登录
4. 如图，抛物线$y=a(x-1)^2+4$（$a≠0$）与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，过点$C$作$CD// x$轴，交抛物线的对称轴于点$D$，连接$BD$.已知点$A$的坐标为$(-1,0)$.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形$COBD$的面积.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形$COBD$的面积.
答案
4. (1) 把$A(-1,0)$代入$y=a(x-1)^2+4$,得$0=4a+4,\therefore a=-1,\therefore y=-(x-1)^2+4.$ (2) 令$x=0$,得$y=3,\therefore OC=3. \because$抛物线$y=-(x-1)^2+4$的对称轴是直线$x=1,\therefore CD=1.$又$\because A(-1,0),\therefore B(3,0),\therefore OB=3,\therefore S_{梯形COBD}=\dfrac{(1+3)× 3}{2}=6.$
解析
【分析】
（1）已知抛物线为顶点式，且给出了点A的坐标，只需将点A坐标代入解析式求解参数a，即可得到抛物线的解析式。
（2）求梯形COBD的面积需先确定梯形的上底、下底和高：首先求抛物线与y轴交点C的坐标，得到OC的长度（即梯形的高）；再根据抛物线对称轴为直线$x=1$，结合$CD// x$轴得到CD的长度（即梯形上底）；最后利用二次函数的对称性，由点A坐标求出点B坐标，得到OB的长度（即梯形下底），代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
（1）将$A(-1,0)$代入$y=a(x-1)^2+4$，得：
$0=a×(-1-1)^2+4$
即$0=4a+4$，解得$a=-1$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-(x-1)^2+4$
（2）令$x=0$，代入解析式得$y=-(0-1)^2+4=3$，$\therefore C(0,3)$，即$OC=3$
$\because$抛物线$y=-(x-1)^2+4$的对称轴是直线$x=1$，且$CD// x$轴
$\therefore D$点横坐标为1，$CD=1-0=1$
$\because$点A、B关于对称轴直线$x=1$对称，$A(-1,0)$
$\therefore B$点横坐标为$1×2-(-1)=3$，即$B(3,0)$，$\therefore OB=3$
根据梯形面积公式：
$S_{梯形COBD}=\frac{(CD+OB)× OC}{2}=\frac{(1+3)×3}{2}=6$
【答案】
（1）$y=-(x-1)^2+4$
（2）$6$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；梯形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，核心考查二次函数的基本性质和几何图形面积的计算，解题逻辑清晰，只要掌握相关基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）已知抛物线为顶点式，且给出了点A的坐标，只需将点A坐标代入解析式求解参数a，即可得到抛物线的解析式。
（2）求梯形COBD的面积需先确定梯形的上底、下底和高：首先求抛物线与y轴交点C的坐标，得到OC的长度（即梯形的高）；再根据抛物线对称轴为直线$x=1$，结合$CD// x$轴得到CD的长度（即梯形上底）；最后利用二次函数的对称性，由点A坐标求出点B坐标，得到OB的长度（即梯形下底），代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
（1）将$A(-1,0)$代入$y=a(x-1)^2+4$，得：
$0=a×(-1-1)^2+4$
即$0=4a+4$，解得$a=-1$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-(x-1)^2+4$
（2）令$x=0$，代入解析式得$y=-(0-1)^2+4=3$，$\therefore C(0,3)$，即$OC=3$
$\because$抛物线$y=-(x-1)^2+4$的对称轴是直线$x=1$，且$CD// x$轴
$\therefore D$点横坐标为1，$CD=1-0=1$
$\because$点A、B关于对称轴直线$x=1$对称，$A(-1,0)$
$\therefore B$点横坐标为$1×2-(-1)=3$，即$B(3,0)$，$\therefore OB=3$
根据梯形面积公式：
$S_{梯形COBD}=\frac{(CD+OB)× OC}{2}=\frac{(1+3)×3}{2}=6$
【答案】
（1）$y=-(x-1)^2+4$
（2）$6$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性；梯形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，核心考查二次函数的基本性质和几何图形面积的计算，解题逻辑清晰，只要掌握相关基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5. 在某校九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮(如图)，已知球出手时距地面$\frac{20}{9}$ m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后距投篮地点的水平距离为4 m时到达最大高度4 m，篮圈距地面3 m，设篮球的运动轨迹为抛物线.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起拦截，如果乙的最大摸高为3.1 m，那么队员乙能否拦截成功？
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起拦截，如果乙的最大摸高为3.1 m，那么队员乙能否拦截成功？
答案
5. (1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$,且经过点$(0,\dfrac{20}{9})$,设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+4$,把$(0,\dfrac{20}{9})$代入,得$a=-\dfrac{1}{9}. \therefore$抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{9}(x-4)^2+4.$当$x=7$时,$y=-\dfrac{1}{9}×(7-4)^2+4=3,\therefore$点$C(7,3)$在抛物线$y=-\dfrac{1}{9}(x-4)^2+4$上,即此球能准确投中. (2) 当$x=1$时,$y=-\dfrac{1}{9}×(1-4)^2+4=3. \because 3\ \mathrm{m}＜3.1\ \mathrm{m},\therefore$队员乙能拦截成功.
