6. 如图,一块矩形草坪长为25 m,宽为15 m,草坪四周外围的环形小路的宽均相等,小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗? 请说明理由.
(第6题)
(第6题)
答案
解：设环形小路的宽为$ x $米（$ x＞0 $），
外矩形的长为$(25+2x)$m，宽为$(15+2x)$m。
若两个矩形相似，则对应边成比例，即：
$\frac{25+2x}{25}=\frac{15+2x}{15}$
去分母，得$15(25+2x)=25(15+2x)$
展开，得$375+30x=375+50x$
移项、合并同类项，得$20x=0$
解得$x=0$，与$ x＞0 $矛盾。
因此$\frac{25+2x}{25} ≠ \frac{15+2x}{15}$，
又矩形的对应角均为直角，相等，但对应边不成比例，
所以小路内外边缘所形成的两个矩形不相似。
答：小路内外边缘所形成的两个矩形不相似。
外矩形的长为$(25+2x)$m，宽为$(15+2x)$m。
若两个矩形相似，则对应边成比例，即：
$\frac{25+2x}{25}=\frac{15+2x}{15}$
去分母，得$15(25+2x)=25(15+2x)$
展开，得$375+30x=375+50x$
移项、合并同类项，得$20x=0$
解得$x=0$，与$ x＞0 $矛盾。
因此$\frac{25+2x}{25} ≠ \frac{15+2x}{15}$，
又矩形的对应角均为直角，相等，但对应边不成比例，
所以小路内外边缘所形成的两个矩形不相似。
答：小路内外边缘所形成的两个矩形不相似。
7. 如图,请用直尺和圆规作一个$△ DEF$,使$△ DEF$与$△ ABC$相似,写出你的作法.
(第7题)
(第7题)
答案
解：
作法：
1. 画射线$DN$，在射线$DN$上截取线段$DE$（$DE$取任意正长度，如$DE=AB$）；
2. 以点$D$为顶点，$DE$为一边，作$∠ EDF = ∠ A$；
3. 以点$E$为顶点，$ED$为一边，作$∠ DEF = ∠ B$，射线$DF$与射线$EF$交于点$F$；
则$△ DEF$即为所求作的与$△ ABC$相似的三角形。
作法：
1. 画射线$DN$，在射线$DN$上截取线段$DE$（$DE$取任意正长度，如$DE=AB$）；
2. 以点$D$为顶点，$DE$为一边，作$∠ EDF = ∠ A$；
3. 以点$E$为顶点，$ED$为一边，作$∠ DEF = ∠ B$，射线$DF$与射线$EF$交于点$F$；
则$△ DEF$即为所求作的与$△ ABC$相似的三角形。
8. 如图,将一张长、宽之比为$\sqrt{2}$的矩形纸片$ABCD$依次不断对折,可以得到矩形纸片$BCFE$、$AEML$、$GMFH$、$LGPN$.
(1) 矩形$ABCD$、$BCFE$、$AEML$、$GMFH$、$LGPN$的长与宽的比改变吗?
(2) 你认为这些大小不同的矩形相似吗?
(第8题)
(1) 矩形$ABCD$、$BCFE$、$AEML$、$GMFH$、$LGPN$的长与宽的比改变吗?
(2) 你认为这些大小不同的矩形相似吗?
