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1. 二次函数$y=x^2+2x-3=(x+\_\_\_\_\_\_)^2\_\_\_\_\_\_$，则二次函数$y=x^2+2x-3$的图象可以看成是由$y=x^2$的图象先向________平移________单位长度，再向________平移________单位长度得到；对称轴为________，顶点坐标为________；当$x\_\_\_\_\_\_$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x\_\_\_\_\_\_$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案
1. 1 -4 左 1个 下 4个 直线$x=-1$ $(-1,-4)$ $＞-1$ $＜-1$
解析
【分析】
本题核心考查二次函数一般式转顶点式的配方法、二次函数图象平移规律及二次函数的基本性质。解题思路为：首先用配方法将给定的一般式转化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规则判断图象平移的方向和距离，接着结合顶点式直接确定对称轴与顶点坐标，最后根据开口方向分析函数的增减性。
【解析】
1. 配方转化顶点式：
对$y=x^2+2x-3$进行配方，先将二次项和一次项凑完全平方：
$y=x^2+2x+1 -1 -3=(x+1)^2-4$，因此前两个空依次填1、-4。
2. 分析图象平移：
二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对函数整体）”的规则，$y=x^2$转化为$y=(x+1)^2-4$：自变量$x$变为$x+1$，对应向左平移1个单位长度；整体减4，对应再向下平移4个单位长度。
3. 确定对称轴与顶点坐标：
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，本题中$h=-1$，$k=-4$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
4. 分析增减性：
该二次函数$a=1＞0$，图象开口向上，因此在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即$x＞-1$时$y$随$x$增大而增大，$x＜-1$时$y$随$x$增大而减小。
【答案】
1；-4；左；1个；下；4个；直线$x=-1$；$(-1,-4)$；$＞-1$；$＜-1$
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象平移；二次函数性质
【点评】
本题属于二次函数的基础常规题型，覆盖了顶点式相关的核心考点，熟练掌握配方法、平移规则和二次函数增减性规律即可快速解答，是后续学习二次函数综合应用的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题核心考查二次函数一般式转顶点式的配方法、二次函数图象平移规律及二次函数的基本性质。解题思路为：首先用配方法将给定的一般式转化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规则判断图象平移的方向和距离，接着结合顶点式直接确定对称轴与顶点坐标，最后根据开口方向分析函数的增减性。
【解析】
1. 配方转化顶点式：
对$y=x^2+2x-3$进行配方，先将二次项和一次项凑完全平方：
$y=x^2+2x+1 -1 -3=(x+1)^2-4$，因此前两个空依次填1、-4。
2. 分析图象平移：
二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对函数整体）”的规则，$y=x^2$转化为$y=(x+1)^2-4$：自变量$x$变为$x+1$，对应向左平移1个单位长度；整体减4，对应再向下平移4个单位长度。
3. 确定对称轴与顶点坐标：
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，本题中$h=-1$，$k=-4$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
4. 分析增减性：
该二次函数$a=1＞0$，图象开口向上，因此在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即$x＞-1$时$y$随$x$增大而增大，$x＜-1$时$y$随$x$增大而减小。
【答案】
1；-4；左；1个；下；4个；直线$x=-1$；$(-1,-4)$；$＞-1$；$＜-1$
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象平移；二次函数性质
【点评】
本题属于二次函数的基础常规题型，覆盖了顶点式相关的核心考点，熟练掌握配方法、平移规则和二次函数增减性规律即可快速解答，是后续学习二次函数综合应用的重要基础。
【难度系数】
0.8
2. 一般地，我们可以通过配方求抛物线 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $ 的顶点与对称轴，即 $ y = ax^2 + bx + c = a(x + \_\_\_\_\_\_)^2 + \_\_\_\_\_\_ $，因此，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的对称轴是 ______，顶点坐标为 ______。
答案
2. $\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac-b^2}{4a}$ 直线$x=-\frac{b}{2a}$ $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
解析
【分析】
我们需要将二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，配方法的核心是先提取二次项系数，再在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，将含x的部分凑成完全平方式，整理常数项得到顶点式后，再结合顶点式的性质直接写出对应对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
对二次函数一般式$y = ax^2 + bx + c\ (a≠0)$按步骤配方：
1. 提取二次项系数$a$，将含$x$的项放入括号内：
$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. 括号内凑完全平方：加上并减去一次项系数$\frac{b}{a}$一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$：
$y = a[x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2] + c$
3. 将括号内前三项写成完全平方形式，再展开整理常数项：
