例2 如图6-12,O是△ABC内一点,点A'、B'、C'分别在OA、OB、OC上,且$\dfrac{OA'}{OA}=$$\dfrac{OB'}{OB}=\dfrac{OC'}{OC}$.
求证:$△ A'B'C' ∽ △ ABC$.
分析 由已知容易发现$△ OA'B' ∽ △ OAB$,$△ OA'C' ∽ △ OAC$,$△ OB'C' ∽ △ OBC$,由这三对相似三角形的对应边成比例,可得到△A'B'C'与△ABC的对应边成比例.
证明 在$△ OA'B'$和$△ OAB$中,
$\because ∠ A'OB'= ∠ AOB$,$\dfrac{OA'}{OA}=\dfrac{OB'}{OB}$,

$\therefore △ OA'B' ∽ △ OAB$.
$\therefore \dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{OA'}{OA}$.
同理可证$\dfrac{A'C'}{AC}=\dfrac{OA'}{OA}$.
$\therefore \dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}$.
同理可证$\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}$.
$\therefore \dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{A'C'}{AC}$.
$\therefore △ A'B'C' ∽ △ ABC$.

证明：
在$△ OA'B'$和$△ OAB$中，
$\because ∠ A'OB'= ∠ AOB$，$\dfrac{OA'}{OA}=\dfrac{OB'}{OB}$，
$\therefore △ OA'B' ∽ △ OAB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{OA'}{OA}$。
同理可证：$△ OA'C' ∽ △ OAC$，
$\therefore \dfrac{A'C'}{AC}=\dfrac{OA'}{OA}$，
$\therefore \dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}$。
同理可证：$△ OB'C' ∽ △ OBC$，
$\therefore \dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{OB'}{OB}$，
又$\because \dfrac{OA'}{OA}=\dfrac{OB'}{OB}$，
$\therefore \dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{OA'}{OA}$，
$\therefore \dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{A'C'}{AC}$。
$\therefore △ A'B'C' ∽ △ ABC$（三边对应成比例的两个三角形相似）。

1. 在△ABC和△A'B'C'中,AB = 5 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm, B'C' = 12 cm,
A'C' = 15 cm.当A'B' = cm时,$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.

解：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，
已知AB = 5 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，B'C' = 12 cm，A'C' = 15 cm，
则$\frac{8}{12}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{5}{A'B'}=\frac{2}{3}$，
解得$A'B'=\frac{15}{2}=7.5$（cm）。
答：A'B'的长为7.5 cm。

2. 如图,在△ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点.

求证:$△ EFD ∽ △ ABC$,并写出△EFD与△ABC的相似比.

证明：
∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴DF、DE、EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得：
$DF=\frac{1}{2}BC$，$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
∴$\frac{DF}{BC}=\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴△EFD∽△ABC（三边对应成比例的两个三角形相似），
△EFD与△ABC的相似比为$\frac{1}{2}$。

3. 如图,在等边三角形ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且AD=BE=CF.
找出图中所有相似的三角形(不要求证明).

解：
图中相似的三角形有：
$△ ADF ∽ △ BED ∽ △ CFE$，
$△ ABC ∽ △ DEF$。