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如图，在 $△ ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边上的一点，$E$ 是 $AD$ 的中点，过 $A$ 点作 $BC$ 的平行线交 $CE$ 的延长线于点 $F$，且 $AF = BD$，连接 $BF$.
(1) 求证：$BD = DC$.
(2) 若 $AB = AC$ 时，试证明：四边形 $AFBD$ 是矩形.
如图，在 $△ ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边上的一点，$E$ 是 $AD$ 的中点，过 $A$ 点作 $BC$ 的平行线交 $CE$ 的延长线于点 $F$，且 $AF = BD$，连接 $BF$.
(1) 求证：$BD = DC$.
(2) 若 $AB = AC$ 时，试证明：四边形 $AFBD$ 是矩形.
答案
（1）证明：因为$AF// BC，$所以$∠ AFE=∠ DCE，$
因为$E$是$AD$的中点，所以$AE=DE，$
在$△ AFE$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ AFE=∠ DCE \\∠ AEF=∠ DEC \\AE=DE\end{cases}$
所以$△ AFE≌△ DCE$（AAS），所以$AF=DC，$
又$AF=BD，$所以$BD=DC。$
（2）证明：因为$AF=BD，$$AF// BD，$所以四边形$AFBD$是平行四边形，
因为$AB=AC，$$BD=DC，$所以$AD⊥ BC，$即$∠ ADB=90°，$
所以平行四边形$AFBD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
1. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图 1 所示菱形 $ABCD$，并测得 $∠ B = 60°$，对角线 $AC = 5$，接着活动学具成为图 2 所示正方形 $EFGH$，则图 2 中对角线 $EG$ 的长为(
A.$5$
B.$5\sqrt{2}$
C.$10$
D.$15$
B
)A.$5$
B.$5\sqrt{2}$
C.$10$
D.$15$
答案
1. B
2. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$AB = 5$，$BD = 8$，$AE ⊥ CD$ 于点 $E$，交 $BD$ 于点 $F$，则 $AF$ 的长是(
A.$\frac{24}{5}$
B.$\frac{15}{4}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$3$
B
)A.$\frac{24}{5}$
B.$\frac{15}{4}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$3$
答案
2. B
3. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，其中 $AC = 8$，$BD = 6$，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$，连接 $OH$，则 $\frac{DH}{OH} =$(
A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{16}{5}$
C.$\frac{25}{5}$
D.$3$
A
)A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{16}{5}$
C.$\frac{25}{5}$
D.$3$
答案
3. A
4. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$∠ α = 60°$，若 $AB = OD = 2$，则 $□ ABCD$ 的面积是(
A.$8$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
D
)A.$8$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
4. D
5. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 是两条对角线. 现有四个条件：①$AB = BC$；②$AB ⊥ BC$；③$AC = BD$；④$AC ⊥ BD$. 其中可以推出平行四边形 $ABCD$ 是矩形的有
②③
. (写出符合题意的全部序号)答案
5. ②③
6. 如图，过矩形 $ABCD$ 的四个顶点分别作对角线 $AC$，$BD$ 的平行线，它们分别相交于 $E$，$F$，$G$，$H$ 四点，则四边形 $EFGH$ 为(
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
C
)A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案
6. C
