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1. 如图,在正方形$ABCD$中,$AD=2\sqrt{3}$,把边$BC$绕点$B$逆时针旋转$30°$得到线段$BP$,连接$AP$并延长交$CD$于点$E$,连接$PC$,则$△ PCE$的面积为
（第1题）
$9-5\sqrt{3}$
.（第1题）答案
1. $9-5\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质确定各边长度和内角为90°，结合旋转的性质得到BP与BC相等、∠PBC为30°，推导得出△ABP是等边三角形，进而求出∠DAE的度数，计算出CE的长度；再通过作辅助线求出点P到CD边的距离，最后代入三角形面积公式即可求出△PCE的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，$AD=2\sqrt{3}$，
∴$AB=BC=CD=AD=2\sqrt{3}$，$∠ BAD=∠ ABC=∠ BCD=90°$，
由旋转的性质可得：$BP=BC=2\sqrt{3}$，$∠ PBC=30°$，
∴$∠ ABP=∠ ABC-∠ PBC=90°-30°=60°$，且$AB=BP$，
∴$△ ABP$是等边三角形，
∴$∠ BAP=60°$，
∴$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAP=90°-60°=30°$，
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=90°$，$∠ DAE=30°$，$AD=2\sqrt{3}$，
∴$DE=AD·\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，
∴$CE=CD-DE=2\sqrt{3}-2$，
过点P作$PF⊥ BC$于F，$PG⊥ CD$于G，
则四边形PFCG是矩形，因此$PG=FC$，
在$Rt△ PBF$中，$∠ PBF=30°$，$BP=2\sqrt{3}$，
∴$BF=BP·\cos30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，
∴$FC=BC-BF=2\sqrt{3}-3$，即$PG=2\sqrt{3}-3$，
∴$S_{△ PCE}=\frac{1}{2}× CE× PG=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3}-2)×(2\sqrt{3}-3)$
$=\frac{1}{2}×(12-6\sqrt{3}-4\sqrt{3}+6)$
$=\frac{1}{2}×(18-10\sqrt{3})$
$=9-5\sqrt{3}$。
【答案】
$9-5\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合题，需要结合多个基础几何知识点推导相关线段的长度，解题关键是通过角度关系判断等边三角形，再借助三角函数和辅助线求出三角形的底和高，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题时先利用正方形的性质确定各边长度和内角为90°，结合旋转的性质得到BP与BC相等、∠PBC为30°，推导得出△ABP是等边三角形，进而求出∠DAE的度数，计算出CE的长度；再通过作辅助线求出点P到CD边的距离，最后代入三角形面积公式即可求出△PCE的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，$AD=2\sqrt{3}$，
∴$AB=BC=CD=AD=2\sqrt{3}$，$∠ BAD=∠ ABC=∠ BCD=90°$，
由旋转的性质可得：$BP=BC=2\sqrt{3}$，$∠ PBC=30°$，
∴$∠ ABP=∠ ABC-∠ PBC=90°-30°=60°$，且$AB=BP$，
∴$△ ABP$是等边三角形，
∴$∠ BAP=60°$，
∴$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAP=90°-60°=30°$，
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=90°$，$∠ DAE=30°$，$AD=2\sqrt{3}$，
∴$DE=AD·\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，
∴$CE=CD-DE=2\sqrt{3}-2$，
过点P作$PF⊥ BC$于F，$PG⊥ CD$于G，
则四边形PFCG是矩形，因此$PG=FC$，
在$Rt△ PBF$中，$∠ PBF=30°$，$BP=2\sqrt{3}$，
∴$BF=BP·\cos30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，
∴$FC=BC-BF=2\sqrt{3}-3$，即$PG=2\sqrt{3}-3$，
∴$S_{△ PCE}=\frac{1}{2}× CE× PG=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3}-2)×(2\sqrt{3}-3)$
$=\frac{1}{2}×(12-6\sqrt{3}-4\sqrt{3}+6)$
$=\frac{1}{2}×(18-10\sqrt{3})$
$=9-5\sqrt{3}$。
【答案】
$9-5\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合题，需要结合多个基础几何知识点推导相关线段的长度，解题关键是通过角度关系判断等边三角形，再借助三角函数和辅助线求出三角形的底和高，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
2. 在平面直角坐标系中，函数$xy=5$的图象上有一点$P(a,b)$，则点$P$关于原点的对称点$P(-a,-b)$
（
A.一定在函数$xy=5$的图象上
B.一定在函数$xy=-5$的图象上
C.不一定在函数$xy=5$的图象上
D.不一定在函数$xy=-5$的图象上
（
A
）A.一定在函数$xy=5$的图象上
B.一定在函数$xy=-5$的图象上
C.不一定在函数$xy=5$的图象上
D.不一定在函数$xy=-5$的图象上
答案
2. A
解析
【分析】