$y = a[(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}] + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，此处$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；直线$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式性质；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础核心题型，考查将一般式转化为顶点式的配方法，相关结论是解决二次函数最值、增减性等问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
我们需要将二次函数的一般式通过配方法转化为顶点式，配方法的核心是先提取二次项系数，再在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，将含x的部分凑成完全平方式，整理常数项得到顶点式后，再结合顶点式的性质直接写出对应对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
对二次函数一般式$y = ax^2 + bx + c\ (a≠0)$按步骤配方：
1. 提取二次项系数$a$，将含$x$的项放入括号内：
$y = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. 括号内凑完全平方：加上并减去一次项系数$\frac{b}{a}$一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$：
$y = a[x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2] + c$
3. 将括号内前三项写成完全平方形式，再展开整理常数项：
$y = a[(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}] + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，此处$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac-b^2}{4a}$；直线$x=-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数配方；二次函数顶点式性质；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础核心题型，考查将一般式转化为顶点式的配方法，相关结论是解决二次函数最值、增减性等问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
1. 将函数$y=\frac{1}{2}x^2 -3x +\frac{1}{2}$化成$y=a(x+m)^2 +k$的形式是________，其图象的开口________，顶点坐标是________，对称轴是________。
答案
1. $y=\frac{1}{2}(x-3)^2 -4$ 向上 $(3,-4)$ 直线$x=3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再根据顶点式的性质判断图象特征：1. 化顶点式时，先提取二次项系数，再给一次项和二次项凑完全平方，注意保持式子变形前后相等；2. 二次函数顶点式$y=a(x+m)^2 +k$中，$a$的符号决定开口方向，顶点坐标为$(-m,k)$，对称轴为直线$x=-m$，对应代入数值即可得到结果。
【解析】
1. 化一般式为顶点式：
对$y=\frac{1}{2}x^2 -3x +\frac{1}{2}$使用配方法：
第一步，提取二次项系数$\frac{1}{2}$，将含$x$的项整理：
$y=\frac{1}{2}(x^2 -6x) + \frac{1}{2}$
第二步，括号内凑完全平方，加9凑成$(x-3)^2$，同时减去9保证式子值不变：
$y=\frac{1}{2}(x^2 -6x +9 -9) + \frac{1}{2}$
第三步，整理化简：
$y=\frac{1}{2}[(x-3)^2 -9] + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x-3)^2 - \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x-3)^2 -4$
2. 判断图象性质：
顶点式中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此图象开口向上；
对比顶点式$y=a(x+m)^2 +k$，这里$m=-3$，$k=-4$，因此顶点坐标为$(3,-4)$，对称轴是直线$x=3$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 -4$；向上；$(3,-4)$；直线$x=3$
【知识点】
配方法；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查配方法的运用以及二次函数顶点式对应的图象特征，熟练掌握一般式转顶点式的方法是解决后续二次函数相关问题的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再根据顶点式的性质判断图象特征：1. 化顶点式时，先提取二次项系数，再给一次项和二次项凑完全平方，注意保持式子变形前后相等；2. 二次函数顶点式$y=a(x+m)^2 +k$中，$a$的符号决定开口方向，顶点坐标为$(-m,k)$，对称轴为直线$x=-m$，对应代入数值即可得到结果。
【解析】
1. 化一般式为顶点式：
对$y=\frac{1}{2}x^2 -3x +\frac{1}{2}$使用配方法：
第一步，提取二次项系数$\frac{1}{2}$，将含$x$的项整理：
$y=\frac{1}{2}(x^2 -6x) + \frac{1}{2}$
第二步，括号内凑完全平方，加9凑成$(x-3)^2$，同时减去9保证式子值不变：
$y=\frac{1}{2}(x^2 -6x +9 -9) + \frac{1}{2}$
第三步，整理化简：
$y=\frac{1}{2}[(x-3)^2 -9] + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x-3)^2 - \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x-3)^2 -4$
2. 判断图象性质：
顶点式中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此图象开口向上；
对比顶点式$y=a(x+m)^2 +k$，这里$m=-3$，$k=-4$，因此顶点坐标为$(3,-4)$，对称轴是直线$x=3$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 -4$；向上；$(3,-4)$；直线$x=3$
【知识点】
配方法；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查配方法的运用以及二次函数顶点式对应的图象特征，熟练掌握一般式转顶点式的方法是解决后续二次函数相关问题的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.8
2. 若函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图
所示，则一次函数$y=ax+bc$的图象不经过第
所示，则一次函数$y=ax+bc$的图象不经过第二
象限。答案
2. 二
