意义，则分母$x^2 - 7 = 0$，解得$x = \pm \sqrt{7}$。
$\pm \sqrt{7}$
$\pm \sqrt{7}$
