5. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上.已知$AC=6$,$BD=5$,$CD=4$,则$△ ABC$与
$△ DAC$是否相似?为什么?
$△ DAC$是否相似?为什么?
答案
解：△ABC与△DAC相似，理由如下：
∵ BD=5，CD=4，
∴ BC=BD+CD=5+4=9.
∵ AC=6，
∴ $\frac{BC}{AC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
∴ $\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}$.
又∵ ∠C=∠C，
∴ △ABC∽△DAC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
∵ BD=5，CD=4，
∴ BC=BD+CD=5+4=9.
∵ AC=6，
∴ $\frac{BC}{AC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，
∴ $\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{DC}$.
又∵ ∠C=∠C，
∴ △ABC∽△DAC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）.
6. 如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,且$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$.
求证:$DE// BC$.
求证:$DE// BC$.
答案
证明：
在$△ ADE$和$△ ABC$中，
$\because ∠ A = ∠ A$，$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ ADE = ∠ B$，
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
在$△ ADE$和$△ ABC$中，
$\because ∠ A = ∠ A$，$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ ADE = ∠ B$，
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=9$,$AC=12$,$BC=15$,点$D$在边$AB$上,$AD=6$,在$BC$上
取一点$E$,使$B$、$D$、$E$三点组成的三角形与$△ ABC$相似.$BE$应该取多长? 请说明
理由.
取一点$E$,使$B$、$D$、$E$三点组成的三角形与$△ ABC$相似.$BE$应该取多长? 请说明
理由.
答案
解：
∵ AB=9，AD=6，
∴ BD=AB-AD=9-6=3。
∵ ∠B是△BDE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
① 当∠BDE=∠A时，△BDE∽△BAC，
则$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}$，
代入BC=15，BD=3，BA=9，
得$\frac{BE}{15}=\frac{3}{9}$，
解得$BE=5$。
② 当∠BDE=∠C时，△BDE∽△BCA，
则$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
代入BA=9，BD=3，BC=15，
得$\frac{BE}{9}=\frac{3}{15}$，
解得$BE=\frac{9}{5}$。
答：BE的长为5或$\frac{9}{5}$。
∵ AB=9，AD=6，
∴ BD=AB-AD=9-6=3。
∵ ∠B是△BDE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
① 当∠BDE=∠A时，△BDE∽△BAC，
则$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{BA}$，
代入BC=15，BD=3，BA=9，
得$\frac{BE}{15}=\frac{3}{9}$，
解得$BE=5$。
② 当∠BDE=∠C时，△BDE∽△BCA，
则$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
代入BA=9，BD=3，BC=15，
得$\frac{BE}{9}=\frac{3}{15}$，
解得$BE=\frac{9}{5}$。
答：BE的长为5或$\frac{9}{5}$。
类似于判定三角形全等的"SSS"方法,我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢?
答案
证明：
已知$△ ABC$和$△ A'B'C'$，且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$（$k＞0$）。
在$△ A'B'C'$的边$A'B'$上截取$A'D=AB$，过点$D$作$DE// B'C'$，交$A'C'$于点$E$。
$\because DE// B'C'$，
$\therefore △ A'DE∽△ A'B'C'$（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore \frac{A'D}{A'B'}=\frac{DE}{B'C'}=\frac{A'E}{A'C'}=k$。
又$\because A'D=AB$，$\frac{AB}{A'B'}=k$，
$\therefore DE=k· B'C'=BC$，$A'E=k· A'C'=AC$。
在$△ ABC$和$△ A'DE$中，
$\begin{cases}AB=A'D \\BC=DE \\AC=A'E\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ A'DE$（SSS）。
$\because △ A'DE∽△ A'B'C'$，
$\therefore △ ABC∽△ A'B'C'$。
结论：三边成比例的两个三角形相似，即可以通过三边来判断两个三角形相似，类似判定三角形全等的“SSS”方法。
已知$△ ABC$和$△ A'B'C'$，且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$（$k＞0$）。
在$△ A'B'C'$的边$A'B'$上截取$A'D=AB$，过点$D$作$DE// B'C'$，交$A'C'$于点$E$。
$\because DE// B'C'$，
$\therefore △ A'DE∽△ A'B'C'$（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore \frac{A'D}{A'B'}=\frac{DE}{B'C'}=\frac{A'E}{A'C'}=k$。
又$\because A'D=AB$，$\frac{AB}{A'B'}=k$，
$\therefore DE=k· B'C'=BC$，$A'E=k· A'C'=AC$。
在$△ ABC$和$△ A'DE$中，
$\begin{cases}AB=A'D \\BC=DE \\AC=A'E\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ A'DE$（SSS）。
$\because △ A'DE∽△ A'B'C'$，
$\therefore △ ABC∽△ A'B'C'$。
结论：三边成比例的两个三角形相似，即可以通过三边来判断两个三角形相似，类似判定三角形全等的“SSS”方法。
例1 如图6-11,判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
分析 要判断△ABC与△EFD是否相似,从角的方面较难确定,但容易计算每个三角形的边长,可通过判断边是否对应成比例来判定.
解 设4×4方格中每个小正方形的边长为1个单位长度,根据勾股定理,得
$AB=2\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{10}$,$CA=\sqrt{2}$,$EF=2\sqrt{5}$,$FD=5$,$DE=\sqrt{5}$.
$\therefore \dfrac{CA}{DE}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{BC}{FD}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\therefore △ ABC ∽ △ EFD$.
分析 要判断△ABC与△EFD是否相似,从角的方面较难确定,但容易计算每个三角形的边长,可通过判断边是否对应成比例来判定.
解 设4×4方格中每个小正方形的边长为1个单位长度,根据勾股定理,得
$AB=2\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{10}$,$CA=\sqrt{2}$,$EF=2\sqrt{5}$,$FD=5$,$DE=\sqrt{5}$.
$\therefore \dfrac{CA}{DE}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{BC}{FD}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\therefore △ ABC ∽ △ EFD$.
答案
解：设4×4方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，根据勾股定理，得
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$CA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$EF=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$FD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$DE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\therefore \dfrac{CA}{DE}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$\dfrac{BC}{FD}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$。
$\therefore \dfrac{CA}{DE}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{BC}{FD}$。
$\therefore △ABC ∽ △EFD$。
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$CA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$EF=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$FD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$DE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\therefore \dfrac{CA}{DE}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$\dfrac{BC}{FD}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$。
$\therefore \dfrac{CA}{DE}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{BC}{FD}$。
$\therefore △ABC ∽ △EFD$。