要判断点关于原点的对称点是否在某函数图象上，需依据两个核心要点：一是函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，反之满足解析式的点一定在函数图象上；二是关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数。解题时先由点P在已知函数图象上得到a、b的数量关系，再计算对称点横纵坐标的乘积，对比各选项的函数解析式即可得出结论。
【解析】
∵点P(a,b)在函数$xy=5$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入解析式得：$ab=5$。
点P关于原点对称的点的坐标为$(-a,-b)$，计算该点横纵坐标的乘积：
$(-a)×(-b)=ab=5$，满足函数$xy=5$的解析式，
因此点$(-a,-b)$一定在函数$xy=5$的图象上。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查基础知识点的简单结合，解题的关键是牢记“函数图象上的点坐标满足函数解析式”以及原点对称的点的坐标规律，整体解题逻辑清晰，无复杂运算。
【难度系数】
0.8
要判断点关于原点的对称点是否在某函数图象上，需依据两个核心要点：一是函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式，反之满足解析式的点一定在函数图象上；二是关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数。解题时先由点P在已知函数图象上得到a、b的数量关系，再计算对称点横纵坐标的乘积，对比各选项的函数解析式即可得出结论。
【解析】
∵点P(a,b)在函数$xy=5$的图象上，
∴将$x=a$，$y=b$代入解析式得：$ab=5$。
点P关于原点对称的点的坐标为$(-a,-b)$，计算该点横纵坐标的乘积：
$(-a)×(-b)=ab=5$，满足函数$xy=5$的解析式，
因此点$(-a,-b)$一定在函数$xy=5$的图象上。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 关于原点对称的点的坐标特征
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查基础知识点的简单结合，解题的关键是牢记“函数图象上的点坐标满足函数解析式”以及原点对称的点的坐标规律，整体解题逻辑清晰，无复杂运算。
【难度系数】
0.8
3. 如图，将$△ ABC$绕点$C(0,-1)$旋转$180°$得到$△ A'B'C$，设点$A'$的坐标为$(a,b)$，则点$A$的坐标为（
A.$(-a,-b)$
B.$(-a,-b-1)$
C.$(-a,-b+1)$
D.$(-a,-b-2)$
D
）A.$(-a,-b)$
B.$(-a,-b-1)$
C.$(-a,-b+1)$
D.$(-a,-b-2)$
答案
3. D
解析
【分析】
△ABC绕点C旋转180°得到△A'B'C，说明点C是线段AA'的中点，已知中点C的坐标和点A'的坐标，我们可以利用中点坐标公式列方程，求解即可得到点A的坐标。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$。
由旋转180°的性质可知，点$C(0,-1)$是线段$AA'$的中点，已知$A'(a,b)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得：
$\begin{cases}\dfrac{x+a}{2}=0\\\dfrac{y+b}{2}=-1\end{cases}$
解第一个方程：$x+a=0$，得$x=-a$；
解第二个方程：$y+b=-2$，得$y=-b-2$。
因此点A的坐标为$(-a,-b-2)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式
【点评】
本题考查中心对称与坐标的结合应用，解题核心是明确旋转180°时旋转中心是对应点连线的中点，结合中点坐标公式即可快速求解，是平面直角坐标系中图形变换的基础题型。
【难度系数】
0.7
△ABC绕点C旋转180°得到△A'B'C，说明点C是线段AA'的中点，已知中点C的坐标和点A'的坐标，我们可以利用中点坐标公式列方程，求解即可得到点A的坐标。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$。
由旋转180°的性质可知，点$C(0,-1)$是线段$AA'$的中点，已知$A'(a,b)$，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，可得：
$\begin{cases}\dfrac{x+a}{2}=0\\\dfrac{y+b}{2}=-1\end{cases}$
解第一个方程：$x+a=0$，得$x=-a$；
解第二个方程：$y+b=-2$，得$y=-b-2$。
因此点A的坐标为$(-a,-b-2)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式
【点评】
本题考查中心对称与坐标的结合应用，解题核心是明确旋转180°时旋转中心是对应点连线的中点，结合中点坐标公式即可快速求解，是平面直角坐标系中图形变换的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在正方形$ABCD$中,$AB=3$,点$M$在边$CD$上,且$DM=1$,$△ AEM$与$△ ADM$关于$AM$所在的直线对称,将$△ ADM$按顺时针方向绕点$A$旋转$90°$得到$△ ABF$,连接$EF$,则线段$EF$的长为（
A.$3$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{15}$
C
）A.$3$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{15}$
答案
4. C
解析
【分析】
本题的核心是通过图形变换的性质构造全等三角形，将未知线段EF转化为可求的线段。首先回忆折叠（轴对称）和旋转的性质：两种变换前后对应边相等、对应角相等。我们先由折叠、旋转的性质分别推导相等的边和角，找到△FAE和△MAB全等的条件，将EF转化为BM，再在直角三角形BCM中用勾股定理计算BM的长度，即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，
∴△AEM≌△ADM，
∴AE=AD，∠MAE=∠MAD。
∵△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴△ADM≌△ABF，
