例2 已知一次函数y=(m−2)x−
$\frac{m}{4}$2+1.
(1)当m为何值时，函数的图象过原
点？
(2)当m为何值时,函数的图象过点(0,
−3)?
(3)当m为何值时,函数的图象平行于直线y=2x?

(1)因为函数的图象过原点$(0,0)$，
所以$\begin{cases}m - 2 ≠ 0,\\0 = (m - 2) × 0 - \frac{m^{2}}{4} + 1.\end{cases}$
由$0=(m-2)×0-\frac{m^2}{4}+1$，可得$-\frac{m^{2}}{4}+1 = 0$，
即$m^{2}=4$，
解得$m=\pm2$，
又因为$m - 2≠0$，即$m≠2$，
所以$m = - 2$。
(2)因为函数的图象过点$(0,-3)$，
所以$\begin{cases}m - 2 ≠ 0,\\- 3 = (m - 2) × 0 - \frac{m^{2}}{4} + 1.\end{cases}$
由$-3=(m - 2)×0-\frac{m^{2}}{4}+1$，可得$-\frac{m^{2}}{4}+1=-3$，
即$\frac{m^{2}}{4}=4$，
$m^{2}=16$，
解得$m=\pm4$，
所以当$m = \pm 4$时，函数图象过点$(0,-3)$。
(3)因为函数的图象平行于直线$y = 2x$，
所以$\begin{cases}m - 2 = 2,\\- \frac{m^{2}}{4} + 1≠0.\end{cases}$
由$m - 2 = 2$，解得$m = 4$，
当$m = 4$时，$-\frac{m^{2}}{4}+1=-\frac{4^{2}}{4}+1=-4 + 1=-3≠0$，
所以当$m = 4$时，函数图象平行于直线$y = 2x$。

例3 如图直线:y1=kx+b经过点
A(−6,0),B(−1,5).

(1)求直线AB的表达式;
(2)若直线y2=−2x−3与直线AB相交
于点M,与x轴相交于点D.求四边形OBMD
的面积;
(3)根据图象,直接写出关于x的不等
式kx+b＞−2x−3≥0的解集.

(1)y=x+6；(2)33/4；(3)-3＜x≤-3/2。

(1) 将点A(-6,0)、B(-1,5)代入y1=kx+b，得：
$\begin{cases}-6k + b = 0 \\-k + b = 5\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k = 1 \\b = 6\end{cases}$
∴直线AB的表达式为y1=x+6。
(2) 对于y2=-2x-3，令y2=0，得-2x-3=0，解得x=-3/2，∴D(-3/2,0)。
联立$\begin{cases}y = x + 6 \\y = -2x - 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -3 \\y = 3\end{cases}$
∴M(-3,3)。
四边形OBMD面积：由O(0,0)、B(-1,5)、M(-3,3)、D(-3/2,0)，用坐标面积公式得：
$S = \frac{1}{2}\left|0×5 + (-1)×3 + (-3)×0 + (-\frac{3}{2})×0 - [0×(-1) + 5×(-3) + 3×(-\frac{3}{2}) + 0×0]\right| = \frac{33}{4}$
(3) 由y1＞y2得x＞-3；由y2≥0得x≤-3/2，∴解集为-3＜x≤-3/2。

例4 如图,直线l是一次函数y=kx+
b的图象,且经过点A(0,1)和点B(3，−3).

(1)求直线l的表达式;
(2)求直线l与两坐标轴所围成的三角
形的面积;
(3)设点P在y轴上,若△ACP的面积为
$\frac{15}{4}$,求点P的坐标.

(1) 已知直线 $l$ 经过点 $A(0,1)$ 和点 $B(3,-3)$，设直线 $l$ 的表达式为 $y = kx + b$。
将点 $A(0,1)$ 代入 $y = kx + b$，得：
$1 = k × 0 + b \implies b = 1$，
将点 $B(3,-3)$ 代入 $y = kx + b$，得：
$-3 = k × 3 + 1 \implies 3k = -4 \implies k = -\frac{4}{3}$，
因此，直线 $l$ 的表达式为 $y = -\frac{4}{3}x + 1$。
(2) 直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $C$，令$y=0$，则$0 = -\frac{4}{3}x + 1 \implies x = \frac{3}{4}$，
所以$C(\frac{3}{4}, 0)$，
直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $A(0,1)$，
因此，直线 $l$ 与两坐标轴所围成的三角形的面积为：
$S = \frac{1}{2} × OA × OC = \frac{1}{2} × 1 × \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$。
(3) 设点 $P$ 的坐标为 $(0, y)$。
已知$△ ACP$ 的面积为 $\frac{15}{4}$，$AC$为底，$AC=\frac{3}{4} $，
则高为$|y-1|$，
因此$\frac{1}{2} × \frac{3}{4} × |y-1| = \frac{15}{4}$，
即$|y-1| = 10$，
解得：
$y = 11 \quad \mathrm{或} \quad y = -9$，
因此，点 $P$ 的坐标为 $(0, 11)$ 或 $(0, -9)$。