2026年智慧学习导学练明天出版社八年级数学下册人教版第115页答案
7. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$BC = 3$，点 $E$ 在边 $BC$ 上，且 $EC = 2BE$，$F$ 为 $CD$ 的中点，$M$ 为 $AF$ 的中点，$N$ 为 $EF$ 上的点，$∠ FMN = 75°$，则线段 $AE$ 的长为
$ \sqrt{5} $
，线段 $MN$ 的长为
$ \dfrac{\sqrt{15}}{3} $
.

答案

7. $ \sqrt{5} $ $ \dfrac{\sqrt{15}}{3} $
8. 如图，点 $P$ 是矩形 $ABCD$ 的边 $AD$ 上一动点，矩形的两条边 $AB$，$BC$ 的长分别是 $6$ 和 $8$，则点 $P$ 到矩形的两条对角线 $AC$ 和 $BD$ 的距离之和是
$ \dfrac{24}{5} $
.

答案

8. $ \dfrac{24}{5} $
9. 如图，在 $△ ABC$ 中，点 $O$ 是 $AC$ 边上一个动点，过 $O$ 作直线 $MN // BC$，设 $MN$ 交 $∠ BCA$ 的平分线于点 $E$，交 $∠ BCA$ 的外角平分线于点 $F$.
(1) 求证：$EO = FO$.
(2) 当点 $O$ 运动到何处时，四边形 $AECF$ 是矩形？证明你的结论.

答案

9. （1）证明：因为$MN// BC，$所以$∠ OEC=∠ BCE，$
因为$CE$平分$∠ BCA，$所以$∠ BCE=∠ OCE，$
所以$∠ OEC=∠ OCE，$则$OE=OC，$
同理，$CF$平分$∠ ACD，$$∠ OFC=∠ FCD，$$∠ FCD=∠ OCF，$
所以$∠ OFC=∠ OCF，$则$OF=OC，$
所以$EO=FO。$
（2）解：当点$O$运动到$AC$的中点时，四边形$AECF$是矩形，证明如下：
因为$O$是$AC$的中点，所以$OA=OC，$
又$EO=FO，$所以四边形$AECF$是平行四边形，
因为$CE$平分$∠ BCA，$$CF$平分$∠ ACD，$
所以$∠ ECF=∠ ECO+∠ FCO=\frac{1}{2}∠ BCA+\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}(∠ BCA+∠ ACD)=90°，$
所以平行四边形$AECF$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
1. 如图,已知四边形$ABCD$是平行四边形,下列结论不正确的是(
D
)

A.当$AB = BC$时,它是菱形
B.当$AC ⊥ BD$时,它是菱形
C.当$∠ ABC = 90°$时,它是矩形
D.当$AC = BD$时,它是菱形

答案

1. D
2. 如图,点$P$是矩形$ABCD$的对角线$AC$上一点,过点$P$作$EF // BC$,分别交$AB$,$CD$于点$E$,$F$,连接$PB$,$PD$. 若$AE = 2$,$PF = 8$. 则图中阴影部分的面积为(
C
)

A.10
B.12
C.16
D.18

答案

2. C
3. 如图,在正方形$ABCD$中,$E$,$F$分别是$AB$,$BC$的中点,$CE$,$DF$交于点$G$,连接$AG$,有下列结论:①$CE = DF$,②$CE ⊥ DF$,③$∠ AGE = ∠ CDF$,④$∠ EAG = 30°$. 正确的有几项(
C
)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案

3. C