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD，
∴∠FAB=∠MAE，
∴∠FAB + ∠BAE = ∠MAE + ∠BAE，即∠FAE=∠MAB。
∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AB=AD=BC=CD=3，∠C=90°，
∴AE=AB。
在△FAE和△MAB中：
$\{\begin{array}{l} AF=AM\\ ∠ FAE=∠ MAB\\ AE=AB\end{array} $
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF=BM。
∵DM=1，CD=3，
∴CM=CD-DM=3-1=2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{BC^2 + CM^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$，
∴EF=$\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；图形变换的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，解题的关键是熟练掌握折叠、旋转的性质，通过角的等量代换找到全等三角形的判定条件，将未知线段转化为直角三角形的边长，结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
本题的核心是通过图形变换的性质构造全等三角形，将未知线段EF转化为可求的线段。首先回忆折叠（轴对称）和旋转的性质：两种变换前后对应边相等、对应角相等。我们先由折叠、旋转的性质分别推导相等的边和角，找到△FAE和△MAB全等的条件，将EF转化为BM，再在直角三角形BCM中用勾股定理计算BM的长度，即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，
∴△AEM≌△ADM，
∴AE=AD，∠MAE=∠MAD。
∵△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴△ADM≌△ABF，
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD，
∴∠FAB=∠MAE，
∴∠FAB + ∠BAE = ∠MAE + ∠BAE，即∠FAE=∠MAB。
∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴AB=AD=BC=CD=3，∠C=90°，
∴AE=AB。
在△FAE和△MAB中：
$\{\begin{array}{l} AF=AM\\ ∠ FAE=∠ MAB\\ AE=AB\end{array} $
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF=BM。
∵DM=1，CD=3，
∴CM=CD-DM=3-1=2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：
$BM=\sqrt{BC^2 + CM^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$，
∴EF=$\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；图形变换的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，解题的关键是熟练掌握折叠、旋转的性质，通过角的等量代换找到全等三角形的判定条件，将未知线段转化为直角三角形的边长，结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
5. 若$xy＞0$，且$x+y＞0$，则点$P(x,y)$关于原点的对称点在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5. D
解析
【分析】
首先我们需要先根据已知不等式判断点P(x,y)所在的象限，再结合关于原点对称的点的坐标特征，判断对称点所在的象限。第一步，由xy＞0可知x和y同号，即二者同时为正或者同时为负；第二步，结合x+y＞0，若二者都为负，相加结果必然为负，不符合条件，因此可得x＞0且y＞0，即点P在第一象限；第三步，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，因此P的对称点坐标为(-x,-y)，横纵坐标均为负，应在第三象限？不对，此处计算结果与给定参考答案不一致，返回1。
1
首先我们需要先根据已知不等式判断点P(x,y)所在的象限，再结合关于原点对称的点的坐标特征，判断对称点所在的象限。第一步，由xy＞0可知x和y同号，即二者同时为正或者同时为负；第二步，结合x+y＞0，若二者都为负，相加结果必然为负，不符合条件，因此可得x＞0且y＞0，即点P在第一象限；第三步，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，因此P的对称点坐标为(-x,-y)，横纵坐标均为负，应在第三象限？不对，此处计算结果与给定参考答案不一致，返回1。
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6. 如图,在平面直角坐标系中,已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3)$.
(1) 已知$△ ABC$经过平移后得到$△ A_1B_1C_1$,点$C_1$的坐标为$(4,0)$,写出顶点$A_1,B_1$的坐标;
(2) 若$△ ABC$和$△ A_2B_2C_2$关于原点$O$成中心对称图形,写出$△ A_2B_2C_2$各顶点的坐标;
(3) 将$△ ABC$绕着点$O$顺时针旋转$90°$得到$△ A_3B_3C_3$,写出$△ A_3B_3C_3$各顶点的坐标.
(1) 已知$△ ABC$经过平移后得到$△ A_1B_1C_1$,点$C_1$的坐标为$(4,0)$,写出顶点$A_1,B_1$的坐标;
(2) 若$△ ABC$和$△ A_2B_2C_2$关于原点$O$成中心对称图形,写出$△ A_2B_2C_2$各顶点的坐标;
(3) 将$△ ABC$绕着点$O$顺时针旋转$90°$得到$△ A_3B_3C_3$,写出$△ A_3B_3C_3$各顶点的坐标.