(第8题)
答案
解：(1) 设矩形$ABCD$的宽$AD=a$，则长$AB=\sqrt{2}a$，长与宽的比为$\sqrt{2}:1$。
矩形$BCFE$中，$BC=AD=a$，$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}a}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$，长与宽的比为$a:\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1$；
矩形$AEML$中，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{\sqrt{2}}$，$AD=a$，长与宽的比为$a:\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1$；
矩形$GMFH$中，$GM=AE=\frac{a}{\sqrt{2}}$，$GF=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}$，长与宽的比为$\frac{a}{\sqrt{2}}:\frac{a}{2}=\sqrt{2}:1$；
矩形$LGPN$中，$LG=GF=\frac{a}{2}$，$LN=\frac{1}{2}GM=\frac{a}{2\sqrt{2}}$，长与宽的比为$\frac{a}{2}:\frac{a}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1$。
因此，矩形$ABCD$、$BCFE$、$AEML$、$GMFH$、$LGPN$的长与宽的比不改变。
(2) 这些矩形均为矩形，各内角均为$90°$，且对应边的比均为$\sqrt{2}:1$，即对应边成比例，根据相似多边形的定义，这些大小不同的矩形相似。
矩形$BCFE$中，$BC=AD=a$，$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}a}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$，长与宽的比为$a:\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1$；
矩形$AEML$中，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{\sqrt{2}}$，$AD=a$，长与宽的比为$a:\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1$；
矩形$GMFH$中，$GM=AE=\frac{a}{\sqrt{2}}$，$GF=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}$，长与宽的比为$\frac{a}{\sqrt{2}}:\frac{a}{2}=\sqrt{2}:1$；
矩形$LGPN$中，$LG=GF=\frac{a}{2}$，$LN=\frac{1}{2}GM=\frac{a}{2\sqrt{2}}$，长与宽的比为$\frac{a}{2}:\frac{a}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}:1$。
因此，矩形$ABCD$、$BCFE$、$AEML$、$GMFH$、$LGPN$的长与宽的比不改变。
(2) 这些矩形均为矩形，各内角均为$90°$，且对应边的比均为$\sqrt{2}:1$，即对应边成比例，根据相似多边形的定义，这些大小不同的矩形相似。
借助练习本上的横线将一根短绳五等分,试试看.
答案
解：
1. 将短绳一端标记为点P，置于练习本某条横线上，拉直短绳使另一端落在另一条横线上，标记为点Q。
2. 过点P作垂直于横线的直线，与练习本横线依次交于点P₀、P₁、P₂、P₃、P₄、P₅，其中P₀与P重合，且P₀P₁=P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=P₄P₅。
3. 连接P₅Q，分别过点P₁、P₂、P₃、P₄作P₅Q的平行线，依次交PQ于点M₁、M₂、M₃、M₄。
4. 由平行线分线段成比例定理，可得PM₁=M₁M₂=M₂M₃=M₃M₄=M₄Q，即点M₁、M₂、M₃、M₄将短绳PQ五等分。
1. 将短绳一端标记为点P，置于练习本某条横线上，拉直短绳使另一端落在另一条横线上，标记为点Q。
2. 过点P作垂直于横线的直线，与练习本横线依次交于点P₀、P₁、P₂、P₃、P₄、P₅，其中P₀与P重合，且P₀P₁=P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=P₄P₅。
3. 连接P₅Q，分别过点P₁、P₂、P₃、P₄作P₅Q的平行线，依次交PQ于点M₁、M₂、M₃、M₄。
4. 由平行线分线段成比例定理，可得PM₁=M₁M₂=M₂M₃=M₃M₄=M₄Q，即点M₁、M₂、M₃、M₄将短绳PQ五等分。
例1 如图6-6,直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,直线AC分别交$l_{1}$、$l_{2}$、$l_{3}$于点A、B、C;直线DF分别交$l_{1}$、$l_{2}$、$l_{3}$于点D、E、F.已知$DE=3$,$EF=6$,$AB=4$,求AC的长.
解 $\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$,
$\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DF}{DE}$.
$\therefore \dfrac{AC}{4}=\dfrac{3+6}{3}$.
解得$AC=12$.
解 $\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$,
$\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DF}{DE}$.
$\therefore \dfrac{AC}{4}=\dfrac{3+6}{3}$.
解得$AC=12$.
答案
解：
∵ $ l_{1} // l_{2} // l_{3} $，
∴ $ \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{DF}{DE} $，
∵ $ DE=3 $，$ EF=6 $，$ AB=4 $，
∴ $ DF=DE+EF=3+6=9 $，
∴ $ \dfrac{AC}{4} = \dfrac{9}{3} $，
解得 $ AC=12 $。
∵ $ l_{1} // l_{2} // l_{3} $，
∴ $ \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{DF}{DE} $，
∵ $ DE=3 $，$ EF=6 $，$ AB=4 $，
∴ $ DF=DE+EF=3+6=9 $，
∴ $ \dfrac{AC}{4} = \dfrac{9}{3} $，
解得 $ AC=12 $。
