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12. 矩形$ABCD$的对角线交于点$O$,$E$是射线$BC$上一点(不与$B$,$C$重合),过点$O$作$OF ⊥ OE$交直线$CD$于点$F$,连接$EF$.
(1) 如图1,当$E$是$BC$的中点时,若$BC = 4$,$AB = 3$,求$EF$的长;
(2) 当$E$在$BC$的延长线上时,依题意补全图形2,用等式表示线段$BE$,$DF$,$EF$之间的数量关系,并证明.
(1) 如图1,当$E$是$BC$的中点时,若$BC = 4$,$AB = 3$,求$EF$的长;
(2) 当$E$在$BC$的延长线上时,依题意补全图形2,用等式表示线段$BE$,$DF$,$EF$之间的数量关系,并证明.
答案
12. (1) 解：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，$AB=3，$$BC=4，$
∴ $O$是$AC$、$BD$的中点，$E$是$BC$中点，
∴ $OE$是$△ ABC$的中位线，
∴ $OE=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}，$$OE// AB，$
∵ $AB⊥ BC，$
∴ $OE⊥ BC，$
∵ $OF⊥ OE，$
∴ $OF// BC，$
∴ $F$是$CD$中点，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}，$$EC=\frac{1}{2}BC=2，$
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}。$
(2) 补全图形：延长$FO$交$AB$于点$H$
数量关系：$BE=DF+EF$
证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AB// CD，$$OB=OD，$
∴ $∠ OHB=∠ OFD，$
在$△ OHB$和$△ OFD$中，
$\begin{cases}∠ OHB=∠ OFD \\∠ BOH=∠ DOF \\OB=OD\end{cases}$
∴ $△ OHB≌△ OFD(AAS)，$
∴ $BH=DF，$$OH=OF，$
∵ $OE⊥ OF，$
∴ $EH=EF，$
∵ $EH=BE-BH，$
∴ $EF=BE-DF，$即$BE=DF+EF。$
13. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$P$是对角线$BD$上的一点,过点$C$作$CQ // DB$,且$CQ = DP$,连接$AP$,$BQ$,$PQ$.
(1) 求证:$△ APD ≌ △ BQC$.
(2) 若$∠ ABP + ∠ BQC = 180°$,求证:四边形$ABQP$为菱形.
(1) 求证:$△ APD ≌ △ BQC$.
(2) 若$∠ ABP + ∠ BQC = 180°$,求证:四边形$ABQP$为菱形.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC，$$AD// BC，$
∴ $∠ ADB=∠ DBC，$
∵ $CQ// DB，$
∴ $∠ BCQ=∠ DBC，$
∴ $∠ ADB=∠ BCQ，$
在$△ APD$和$△ BQC$中，
$\begin{cases}AD=BC \\∠ ADP=∠ BCQ \\DP=CQ\end{cases}$
∴ $△ APD≌△ BQC(SAS)。$
(2) 证明：
∵ $CQ// DB，$且$CQ=DP，$
∴ 四边形$DPQC$是平行四边形，
∴ $DC=PQ，$$DC// PQ，$
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB=DC，$$AB// DC，$
∴ $AB=PQ，$$AB// PQ，$
∴ 四边形$ABQP$是平行四边形，
由
(1)知$△ APD≌△ BQC，$
∴ $∠ APD=∠ BQC，$
∵ $∠ APD+∠ APB=180°，$$∠ ABP+∠ BQC=180°，$
∴ $∠ APB=∠ ABP，$
∴ $AB=AP，$
∴ 平行四边形$ABQP$是菱形。
解析
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC。
∵CQ//DB，
∴∠DBC=∠BCQ，
∴∠ADB=∠BCQ。在△APD和△BQC中，AD=BC，∠ADP=∠BCQ，DP=CQ，
∴△APD≌△BQC(SAS)。
(2)由(1)得△APD≌△BQC，
∴AP=BQ，∠APD=∠BQC。
∵∠ABP + ∠BQC=180°，
∴∠ABP + ∠APD=180°。
∵∠APD + ∠APB=180°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP。
∵CQ//DB，
∴∠BQC=∠QBD，又∠APD=∠BQC，
∴∠APD=∠QBD，
∴AP//BQ。
∵AP//BQ且AP=BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形。
∵AB=AP，
∴平行四边形ABQP为菱形。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC。
∵CQ//DB，
∴∠DBC=∠BCQ，
∴∠ADB=∠BCQ。在△APD和△BQC中，AD=BC，∠ADP=∠BCQ，DP=CQ，
∴△APD≌△BQC(SAS)。
(2)由(1)得△APD≌△BQC，
∴AP=BQ，∠APD=∠BQC。
∵∠ABP + ∠BQC=180°，
∴∠ABP + ∠APD=180°。
∵∠APD + ∠APB=180°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP。
∵CQ//DB，
∴∠BQC=∠QBD，又∠APD=∠BQC，
∴∠APD=∠QBD，
∴AP//BQ。
∵AP//BQ且AP=BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形。
∵AB=AP，
∴平行四边形ABQP为菱形。
14. 如图,在正方形$ABCD$中,$E$是$BD$上一点,$AE$的延长线交$CD$于点$F$,交$BC$的延长线于点$G$,$M$是$FG$的中点.
(1) 求证:①$∠ 1 = ∠ 2$;②$EC ⊥ MC$.
(2) 试问:当$∠ 1$等于多少度时,$△ ECG$为等腰三角形? 请说明理由.
(1) 求证:①$∠ 1 = ∠ 2$;②$EC ⊥ MC$.
(2) 试问:当$∠ 1$等于多少度时,$△ ECG$为等腰三角形? 请说明理由.
答案
14. (1) ① 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=CB，$$∠ ABE=∠ CBE=45°，$
在$△ ABE$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}AB=CB \\∠ ABE=∠ CBE \\BE=BE\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ CBE(SAS)，$
∴ $∠ 1=∠ 2。$
② 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $∠ BCD=90°，$
∵ $M$是$FG$的中点，
∴ $MC=MF=MG，$
∴ $∠ MFC=∠ MCF，$
∵ $AB// CD，$
∴ $∠ 1=∠ MFC，$
由①知$∠ 1=∠ 2，$
∴ $∠ 2=∠ MCF，$
∵ $∠ MCF+∠ ECF=90°，$
∴ $∠ 2+∠ ECF=90°，$即$∠ ECM=90°，$
∴ $EC⊥ MC。$
(2) 解：当$∠ 1=30°$时，$△ ECG$为等腰三角形，理由如下：
∵ $∠ 1=30°，$$AD// BG，$
∴ $∠ G=∠ 1=30°，$
由$∠ 1=∠ 2，$得$∠ 2=30°，$
$∠ ECB=90°-∠ 2=60°，$
∴ $∠ ECG=180°-∠ ECB=120°，$
在$△ ECG$中，$∠ CEG=180°-∠ ECG-∠ G=180°-120°-30°=30°，$
∴ $∠ CEG=∠ G，$
∴ $EC=CG，$
∴ $△ ECG$为等腰三角形。