解析
【分析】
解题时首先要从二次函数的图象特征提取系数a、b、c的符号信息：第一步根据抛物线开口方向判断a的正负；第二步根据对称轴的位置结合a的符号判断b的正负；第三步根据抛物线与y轴的交点位置判断c的正负；最后将符号代入一次函数表达式，分析一次函数的斜率和截距的正负，即可判断一次函数不经过的象限。
【解析】
1. 分析二次函数系数符号：
① 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
② 抛物线对称轴在y轴左侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$，可得$b＞0$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$。
2. 分析一次函数图象：
一次函数为$y=ax+bc$，由$b＞0$、$c＜0$可得$bc＜0$，因此该一次函数斜率$a＞0$，与y轴的截距$bc＜0$，图象从左到右上升，且与y轴交于负半轴，经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数部分的基础常考题，重点考查二次函数、一次函数的图象与系数的对应关系，解题的核心是准确从二次函数图象中提取系数的符号信息，再结合一次函数图象的性质推导结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先要从二次函数的图象特征提取系数a、b、c的符号信息：第一步根据抛物线开口方向判断a的正负；第二步根据对称轴的位置结合a的符号判断b的正负；第三步根据抛物线与y轴的交点位置判断c的正负；最后将符号代入一次函数表达式，分析一次函数的斜率和截距的正负，即可判断一次函数不经过的象限。
【解析】
1. 分析二次函数系数符号：
① 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
② 抛物线对称轴在y轴左侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$，可得$b＞0$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$。
2. 分析一次函数图象：
一次函数为$y=ax+bc$，由$b＞0$、$c＜0$可得$bc＜0$，因此该一次函数斜率$a＞0$，与y轴的截距$bc＜0$，图象从左到右上升，且与y轴交于负半轴，经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数部分的基础常考题，重点考查二次函数、一次函数的图象与系数的对应关系，解题的核心是准确从二次函数图象中提取系数的符号信息，再结合一次函数图象的性质推导结论。
【难度系数】
0.7
3. 对于二次函数 $y=-\dfrac{1}{4}x^2+x-4$，下列说法正确的是 （
A.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
B.当$x=2$时，$y$有最大值$-3$
C.图象的顶点坐标为$(-2,-7)$
D.图象与$x$轴有两个交点
B
）A.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
B.当$x=2$时，$y$有最大值$-3$
C.图象的顶点坐标为$(-2,-7)$
D.图象与$x$轴有两个交点
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质，解题思路如下：首先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，再结合二次函数的增减性、最值规律，以及判别式判断图象与x轴的交点个数，逐个验证选项即可得出正确答案。
【解析】
先将二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x-4$配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{4}(x^2-4x)-4\\&=-\dfrac{1}{4}(x^2-4x+4-4)-4\\&=-\dfrac{1}{4}[(x-2)^2-4]-4\\&=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1-4\\&=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2-3\end{aligned}$
$\because a=-\dfrac{1}{4}＜0$，$\therefore$函数开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-3)$。
逐个分析选项：
A选项：开口向下的二次函数，$x＜2$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞2$时$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$不是始终随$x$增大而增大，A错误；
B选项：开口向下的二次函数顶点为最高点，因此$x=2$时$y$取最大值$-3$，B正确；
C选项：由顶点式可知顶点坐标为$(2,-3)$，不是$(-2,-7)$，C错误；
D选项：计算判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×(-\dfrac{1}{4})×(-4)=1-4=-3＜0$，因此图象与$x$轴没有交点，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；配方法；判别式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心要求是熟练掌握二次函数一般式转顶点式的方法，能结合开口方向判断增减性和最值，同时会用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与性质，解题思路如下：首先通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，确定函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，再结合二次函数的增减性、最值规律，以及判别式判断图象与x轴的交点个数，逐个验证选项即可得出正确答案。
【解析】
先将二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x-4$配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{4}(x^2-4x)-4\\&=-\dfrac{1}{4}(x^2-4x+4-4)-4\\&=-\dfrac{1}{4}[(x-2)^2-4]-4\\&=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1-4\\&=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2-3\end{aligned}$
$\because a=-\dfrac{1}{4}＜0$，$\therefore$函数开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-3)$。
逐个分析选项：
