例2 已知线段AB(图6-7),把线段AB五等分.
解 如图6-7.
(1)以A为端点作一条射线,并在射线上依次截取线段$AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}$.
(2)连接$A_{5}B$,并分别过点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$A_{4}$作$A_{5}B$的平行线,依次交AB于点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$.
点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$就是所求作的把线段AB五等分的点.
说明 我们只要过点A作一条与$A_{5}B$平行的直线l(图6-7),就可以根据“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”的基本事实,得到$\dfrac{AB_{1}}{AA_{1}}=\dfrac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}=\dfrac{B_{2}B_{3}}{A_{2}A_{3}}=$$\dfrac{B_{3}B_{4}}{A_{3}A_{4}}=\dfrac{B_{4}B}{A_{4}A_{5}}$.而$AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}$,所以$AB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}=B_{3}B_{4}=$$B_{4}B$.这就说明了$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$是所求作的五等分的点.
解 如图6-7.
(1)以A为端点作一条射线,并在射线上依次截取线段$AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}$.
(2)连接$A_{5}B$,并分别过点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$A_{4}$作$A_{5}B$的平行线,依次交AB于点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$.
点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$就是所求作的把线段AB五等分的点.
说明 我们只要过点A作一条与$A_{5}B$平行的直线l(图6-7),就可以根据“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”的基本事实,得到$\dfrac{AB_{1}}{AA_{1}}=\dfrac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}=\dfrac{B_{2}B_{3}}{A_{2}A_{3}}=$$\dfrac{B_{3}B_{4}}{A_{3}A_{4}}=\dfrac{B_{4}B}{A_{4}A_{5}}$.而$AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}$,所以$AB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}=B_{3}B_{4}=$$B_{4}B$.这就说明了$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$是所求作的五等分的点.
答案
解：
1. 以点A为端点作一条射线，在射线上依次截取$AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}$；
2. 连接$A_{5}B$，分别过点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$A_{4}$作$A_{5}B$的平行线，依次交AB于点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$；
3. 过点A作直线$l// A_{5}B$，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，可得：
$\dfrac{AB_{1}}{AA_{1}}=\dfrac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}=\dfrac{B_{2}B_{3}}{A_{2}A_{3}}=\dfrac{B_{3}B_{4}}{A_{3}A_{4}}=\dfrac{B_{4}B}{A_{4}A_{5}}$，
又因为$AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}$，所以$AB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}=B_{3}B_{4}=B_{4}B$。
综上，点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$就是线段AB的五等分点。
1. 以点A为端点作一条射线，在射线上依次截取$AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}$；
2. 连接$A_{5}B$，分别过点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$A_{4}$作$A_{5}B$的平行线，依次交AB于点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$；
3. 过点A作直线$l// A_{5}B$，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，可得：
$\dfrac{AB_{1}}{AA_{1}}=\dfrac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}=\dfrac{B_{2}B_{3}}{A_{2}A_{3}}=\dfrac{B_{3}B_{4}}{A_{3}A_{4}}=\dfrac{B_{4}B}{A_{4}A_{5}}$，
又因为$AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{3}A_{4}=A_{4}A_{5}$，所以$AB_{1}=B_{1}B_{2}=B_{2}B_{3}=B_{3}B_{4}=B_{4}B$。
综上，点$B_{1}$、$B_{2}$、$B_{3}$、$B_{4}$就是线段AB的五等分点。
1. 如图,$AB// CD// MN$,点M、N分别在线段AD、BC上.写出成比例线段和对应的比例式.
答案
解：
成比例线段：
$AM$与$MD$，$BN$与$NC$；
$AM$与$AD$，$BN$与$BC$；
$MD$与$AD$，$NC$与$BC$；
$DM$与$MA$，$CN$与$NB$；
$AD$与$AM$，$BC$与$BN$；
$AD$与$MD$，$BC$与$NC$。
对应的比例式：
$\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$，
$\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BC}$，
$\frac{MD}{AD}=\frac{NC}{BC}$，
$\frac{DM}{MA}=\frac{CN}{NB}$，
$\frac{AD}{AM}=\frac{BC}{BN}$，
$\frac{AD}{MD}=\frac{BC}{NC}$。
成比例线段：
$AM$与$MD$，$BN$与$NC$；
$AM$与$AD$，$BN$与$BC$；
$MD$与$AD$，$NC$与$BC$；
$DM$与$MA$，$CN$与$NB$；
$AD$与$AM$，$BC$与$BN$；
$AD$与$MD$，$BC$与$NC$。
对应的比例式：
$\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$，
$\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BC}$，
$\frac{MD}{AD}=\frac{NC}{BC}$，
$\frac{DM}{MA}=\frac{CN}{NB}$，
$\frac{AD}{AM}=\frac{BC}{BN}$，
$\frac{AD}{MD}=\frac{BC}{NC}$。
2. 如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$AD=EC$,$BD=4$,$AE=3$.求AB的长.
答案
解：设$AD=EC=x$，
$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
将$BD=4$，$AE=3$代入得：$\frac{x}{4}=\frac{3}{x}$，
解得$x^2=12$，
$\because x＞0$，
$\therefore x=2\sqrt{3}$，
$\therefore AB=AD+BD=2\sqrt{3}+4$。
$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，
将$BD=4$，$AE=3$代入得：$\frac{x}{4}=\frac{3}{x}$，
解得$x^2=12$，
$\because x＞0$，
$\therefore x=2\sqrt{3}$，
$\therefore AB=AD+BD=2\sqrt{3}+4$。
3. 如图,$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{2}$,$DE=6$,求DF的长.
答案
解：
∵$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，
∴$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{EF}$（平行线分线段成比例定理）。
又∵$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{2}$，$DE=6$，
∴$\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{EF}$，
解得$EF=4$。
∵$DF=DE+EF$，
∴$DF=6+4=10$。
答：DF的长为10。
∵$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，
∴$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{EF}$（平行线分线段成比例定理）。
又∵$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{2}$，$DE=6$，
∴$\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{EF}$，
解得$EF=4$。
∵$DF=DE+EF$，
∴$DF=6+4=10$。
答：DF的长为10。