解析
【分析】
这是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路清晰：①首先已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式设二次函数解析式，再代入球出手点的坐标求出未知系数，确定完整的抛物线表达式；②判断能否投中时，篮圈对应横坐标为7，将x=7代入解析式计算y值，和篮圈高度3m对比，若相等则说明篮圈在抛物线上，即可投中；③判断能否拦截时，拦截位置对应横坐标为1，代入解析式算出此时篮球的高度，和乙的最大摸高3.1m对比，若篮球高度低于摸高则拦截成功。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，且经过点$(0,\dfrac{20}{9})$，设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+4$。
把$(0,\dfrac{20}{9})$代入解析式，得：$\dfrac{20}{9}=a×(0-4)^2+4$，解得$a=-\dfrac{1}{9}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{9}(x-4)^2+4$。
篮圈中心对应横坐标$x=7$，代入解析式得：$y=-\dfrac{1}{9}×(7-4)^2+4=3$，和篮圈距地面高度3m相等，即点$C(7,3)$在抛物线上，因此此球能准确投中。
(2) 队员乙拦截位置对应横坐标$x=1$，代入解析式得：$y=-\dfrac{1}{9}×(1-4)^2+4=3$。
$\because 3\ \mathrm{m}＜3.1\ \mathrm{m}$，即此时篮球高度低于乙的最大摸高，因此队员乙能拦截成功。
【答案】
(1) 此球能准确投中；(2) 队员乙能拦截成功。
【知识点】
二次函数顶点式求解析式；二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是正确建立函数模型，求出抛物线解析式后，代入对应横坐标计算函数值比较即可得出结论，属于二次函数基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路清晰：①首先已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式设二次函数解析式，再代入球出手点的坐标求出未知系数，确定完整的抛物线表达式；②判断能否投中时，篮圈对应横坐标为7，将x=7代入解析式计算y值，和篮圈高度3m对比，若相等则说明篮圈在抛物线上，即可投中；③判断能否拦截时，拦截位置对应横坐标为1，代入解析式算出此时篮球的高度，和乙的最大摸高3.1m对比，若篮球高度低于摸高则拦截成功。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，且经过点$(0,\dfrac{20}{9})$，设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+4$。
把$(0,\dfrac{20}{9})$代入解析式，得：$\dfrac{20}{9}=a×(0-4)^2+4$，解得$a=-\dfrac{1}{9}$。
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{9}(x-4)^2+4$。
篮圈中心对应横坐标$x=7$，代入解析式得：$y=-\dfrac{1}{9}×(7-4)^2+4=3$，和篮圈距地面高度3m相等，即点$C(7,3)$在抛物线上，因此此球能准确投中。
(2) 队员乙拦截位置对应横坐标$x=1$，代入解析式得：$y=-\dfrac{1}{9}×(1-4)^2+4=3$。
$\because 3\ \mathrm{m}＜3.1\ \mathrm{m}$，即此时篮球高度低于乙的最大摸高，因此队员乙能拦截成功。
【答案】
(1) 此球能准确投中；(2) 队员乙能拦截成功。
【知识点】
二次函数顶点式求解析式；二次函数的实际应用；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是正确建立函数模型，求出抛物线解析式后，代入对应横坐标计算函数值比较即可得出结论，属于二次函数基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
6. 如图,二次函数$y=(x-2)^2+m$的图象与y轴交于点C,B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过该二次函数图象上的点$A(1,0)$及点B.
(1) 求二次函数与一次函数的解析式;
(2) 根据图象,写出满足$kx+b≥ (x-2)^2+m$的x的取值范围.
(1) 求二次函数与一次函数的解析式;
(2) 根据图象,写出满足$kx+b≥ (x-2)^2+m$的x的取值范围.
