4. 要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边的长分别是4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2.怎样选料可使这两个三角形相似?

解：分三种情况讨论：
1. 当边长为2的边与边长为4的边对应时，设另两边的长分别为$ x $、$ y $。
由相似三角形三边对应成比例，得：
$\frac{2}{4}=\frac{x}{5}=\frac{y}{6}$
解得$ x=2.5 $，$ y=3 $。
2. 当边长为2的边与边长为5的边对应时，设另两边的长分别为$ m $、$ n $。
由相似三角形三边对应成比例，得：
$\frac{2}{5}=\frac{m}{4}=\frac{n}{6}$
解得$ m=1.6 $，$ n=2.4 $。
3. 当边长为2的边与边长为6的边对应时，设另两边的长分别为$ p $、$ q $。
由相似三角形三边对应成比例，得：
$\frac{2}{6}=\frac{p}{4}=\frac{q}{5}$
解得$ p=\frac{4}{3} $，$ q=\frac{5}{3} $。
答：选料方案有三种：①另两边长为2.5和3；②另两边长为1.6和2.4；③另两边长为$\frac{4}{3}$和$\frac{5}{3}$。

5. 已知:如图,在△ABC中,点F、O、G在边BC上,点E在边AO上,$\dfrac{OF}{OB}=\dfrac{OE}{OA}=\dfrac{OG}{OC}$.
求证:$△ EFG ∽ △ ABC$.

证明：
∵ $\dfrac{OF}{OB}=\dfrac{OE}{OA}$，且$∠ EOF=∠ BOA$，
∴ $△ EOF ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ EFO=∠ B$，
∴ $EF// AB$（同位角相等，两直线平行）。
∵ $\dfrac{OE}{OA}=\dfrac{OG}{OC}$，且$∠ EOG=∠ AOC$，
∴ $△ EOG ∽ △ AOC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠ EGO=∠ C$，
∴ $EG// AC$（同位角相等，两直线平行）。
∵ $EF// AB$，$EG// AC$，
∴ $∠ FEG=∠ BAC$，
又∵ $∠ EFG=∠ B$，$∠ EGF=∠ C$，
∴ $△ EFG ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。

6. 已知:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,$∠ C= ∠ C'=90^{ \circ }$,$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$.
求证:$\mathrm{Rt} △ ABC ∽ \mathrm{Rt} △ A'B'C'$.

证明：设$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=k$，
则$AB=kA'B'$，$AC=kA'C'$。
因为$∠ C=∠ C'=90°$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$，$B'C'=\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}$。
将$AB=kA'B'$，$AC=kA'C'$代入得：
$BC=\sqrt{(kA'B')^{2}-(kA'C')^{2}}=\sqrt{k^{2}(A'B'^{2}-A'C'^{2})}=k\sqrt{A'B'^{2}-A'C'^{2}}=kB'C'$，
所以$\dfrac{BC}{B'C'}=k$。
因此$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}$，
故$\mathrm{Rt} △ ABC ∽ \mathrm{Rt} △ A'B'C'$。

在判定两个直角三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有"HL"方法.
类似地,请你探究两个直角三角形相似的条件.

解：
1. 有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似。
已知在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$∠ A=∠ A'$，
则$∠ B=90°-∠ A$，$∠ B'=90°-∠ A'$，故$∠ B=∠ B'$，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$Rt△ ABC ∽ Rt△ A'B'C'$。
2. 两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
已知在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$Rt△ ABC ∽ Rt△ A'B'C'$。
3. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
已知在$Rt△ ABC$和$Rt△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，
设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，则$AB=kA'B'$，$AC=kA'C'$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(kA'B')^2-(kA'C')^2}=k\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}=kB'C'$，
故$\frac{BC}{B'C'}=k$，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$Rt△ ABC ∽ Rt△ A'B'C'$。
综上，两个直角三角形相似的条件为：①有一个锐角对应相等；②两条直角边对应成比例；③斜边和一条直角边对应成比例。

例 如图6-13,$□ ABCD$的对角线交于点$O$,点$E$在边$BC$的延长线上,且
$OE=OB$,连接$DE$,$OE\bot CD$.
求证:$△ BDE ∽ △ DCE$.
证明 $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore OB=OD$.
又$OE=OB$,
$\therefore OE=OD$.
$\therefore ∠ OBE=∠ OEB$,$∠ ODE=∠ OED$.
$\because ∠ OBE+∠ OEB+∠ ODE+∠ OED=180°$,
$\therefore ∠ BED=∠ OEB+∠ OED=90°$.
$\because OE\bot CD$,
$\therefore ∠ CEO+∠ DCE=∠ CDE+∠ DCE=90°$.
$\therefore ∠ CEO=∠ CDE$.
$\therefore ∠ DBE=∠ CDE$.
又$∠ BED=∠ DEC$,
$\therefore △ BDE ∽ △ DCE$.

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OB=OD$。
又∵ $OE=OB$，
∴ $OE=OD$。
∴ $∠OBE=∠OEB$，$∠ODE=∠OED$。
∵ $∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°$，
∴ $∠BED=∠OEB+∠OED=90°$。
∵ $OE⊥CD$，
∴ $∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°$。
∴ $∠CEO=∠CDE$。
∴ $∠DBE=∠CDE$。
又∵ $∠BED=∠DEC$，
∴ $△BDE ∽ △DCE$。