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10. (1) 若分式 $\frac{x^2 - x}{x - 1}$ 的值为 $ 0 $，则 $ x $ 的值为
(2) 若分式 $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ 的值为 $ 0 $，则 $ x $ 的值为
(3) 如果式子 $\frac{4 - |x|}{x^2 - x - 12}$ 的值为 $ 0 $，那么 $ x $ 的值为
0
；(2) 若分式 $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ 的值为 $ 0 $，则 $ x $ 的值为
-1
；(3) 如果式子 $\frac{4 - |x|}{x^2 - x - 12}$ 的值为 $ 0 $，那么 $ x $ 的值为
-4
.答案
10. (1) 0 (2) -1
(3) -4 解析：$ \frac{4 - |x|}{x^2 - x - 12} = \frac{4 - |x|}{(x - 4)(x + 3)} $。由 $ 4 - |x| = 0 $，得 $ x = \pm 4 $。当 $ x = 4 $ 时，分母 $ (x - 4)(x + 3) = 0 $；当 $ x = -4 $ 时，分母 $ (x - 4)(x + 3) ≠ 0 $。$ \therefore x = -4 $。
(3) -4 解析：$ \frac{4 - |x|}{x^2 - x - 12} = \frac{4 - |x|}{(x - 4)(x + 3)} $。由 $ 4 - |x| = 0 $，得 $ x = \pm 4 $。当 $ x = 4 $ 时，分母 $ (x - 4)(x + 3) = 0 $；当 $ x = -4 $ 时，分母 $ (x - 4)(x + 3) ≠ 0 $。$ \therefore x = -4 $。
11. 已知点 $(\frac{2025 + n^2}{n + 2},\frac{2026}{n - 8})$ 在第四象限，则 $ n $ 的取值范围是
$ -2 ＜ n ＜ 8 $
.答案
11. $ -2 ＜ n ＜ 8 $
解析
因为点在第四象限，所以横坐标大于0，纵坐标小于0。
横坐标：$\frac{2025 + n^2}{n + 2} ＞ 0$，因为$2025 + n^2 ＞ 0$恒成立，所以$n + 2 ＞ 0$，解得$n ＞ -2$。
纵坐标：$\frac{2026}{n - 8} ＜ 0$，因为$2026 ＞ 0$，所以$n - 8 ＜ 0$，解得$n ＜ 8$。
综上，$n$的取值范围是$-2 ＜ n ＜ 8$。
横坐标：$\frac{2025 + n^2}{n + 2} ＞ 0$，因为$2025 + n^2 ＞ 0$恒成立，所以$n + 2 ＞ 0$，解得$n ＞ -2$。
纵坐标：$\frac{2026}{n - 8} ＜ 0$，因为$2026 ＞ 0$，所以$n - 8 ＜ 0$，解得$n ＜ 8$。
综上，$n$的取值范围是$-2 ＜ n ＜ 8$。
12. 当整数 $ x = $
0 或 -1 或 -2 或 -5
时，分式 $\frac{6}{x - 1}$ 的值是负整数.答案
12. 0 或 -1 或 -2 或 -5 解析：$ \because x $ 为整数，$ \therefore x - 1 $ 也是整数。$ \because \frac{6}{x - 1} $ 的值是负整数，$ \therefore x - 1 = -1 $ 或 -2 或 -3 或 -6，解得 $ x = 0 $ 或 -1 或 -2 或 -5。
解析
$x - 1$ 为整数且是 6 的负因数，所以 $x - 1 = -1$ 或 $-2$ 或 $-3$ 或 $-6$。
当 $x - 1 = -1$ 时，$x = 0$；
当 $x - 1 = -2$ 时，$x = -1$；
当 $x - 1 = -3$ 时，$x = -2$；
当 $x - 1 = -6$ 时，$x = -5$。
0 或 -1 或 -2 或 -5
当 $x - 1 = -1$ 时，$x = 0$；
当 $x - 1 = -2$ 时，$x = -1$；
当 $x - 1 = -3$ 时，$x = -2$；
当 $x - 1 = -6$ 时，$x = -5$。
0 或 -1 或 -2 或 -5
13. (教材变式)(2024·泗阳期中)河上游的码头甲与下游的码头乙相距 $ s $ km，轮船在静水中的速度为 $ a $ km/h，水流的速度为 $ b $ km/h，则轮船从甲到乙往返一次航行所需时间为
$ ( \frac{s}{a + b} + \frac{s}{a - b} ) \mathrm{h} $
.答案
13. $ ( \frac{s}{a + b} + \frac{s}{a - b} ) \mathrm{h} $
14. 已知分式 $\frac{x^2 + 2x + 1}{x - 2}$ 的值为负数，求 $ x $ 的取值范围.