答案
6. (1) $\because$点$A(1,0)$在抛物线上,$\therefore$有$0=(1-2)^2+m$,解得$m=-1. \therefore$二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1. \therefore$点$C$的坐标为$(0,3).$由对称性可得点$B$的坐标为$(4,3).$设一次函数的解析式为$y=kx+b$,则$\begin{cases}0=k+b,\\3=4k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-1.\end{cases} \therefore$一次函数的解析式为$y=x-1.$ (2) $1≤ x≤ 4$
解析
【分析】
(1) 求解二次函数解析式：已知点$A(1,0)$在二次函数图象上，将A点坐标代入二次函数表达式即可求出参数$m$，得到二次函数解析式；再求点C坐标：C是二次函数与y轴的交点，令$x=0$代入二次函数解析式即可得到C点坐标；根据二次函数对称轴为直线$x=2$，利用对称性求点B坐标：B与C关于对称轴对称，因此B点纵坐标与C相同，横坐标到对称轴的距离等于C点横坐标到对称轴的距离，即可得到B点坐标；最后用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出$k$和$b$，即可得到一次函数解析式。
(2) 不等式$kx+b≥ (x-2)^2+m$的几何意义是一次函数图象在二次函数图象上方（含交点）的部分，观察图象找到两个交点A、B的横坐标，即可确定x的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(1,0)$代入二次函数$y=(x-2)^2+m$，得：
$0=(1-2)^2+m$，解得$m=-1$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$
令$x=0$，代入二次函数解析式，得$y=(0-2)^2-1=3$，即点C坐标为$(0,3)$
二次函数$y=(x-2)^2-1$的对称轴为直线$x=2$，点B与C关于对称轴对称，因此B点纵坐标为3，横坐标为$2×2-0=4$，即$B(4,3)$
将$A(1,0)$、$B(4,3)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=0\\4k+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-1\end{cases}$
$\therefore$一次函数的解析式为$y=x-1$
(2) 观察图象可知，一次函数与二次函数的交点横坐标为1和4，当$1≤x≤4$时，一次函数图象在二次函数图象上方或与二次函数图象重合，满足$kx+b≥ (x-2)^2+m$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=(x-2)^2-1}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x-1}$；
(2) $\boldsymbol{1≤x≤4}$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 待定系数法求解析式
3. 函数不等式的图象解法
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，既考查了函数解析式的常规求解方法，也考查了数形结合思想在函数类问题中的应用，解题时要注意结合图象特征简化问题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解二次函数解析式：已知点$A(1,0)$在二次函数图象上，将A点坐标代入二次函数表达式即可求出参数$m$，得到二次函数解析式；再求点C坐标：C是二次函数与y轴的交点，令$x=0$代入二次函数解析式即可得到C点坐标；根据二次函数对称轴为直线$x=2$，利用对称性求点B坐标：B与C关于对称轴对称，因此B点纵坐标与C相同，横坐标到对称轴的距离等于C点横坐标到对称轴的距离，即可得到B点坐标；最后用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出$k$和$b$，即可得到一次函数解析式。
(2) 不等式$kx+b≥ (x-2)^2+m$的几何意义是一次函数图象在二次函数图象上方（含交点）的部分，观察图象找到两个交点A、B的横坐标，即可确定x的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(1,0)$代入二次函数$y=(x-2)^2+m$，得：
$0=(1-2)^2+m$，解得$m=-1$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=(x-2)^2-1$
令$x=0$，代入二次函数解析式，得$y=(0-2)^2-1=3$，即点C坐标为$(0,3)$
二次函数$y=(x-2)^2-1$的对称轴为直线$x=2$，点B与C关于对称轴对称，因此B点纵坐标为3，横坐标为$2×2-0=4$，即$B(4,3)$
将$A(1,0)$、$B(4,3)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k+b=0\\4k+b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-1\end{cases}$
$\therefore$一次函数的解析式为$y=x-1$
(2) 观察图象可知，一次函数与二次函数的交点横坐标为1和4，当$1≤x≤4$时，一次函数图象在二次函数图象上方或与二次函数图象重合，满足$kx+b≥ (x-2)^2+m$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=(x-2)^2-1}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x-1}$；
(2) $\boldsymbol{1≤x≤4}$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 待定系数法求解析式
3. 函数不等式的图象解法
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，既考查了函数解析式的常规求解方法，也考查了数形结合思想在函数类问题中的应用，解题时要注意结合图象特征简化问题。
【难度系数】
0.8