A选项：开口向下的二次函数，$x＜2$时$y$随$x$的增大而增大，$x＞2$时$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$不是始终随$x$增大而增大，A错误；
B选项：开口向下的二次函数顶点为最高点，因此$x=2$时$y$取最大值$-3$，B正确；
C选项：由顶点式可知顶点坐标为$(2,-3)$，不是$(-2,-7)$，C错误；
D选项：计算判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×(-\dfrac{1}{4})×(-4)=1-4=-3＜0$，因此图象与$x$轴没有交点，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；配方法；判别式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心要求是熟练掌握二次函数一般式转顶点式的方法，能结合开口方向判断增减性和最值，同时会用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数。
【难度系数】
0.7
4. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象上部分点的坐标$(x,y)$对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是（
A.直线$x=-3$
B.直线$x=-2$
C.直线$x=-1$
D.直线$x=0$
则该函数图象的对称轴是（
B
）A.直线$x=-3$
B.直线$x=-2$
C.直线$x=-1$
D.直线$x=0$
答案
4. B
解析
【分析】
二次函数的图象是轴对称图形，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称。解题时首先观察表格中y值相等的两组对应x值，再利用对称点横坐标的平均数就是对称轴的横坐标，即可快速求出对称轴。
【解析】
观察表格数据可知：当$x=-3$和$x=-1$时，对应的函数值$y$均为$-3$，说明点$(-3,-3)$和点$(-1,-3)$是抛物线上的一对对称点。
根据二次函数的对称性，两点的对称轴为直线$x=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，即该函数图象的对称轴是直线$x=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质
【点评】
本题无需计算二次函数的解析式，直接利用二次函数的对称特性就能快速得到结果，是二次函数基础性质的典型考查，掌握对称点和对称轴的关系可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
二次函数的图象是轴对称图形，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称。解题时首先观察表格中y值相等的两组对应x值，再利用对称点横坐标的平均数就是对称轴的横坐标，即可快速求出对称轴。
【解析】
观察表格数据可知：当$x=-3$和$x=-1$时，对应的函数值$y$均为$-3$，说明点$(-3,-3)$和点$(-1,-3)$是抛物线上的一对对称点。
根据二次函数的对称性，两点的对称轴为直线$x=\frac{-3+(-1)}{2}=-2$，即该函数图象的对称轴是直线$x=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质
【点评】
本题无需计算二次函数的解析式，直接利用二次函数的对称特性就能快速得到结果，是二次函数基础性质的典型考查，掌握对称点和对称轴的关系可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 若抛物线$y=x^2 -2x +3$不动，将平面直角坐标系$xOy$先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿铅直方向向上平移3个单位长度，则原抛物线图象的解析式应变为（
A.$y=(x-2)^2 +3$
B.$y=(x-2)^2 +5$
C.$y=x^2 -1$
D.$y=x^2 +4$
C
）A.$y=(x-2)^2 +3$
B.$y=(x-2)^2 +5$
C.$y=x^2 -1$
D.$y=x^2 +4$
答案
5. C
解析
【分析】
解题的核心是明确坐标系平移和函数图像相对平移的方向是相反的。我们可以用两种思路解题：一是先将原抛物线配方为顶点式，再根据相对平移方向，结合“左加右减、上加下减”的平移规则计算新解析式；二是找原抛物线上的特殊点（如顶点），计算该点在新坐标系下的坐标，再结合抛物线开口、形状不变，直接写出新解析式。
【解析】
方法1：顶点式平移法
先将原抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1)^2+2$
坐标系向右平移1个单位、向上平移3个单位，等价于原抛物线相对于新坐标系向左平移1个单位，向下平移3个单位。
根据二次函数平移规则：向左平移1个单位，将解析式中的$x$替换为$x+1$；向下平移3个单位，在解析式整体后减3，代入得：
$y=[(x+1)-1]^2 +2 -3 = x^2 -1$
方法2：特殊点验证法
原抛物线$y=x^2-2x+3$的顶点坐标为$(1,2)$，抛物线不动，坐标系右移1个单位、上移3个单位，则原顶点在新坐标系中的坐标为$(1-1, 2-3)$即$(0,-1)$。
因为抛物线开口方向、开口大小均不变，所以新的解析式为$y=x^2 -1$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数平移规律，配方法化顶点式，坐标系平移相对性
【点评】
本题的易错点是混淆坐标系平移和图像平移的方向，记住“坐标系平移方向与图像相对平移方向相反”，再结合二次函数平移规则或者特殊点坐标验证就能避免出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确坐标系平移和函数图像相对平移的方向是相反的。我们可以用两种思路解题：一是先将原抛物线配方为顶点式，再根据相对平移方向，结合“左加右减、上加下减”的平移规则计算新解析式；二是找原抛物线上的特殊点（如顶点），计算该点在新坐标系下的坐标，再结合抛物线开口、形状不变，直接写出新解析式。
【解析】
方法1：顶点式平移法
先将原抛物线解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1)^2+2$
坐标系向右平移1个单位、向上平移3个单位，等价于原抛物线相对于新坐标系向左平移1个单位，向下平移3个单位。
根据二次函数平移规则：向左平移1个单位，将解析式中的$x$替换为$x+1$；向下平移3个单位，在解析式整体后减3，代入得：
$y=[(x+1)-1]^2 +2 -3 = x^2 -1$
方法2：特殊点验证法
原抛物线$y=x^2-2x+3$的顶点坐标为$(1,2)$，抛物线不动，坐标系右移1个单位、上移3个单位，则原顶点在新坐标系中的坐标为$(1-1, 2-3)$即$(0,-1)$。
因为抛物线开口方向、开口大小均不变，所以新的解析式为$y=x^2 -1$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数平移规律，配方法化顶点式，坐标系平移相对性
【点评】
本题的易错点是混淆坐标系平移和图像平移的方向，记住“坐标系平移方向与图像相对平移方向相反”，再结合二次函数平移规则或者特殊点坐标验证就能避免出错。
【难度系数】
0.7
