(1) 如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,$AD=2.4\ \mathrm{cm}$,$BD=3.6\ \mathrm{cm}$,
$AE=4\ \mathrm{cm}$.下列条件中,能说明$△ ABC ∽ △ ADE$的条件是().


A.$BC=6\ \mathrm{cm}$
B.$CE=6\ \mathrm{cm}$
C.$CE=8\ \mathrm{cm}$
D.$AC=12\ \mathrm{cm}$

B

1. 计算AB的长度：$AB=AD+BD=2.4+3.6=6\ \mathrm{cm}$；
2. 要判定$△ ABC ∽ △ ADE$，$∠ A$为公共角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，需满足$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$；
3. 代入$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=2.4\ \mathrm{cm}$，$AE=4\ \mathrm{cm}$，解得$AC=10\ \mathrm{cm}$；
4. 计算$CE=AC-AE=10-4=6\ \mathrm{cm}$，对应选项B。

(2) 如图,在$△ ABC$中,点$P$在边$AC$上,连接$BP$.下列条件中,能说明$△ ABC ∽$
$△ APB$的是().

A.$\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{BC}{AB}$
B.$\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{BP}{BC}$
C.$\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{AC}{AB}$
D.$\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{BP}{AB}$

C

要判定$△ ABC ∼ △ APB$，可知$∠ A$是两个三角形的公共角。根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，需夹$∠ A$的两边对应成比例，即$\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{AC}{AB}$，对应选项C。

2. 分别判断下图中的各对三角形是否相似.
(1)$AC$、$BD$相交于点$O$;
(2) $∠ A=∠ D$.

解：
(1) 在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\frac{AO}{CO}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$，$\frac{BO}{DO}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$，
$\therefore \frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，
又$\because ∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等），
$\therefore △ AOB ∽ △ COD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\frac{AB}{DE}=\frac{45}{30}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{72}{48}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，
又$\because ∠ A=∠ D$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

3. 一个直角三角形的两条直角边的长分别为6 cm、4 cm,另一个直角三角形的两条直角
边的长分别为9 cm、6 cm.这两个直角三角形是否相似? 为什么?

解：
∵ 两个三角形都是直角三角形，
∴ 它们的直角相等。
又∵ $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，即两组直角边对应成比例，
∴ 这两个直角三角形相似（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
答：这两个直角三角形相似。

4. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$AC$上,$AB^{2}=AD· AC$,$∠ ABD=40°$,求$∠ C$的度数.

解：
∵ $ AB^2 = AD·AC $，
∴ $ \frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC} $，
又∵ $ ∠A = ∠A $，
∴ $ △ABD ∽ △ACB $（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $ ∠C = ∠ABD = 40° $。