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1.计算:
(1)$(10^{3})^{3}$; (2)$[(-6)^{3}]^{4}$。
(1)$(10^{3})^{3}$; (2)$[(-6)^{3}]^{4}$。
答案
解：
(1) 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(10^{3})^{3}=10^{3×3}=10^9$
(2) 根据幂的乘方法则可得：
$[(-6)^{3}]^{4}=(-6)^{3×4}=(-6)^{12}=6^{12}$
(1) 根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(10^{3})^{3}=10^{3×3}=10^9$
(2) 根据幂的乘方法则可得：
$[(-6)^{3}]^{4}=(-6)^{3×4}=(-6)^{12}=6^{12}$
解析
1
2.计算:
(1)$(a^{2}b)^{5}$; (2)$(-pq)^{3}$;
(3)$-(-3xy^{3})^{3}$; (4)$[-(xy)^{2}]^{3}$;
(5)$(a^{n+1})^{3}$; (6)$(x^{2})^{3}· (x^{2})^{2}$。
知识点2 综合运用同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方
(1)$(a^{2}b)^{5}$; (2)$(-pq)^{3}$;
(3)$-(-3xy^{3})^{3}$; (4)$[-(xy)^{2}]^{3}$;
(5)$(a^{n+1})^{3}$; (6)$(x^{2})^{3}· (x^{2})^{2}$。
知识点2 综合运用同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方
答案
2.(1)$a^{10}b^{5}$ (2)$-p^{3}q^{3}$ (3)$27x^{3}y^{9}$ (4)$-x^{6}y^{6}$
(5)$a^{3n+3}$ (6)$x^{10}$
(5)$a^{3n+3}$ (6)$x^{10}$
解析
【分析】
本题主要考查幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法法则的应用，解题思路如下：
1. 明确各运算法则：积的乘方是把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$；幂的乘方是底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$；同底数幂相乘是底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$。
2. 逐个分析小题：
(1)直接应用积的乘方和幂的乘方法则，将$a^2$和$b$分别乘方后相乘；
(2)应用积的乘方法则，注意负号的乘方运算；
(3)先计算括号内的积的乘方，再处理前面的负号，注意负负得正；
(4)先计算内层的积的乘方，再计算外层的幂的乘方，同时注意符号；
(5)直接应用幂的乘方法则，对含字母的指数进行乘法运算；
(6)先分别计算两个幂的乘方，再应用同底数幂的乘法法则合并。
【解析】
(1) $(a^{2}b)^{5}$
根据积的乘方与幂的乘方法则：
$=(a^{2})^{5}·b^{5}$
$=a^{2×5}b^{5}$
$=a^{10}b^{5}$
(2) $(-pq)^{3}$
根据积的乘方法则：
$=(-1)^3·p^{3}·q^{3}$
$=-p^{3}q^{3}$
(3) $-(-3xy^{3})^{3}$
先计算括号内的积的乘方：
$=-[(-3)^3·x^{3}·(y^{3})^{3}]$
$=-[(-27)·x^{3}·y^{3×3}]$
$=-(-27x^{3}y^{9})$
$=27x^{3}y^{9}$
(4) $[-(xy)^{2}]^{3}$
先计算内层的积的乘方：
$=(-1)^3·[(xy)^{2}]^{3}$
$=-1·(x^{2}y^{2})^{3}$
再根据积的乘方与幂的乘方法则：
$=-1·x^{2×3}y^{2×3}$
$=-x^{6}y^{6}$
(5) $(a^{n+1})^{3}$
根据幂的乘方法则：
$=a^{(n+1)×3}$
$=a^{3n+3}$
(6) $(x^{2})^{3}· (x^{2})^{2}$
先分别计算幂的乘方：
$=x^{2×3}·x^{2×2}$
$=x^{6}·x^{4}$
再根据同底数幂的乘法法则：
$=x^{6+4}$
$=x^{10}$
【答案】
(1)$a^{10}b^{5}$；(2)$-p^{3}q^{3}$；(3)$27x^{3}y^{9}$；(4)$-x^{6}y^{6}$；(5)$a^{3n+3}$；(6)$x^{10}$
【知识点】
幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，涵盖了三种核心幂运算法则，解题时需准确区分各法则的适用场景，尤其注意符号运算和含字母指数的计算，是巩固幂运算基础知识的典型题目。
【难度系数】
0.6
本题主要考查幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法法则的应用，解题思路如下：
1. 明确各运算法则：积的乘方是把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$；幂的乘方是底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$；同底数幂相乘是底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$。
