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4. 在$□ ABCD$中,$∠ DAB$的平分线交$CD$于点$E$,交$BC$的延长线于点$G$,$∠ ABC$的平分线交$CD$于点$F$,交$AD$的延长线于点$H$,$AG$与$BH$交于点$O$. 下列结论错误的是(
A.$BO = OH$
B.$DF = CE$
C.$DH = CG$
D.$AB = AE$
D
)A.$BO = OH$
B.$DF = CE$
C.$DH = CG$
D.$AB = AE$
答案
4. D
5. 如图,在一个对边平行的纸条上有两点$A$,$B$及线段$AB$的中点$O$,以下操作和判断不正确的是(
A.过点$O$作任意直线(除直线$AB$)交纸条两边于点$C$,$D$,得到平行四边形$ACBD$
B.过点$O$作$AB$的垂线$l$交纸条两边于点$C$,$D$,得到菱形$ACBD$
C.分别过点$A$,$B$作对边的垂线,交对边于点$C$,$D$,得到矩形$ACBD$
D.在点$A$,$B$所在边的对边分别取$C$,$D$两点,使得$AC = BD$,得到平行四边形$ACBD$
D
)A.过点$O$作任意直线(除直线$AB$)交纸条两边于点$C$,$D$,得到平行四边形$ACBD$
B.过点$O$作$AB$的垂线$l$交纸条两边于点$C$,$D$,得到菱形$ACBD$
C.分别过点$A$,$B$作对边的垂线,交对边于点$C$,$D$,得到矩形$ACBD$
D.在点$A$,$B$所在边的对边分别取$C$,$D$两点,使得$AC = BD$,得到平行四边形$ACBD$
答案
5. D
6. 在四边形$ABCD$中,已知$AB // DC$,$AD // BC$,如果$∠ B = 50°$,那么$∠ D =$
$ 50 ^ { \circ } $
.答案
6. $ 50 ^ { \circ } $
7. 如图,已知直线$l_{1} // l_{2}$,含$30°$角的三角板的直角顶点$C$在$l_{1}$上,$30°$角的顶点$A$在$l_{2}$上,如果边$AB$与$l_{1}$的交点$D$是$AB$的中点,那么$∠ 1 =$
120
度.答案
7. 120
8. 如图,一张矩形纸片的长$AD = 12$,宽$AB = 2$,点$E$在边$AD$上,点$F$在边$BC$上,将四边形$ABFE$沿直线$EF$翻折后,点$B$落在边$AD$的三等分点$G$处,点$A$落在点$A'$处,则$EG$的长为
$ \frac { 5 } { 2 } $ 或 $ \frac { 17 } { 4 } $
.答案
8. $ \frac { 5 } { 2 } $ 或 $ \frac { 17 } { 4 } $
9. 如图所示,给出一张矩形纸片$ABCD$,已知$AB = 8$,$AD = 7$,$E$为$AB$上一点,$AE = 5$,点$P$在矩形$ABCD$的一边上,要使$△ AEP$是等腰三角形,则$△ AEP$的底边长为
5 或 $ 5 \sqrt { 2 } $ 或 $ 4 \sqrt { 5 } $
.答案
9. 5 或 $ 5 \sqrt { 2 } $ 或 $ 4 \sqrt { 5 } $
10. 如图,在正方形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于$O$,$E$点在$BC$上,$EG ⊥ OB$,$EF ⊥ OC$,垂足分别为点$G$,$F$,$AC = 10$,则$EG + EF =$
5
.答案
10. 5
11. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,线段$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$,垂足为$O$,$BE // AC$交$DO$的延长线于点$E$,连接$AE$.
(1) 求证:四边形$ADBE$是菱形.
(2) 连接$OC$,若$OC = 2\sqrt{5}$,$BC = 4$,求四边形$ADBE$的周长.
(1) 求证:四边形$ADBE$是菱形.
(2) 连接$OC$,若$OC = 2\sqrt{5}$,$BC = 4$,求四边形$ADBE$的周长.
答案
11. (1) 证明：
∵ $BE// AC，$
∴ $∠ OAC=∠ OBE，$
∵ $O$是$AB$的中点，
∴ $OA=OB，$
在$△ AOD$和$△ BOE$中，
$\begin{cases}∠ OAC=∠ OBE \\OA=OB \\∠ AOD=∠ BOE\end{cases}$
∴ $△ AOD≌△ BOE(ASA)，$
∴ $OD=OE，$
又
∵ $OA=OB，$
∴ 四边形$ADBE$是平行四边形，
∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，
∴ $AD=BD，$
∴ 平行四边形$ADBE$是菱形。
(2) 解：
∵ $∠ ACB=90°，$$O$是$AB$的中点，$OC=2\sqrt{5}，$
∴ $AB=2OC=4\sqrt{5}，$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=\sqrt{64}=8，$
设$AD=BD=x，$则$CD=8-x，$
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BD^2=CD^2+BC^2，$
即$x^2=(8-x)^2+4^2，$
$x^2=64-16x+x^2+16，$
$16x=80，$
解得$x=5，$
∵ 四边形$ADBE$是菱形，
∴ 周长为$4×5=20。$
