7. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-1,3),B(-4,0),C(0,0)$。

(1) 画出将$△ ABC$向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的$△ A_1B_1C_1$；
(2) 画出将$△ ABC$绕原点$O$顺时针旋转$90°$得到的$△ A_2B_2O$；
(3) 在$x$轴上存在一点$P$，满足点$P$到点$A_1$与点$A_2$的距离之和最小，求出点$P$的坐标。

7. (1) 如图，先找出A,B,C三点按要求平移后得到的对应顶点$A_1(4,4),B_1(1,1),C_1(5,1)$，再将这三个顶点依次连接可得所要画的三角形。
(2) 先找出A,B两点按要求旋转后得到的对应顶点$A_2(3,1),B_2(0,4)$，再将$A_2,B_2,O$这三个顶点依次连接可得所要画的三角形。如图，$△ A_2B_2O$就是所要画的三角形。
(3) 取点$A_1$关于$x$轴的对称点$E(4,-4)$，连接$A_2E$交$x$轴于点$P$，连接$PA_1$，此时点$P$到点$A_1$与点$A_2$的距离之和最小。设$A_2E$的解析式为$y=kx+b$，则$\begin{cases}3k+b=1,\\4k+b=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-5,\\b=16.\end{cases}$$\therefore A_2E$的解析式为$y=-5x+16$。当$y=-5x+16=0$时，解得$x=\frac{16}{5}$，$\therefore P(\frac{16}{5},0)$。

【分析】
(1) 平移作图需遵循坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减。将A、B、C三点横坐标加5、纵坐标加1得到对应点坐标，顺次连接即可得到平移后的三角形。
(2) 绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则为：点$(x,y)$旋转后对应点为$(y,-x)$。按规则算出A、B旋转后的对应点坐标，再和原点顺次连接即可得到旋转后的三角形。
(3) 求x轴上到$A_1$、$A_2$距离和最小的点P，属于轴对称最短路径问题：作其中一个点关于x轴的对称点，连接对称点和另一个点，与x轴的交点即为P。求出该连线的一次函数解析式，令$y=0$即可算出P的横坐标，得到P点坐标。
【解析】
(1) 根据平移规则计算对应点坐标：
$A(-1,3)$平移后为$A_1(-1+5,3+1)=(4,4)$，
$B(-4,0)$平移后为$B_1(-4+5,0+1)=(1,1)$，
$C(0,0)$平移后为$C_1(0+5,0+1)=(5,1)$，
顺次连接$A_1、B_1、C_1$即可。
(2) 根据顺时针旋转90°的坐标变换规则计算对应点坐标：
$A(-1,3)$旋转后为$A_2(3,1)$，
$B(-4,0)$旋转后为$B_2(0,4)$，
顺次连接$A_2、B_2、O$即可。
(3) 作$A_1$关于x轴的对称点$E(4,-4)$，连接$A_2E$，与x轴交点即为所求P点。
设直线$A_2E$的解析式为$y=kx+b$，将$A_2(3,1)$、$E(4,-4)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=1\\4k+b=-4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-5\\b=16\end{cases}$，即直线解析式为$y=-5x+16$。
令$y=0$，得$-5x+16=0$，解得$x=\frac{16}{5}$，即P点坐标为$(\frac{16}{5},0)$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求；
(2) 如图，$△ A_2B_2O$即为所求；
(3) $P(\boldsymbol{\frac{16}{5},0})$
【知识点】
1. 坐标平移变换
2. 坐标旋转变换
3. 轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的平移、旋转作图，以及最短路径的求解，既需要熟练掌握坐标变换的规律，也需要掌握用轴对称性质解决最短路径问题的方法，同时考察了一次函数解析式的求解，是一道综合性较强的基础题。
【难度系数】
0.7