2. 逐个分析小题：
(1)直接应用积的乘方和幂的乘方法则，将$a^2$和$b$分别乘方后相乘；
(2)应用积的乘方法则，注意负号的乘方运算；
(3)先计算括号内的积的乘方，再处理前面的负号，注意负负得正；
(4)先计算内层的积的乘方，再计算外层的幂的乘方，同时注意符号；
(5)直接应用幂的乘方法则，对含字母的指数进行乘法运算；
(6)先分别计算两个幂的乘方，再应用同底数幂的乘法法则合并。
【解析】
(1) $(a^{2}b)^{5}$
根据积的乘方与幂的乘方法则：
$=(a^{2})^{5}·b^{5}$
$=a^{2×5}b^{5}$
$=a^{10}b^{5}$
(2) $(-pq)^{3}$
根据积的乘方法则：
$=(-1)^3·p^{3}·q^{3}$
$=-p^{3}q^{3}$
(3) $-(-3xy^{3})^{3}$
先计算括号内的积的乘方：
$=-[(-3)^3·x^{3}·(y^{3})^{3}]$
$=-[(-27)·x^{3}·y^{3×3}]$
$=-(-27x^{3}y^{9})$
$=27x^{3}y^{9}$
(4) $[-(xy)^{2}]^{3}$
先计算内层的积的乘方：
$=(-1)^3·[(xy)^{2}]^{3}$
$=-1·(x^{2}y^{2})^{3}$
再根据积的乘方与幂的乘方法则：
$=-1·x^{2×3}y^{2×3}$
$=-x^{6}y^{6}$
(5) $(a^{n+1})^{3}$
根据幂的乘方法则：
$=a^{(n+1)×3}$
$=a^{3n+3}$
(6) $(x^{2})^{3}· (x^{2})^{2}$
先分别计算幂的乘方：
$=x^{2×3}·x^{2×2}$
$=x^{6}·x^{4}$
再根据同底数幂的乘法法则：
$=x^{6+4}$
$=x^{10}$
【答案】
(1)$a^{10}b^{5}$；(2)$-p^{3}q^{3}$；(3)$27x^{3}y^{9}$；(4)$-x^{6}y^{6}$；(5)$a^{3n+3}$；(6)$x^{10}$
【知识点】
幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，涵盖了三种核心幂运算法则，解题时需准确区分各法则的适用场景，尤其注意符号运算和含字母指数的计算，是巩固幂运算基础知识的典型题目。
【难度系数】
0.6
3.算式$27^{a}· 3^{b}$等于(
A.$81^{a+b}$
B.$3^{3ab}$
C.$3^{3a+b}$
D.$3^{a+b}$
C
)。A.$81^{a+b}$
B.$3^{3ab}$
C.$3^{3a+b}$
D.$3^{a+b}$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要观察到算式中的底数27和3是同底数的倍数关系，我们可以先将27转化为以3为底的幂，再利用幂的运算规则进行计算。具体思路如下：第一步，把27写成3的3次方，将$27^a$转化为以3为底的幂；第二步，运用幂的乘方法则化简转化后的式子；第三步，根据同底数幂的乘法法则计算最终结果，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
第一步，将27转化为以3为底的幂：
因为$27 = 3^3$，所以$27^a = (3^3)^a$。
第二步，根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）化简：
$(3^3)^a = 3^{3× a} = 3^{3a}$。
第三步，根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算：
$27^a·3^b = 3^{3a}·3^b = 3^{3a + b}$。
对比选项可知，正确答案是C选项。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则
【点评】
本题主要考查幂的运算性质，解题关键是先将不同底数的幂统一为同底数幂，再运用相应的运算法则计算，属于基础题型，熟练掌握幂的运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要观察到算式中的底数27和3是同底数的倍数关系，我们可以先将27转化为以3为底的幂，再利用幂的运算规则进行计算。具体思路如下：第一步，把27写成3的3次方，将$27^a$转化为以3为底的幂；第二步，运用幂的乘方法则化简转化后的式子；第三步，根据同底数幂的乘法法则计算最终结果，最后对比选项选出正确答案。
【解析】
第一步，将27转化为以3为底的幂：
因为$27 = 3^3$，所以$27^a = (3^3)^a$。
第二步，根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）化简：
$(3^3)^a = 3^{3× a} = 3^{3a}$。
第三步，根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）计算：
$27^a·3^b = 3^{3a}·3^b = 3^{3a + b}$。
对比选项可知，正确答案是C选项。
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则
【点评】
本题主要考查幂的运算性质，解题关键是先将不同底数的幂统一为同底数幂，再运用相应的运算法则计算，属于基础题型，熟练掌握幂的运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