答案
6. (1) 如图
，$△ A_1B_1C_1$为所作三角形，$A_1(2,2),B_1(3,-2)$。(2) $A_2(3,-5),B_2(2,-1),C_2(1,-3)$。
(3) 如图
，$△ A_3B_3C_3$为所作三角形，$A_3(5,3),B_3(1,2),C_3(3,1)$。解析
【分析】
(1) 平移变换中，图形上所有点的平移规律完全相同。先根据已知点C和对应点C₁的坐标，计算出平移过程中横、纵坐标的变化量，再将该变化量对应应用到点A、B上，就能得到A₁、B₁的坐标。
(2) 关于原点成中心对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，直接根据这一规律变换△ABC各顶点的坐标即可。
(3) 平面直角坐标系中，点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y,-x)，代入△ABC各顶点坐标计算，就能得到旋转后的对应点坐标。
【解析】
(1) 已知点C的坐标为(-1,3)，平移后对应点C₁的坐标为(4,0)，可得平移规律：横坐标加5（向右平移5个单位），纵坐标减3（向下平移3个单位）。
对点A(-3,5)应用平移规律：横坐标=-3+5=2，纵坐标=5-3=2，即A₁(2,2)；
对点B(-2,1)应用平移规律：横坐标=-2+5=3，纵坐标=1-3=-2，即B₁(3,-2)。
(2) 关于原点中心对称的点的坐标特征为：原坐标为(x,y)，则对称点坐标为(-x,-y)。
因此A(-3,5)的对称点A₂为(3,-5)；B(-2,1)的对称点B₂为(2,-1)；C(-1,3)的对称点C₂为(1,-3)。
(3) 点(x,y)绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为：变换后坐标为(y,-x)。
因此A(-3,5)旋转后A₃的坐标为(5,3)；B(-2,1)旋转后B₃的坐标为(1,2)；C(-1,3)旋转后C₃的坐标为(3,1)。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$为所作三角形，$A_1(2,2),B_1(3,-2)$。
(2) $A_2(3,-5),B_2(2,-1),C_2(1,-3)$。
(3) 如图，$△ A_3B_3C_3$为所作三角形，$A_3(5,3),B_3(1,2),C_3(3,1)$。
【知识点】
坐标与平移变换；关于原点对称的点的坐标；坐标与旋转变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的三类基本变换的坐标规律，掌握各类变换对应的坐标变化规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 平移变换中，图形上所有点的平移规律完全相同。先根据已知点C和对应点C₁的坐标，计算出平移过程中横、纵坐标的变化量，再将该变化量对应应用到点A、B上，就能得到A₁、B₁的坐标。
(2) 关于原点成中心对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，直接根据这一规律变换△ABC各顶点的坐标即可。
(3) 平面直角坐标系中，点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y,-x)，代入△ABC各顶点坐标计算，就能得到旋转后的对应点坐标。
【解析】
(1) 已知点C的坐标为(-1,3)，平移后对应点C₁的坐标为(4,0)，可得平移规律：横坐标加5（向右平移5个单位），纵坐标减3（向下平移3个单位）。
对点A(-3,5)应用平移规律：横坐标=-3+5=2，纵坐标=5-3=2，即A₁(2,2)；
对点B(-2,1)应用平移规律：横坐标=-2+5=3，纵坐标=1-3=-2，即B₁(3,-2)。
(2) 关于原点中心对称的点的坐标特征为：原坐标为(x,y)，则对称点坐标为(-x,-y)。
因此A(-3,5)的对称点A₂为(3,-5)；B(-2,1)的对称点B₂为(2,-1)；C(-1,3)的对称点C₂为(1,-3)。
(3) 点(x,y)绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律为：变换后坐标为(y,-x)。
因此A(-3,5)旋转后A₃的坐标为(5,3)；B(-2,1)旋转后B₃的坐标为(1,2)；C(-1,3)旋转后C₃的坐标为(3,1)。
【答案】
(1) 如图
，$△ A_1B_1C_1$为所作三角形，$A_1(2,2),B_1(3,-2)$。(2) $A_2(3,-5),B_2(2,-1),C_2(1,-3)$。
(3) 如图
，$△ A_3B_3C_3$为所作三角形，$A_3(5,3),B_3(1,2),C_3(3,1)$。【知识点】
坐标与平移变换；关于原点对称的点的坐标；坐标与旋转变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的三类基本变换的坐标规律，掌握各类变换对应的坐标变化规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