答案
14. 由题意，得 $ \begin{cases} x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 ≠ 0, \\ x - 2 ＜ 0, \end{cases} $ 解得 $ x ＜ 2 $ 且 $ x ≠ -1 $
解析
要使分式$\frac{x^2 + 2x + 1}{x - 2}$的值为负数，需满足分子与分母异号。
分子$x^2 + 2x + 1=(x + 1)^2$，因为任何数的平方都为非负数，所以$(x + 1)^2≥0$。又因为分式有意义时分母不能为$0$，且分子为$0$时分式值为$0$，不符合值为负数的条件，所以$(x + 1)^2＞0$，即$x≠ -1$。
要使分式值为负数，分子为正，则分母必须为负，即$x - 2＜0$，解得$x＜2$。
综上，$x$的取值范围是$x＜2$且$x≠ -1$。
分子$x^2 + 2x + 1=(x + 1)^2$，因为任何数的平方都为非负数，所以$(x + 1)^2≥0$。又因为分式有意义时分母不能为$0$，且分子为$0$时分式值为$0$，不符合值为负数的条件，所以$(x + 1)^2＞0$，即$x≠ -1$。
要使分式值为负数，分子为正，则分母必须为负，即$x - 2＜0$，解得$x＜2$。
综上，$x$的取值范围是$x＜2$且$x≠ -1$。
15. 当 $ a = 2 $ 时，是否存在 $ x $，使得分式 $\frac{a + x}{a^2 - x^2}$ 的值为 $ 0 $？
答案
15. 当 $ a = 2 $ 时，假设存在 $ x $，使得分式 $ \frac{a + x}{a^2 - x^2} $ 的值为 0，则原式 $ = \frac{2 + x}{4 - x^2} = 0 $，解得 $ x = -2 $，此时分母 $ 4 - x^2 = 0 $，分式无意义。$ \therefore $ 当 $ a = 2 $ 时，不存在 $ x $，使得分式 $ \frac{a + x}{a^2 - x^2} $ 的值为 0
解析
当 $ a = 2 $ 时，假设存在 $ x $，使得分式 $ \frac{a + x}{a^2 - x^2} $ 的值为 $ 0 $，则原式 $ = \frac{2 + x}{4 - x^2} = 0 $。
要使分式的值为 $ 0 $，分子为 $ 0 $且分母不为 $ 0 $。分子 $ 2 + x = 0 $，解得 $ x = -2 $。
此时分母 $ 4 - x^2 = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 $，分式无意义。
$\therefore$ 当 $ a = 2 $ 时，不存在 $ x $，使得分式 $ \frac{a + x}{a^2 - x^2} $ 的值为 $ 0 $。
要使分式的值为 $ 0 $，分子为 $ 0 $且分母不为 $ 0 $。分子 $ 2 + x = 0 $，解得 $ x = -2 $。
此时分母 $ 4 - x^2 = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0 $，分式无意义。
$\therefore$ 当 $ a = 2 $ 时，不存在 $ x $，使得分式 $ \frac{a + x}{a^2 - x^2} $ 的值为 $ 0 $。
16. (2025·宿城期中)已知分式 $\frac{x - 3}{1 - 2x}$.
(1) 若分式的值是 $ 0 $，求 $ x $ 的值；
(2) 若分式的值是正数，求 $ x $ 的取值范围.
(1) 若分式的值是 $ 0 $，求 $ x $ 的值；
(2) 若分式的值是正数，求 $ x $ 的取值范围.
答案
16. (1) 若分式的值是 0，则 $ x - 3 = 0 $ 且 $ 1 - 2x ≠ 0 $，解得 $ x = 3 $
(2) 若分式的值是正数，则 $ \begin{cases} x - 3 ＞ 0, \\ 1 - 2x ＞ 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x - 3 ＜ 0, \\ 1 - 2x ＜ 0, \end{cases} $ 解得 $ \frac{1}{2} ＜ x ＜ 3 $
(2) 若分式的值是正数，则 $ \begin{cases} x - 3 ＞ 0, \\ 1 - 2x ＞ 0 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x - 3 ＜ 0, \\ 1 - 2x ＜ 0, \end{cases} $ 解得 $ \frac{1}{2} ＜ x ＜ 3 $
