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6. 已知抛物线$y_1=a(x-h)^2+k$与$y_2=(x+1)^2-2$的开口方向和形状都相同，且抛物线$y_1$的最低点的坐标是$(-2,-1)$。
（1）求$y_1$的解析式，并说明抛物线$y_1$是怎样由$y_2$平移得到的；
（2）求抛物线$y_1$与$x$轴的两交点的坐标。
（1）求$y_1$的解析式，并说明抛物线$y_1$是怎样由$y_2$平移得到的；
（2）求抛物线$y_1$与$x$轴的两交点的坐标。
答案
6. (1) $y_1=(x+2)^2-1$,它是由$y_2=(x+1)^2-2$的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的. (2) $(-1,0),(-3,0)$
解析
【分析】
（1）首先明确：二次函数的二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状大小，两个抛物线开口方向、形状相同则a值相等；顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知$y_1$的最低点即顶点坐标，代入即可直接求出$y_1$的解析式。抛物线平移本质是顶点的平移，遵循“左加右减、上加下减”的规律，对比两个抛物线的顶点坐标变化，就能得到平移方式。
（2）求抛物线与x轴的交点坐标，只需令函数值$y=0$，解对应的一元二次方程，方程的解就是交点的横坐标，交点纵坐标固定为0。
【解析】
（1）
∵ 抛物线$y_1=a(x-h)^2+k$与$y_2=(x+1)^2-2$的开口方向和形状都相同，
∴ 两个函数的二次项系数相等，即$a=1$。
又
∵ 抛物线$y_1$的最低点（顶点）坐标为$(-2,-1)$，
∴ $h=-2$，$k=-1$，代入顶点式得$y_1=(x+2)^2-1$。
$y_2=(x+1)^2-2$的顶点坐标为$(-1,-2)$，将顶点$(-1,-2)$平移到$(-2,-1)$：
横坐标变化：$-2 - (-1) = -1$，即向左平移1个单位长度；
纵坐标变化：$-1 - (-2) = 1$，即向上平移1个单位长度。
∴ 抛物线$y_1$是由$y_2$的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的。
（2）求$y_1$与x轴的交点，令$y_1=0$，可得方程：
$(x+2)^2 - 1 = 0$
移项得：$(x+2)^2 = 1$
开平方得：$x+2 = ±1$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$
∴ 抛物线$y_1$与x轴的两交点坐标为$(-1,0)$、$(-3,0)$。
【答案】
(1) $y_1=(x+2)^2-1$，它是由$y_2=(x+1)^2-2$的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的；(2) $(-1,0),(-3,0)$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数平移规律、二次函数与x轴交点求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对顶点式的理解、平移规律的应用以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握核心基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确：二次函数的二次项系数a决定抛物线的开口方向和形状大小，两个抛物线开口方向、形状相同则a值相等；顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知$y_1$的最低点即顶点坐标，代入即可直接求出$y_1$的解析式。抛物线平移本质是顶点的平移，遵循“左加右减、上加下减”的规律，对比两个抛物线的顶点坐标变化，就能得到平移方式。
（2）求抛物线与x轴的交点坐标，只需令函数值$y=0$，解对应的一元二次方程，方程的解就是交点的横坐标，交点纵坐标固定为0。
【解析】
（1）
∵ 抛物线$y_1=a(x-h)^2+k$与$y_2=(x+1)^2-2$的开口方向和形状都相同，
∴ 两个函数的二次项系数相等，即$a=1$。
又
∵ 抛物线$y_1$的最低点（顶点）坐标为$(-2,-1)$，
∴ $h=-2$，$k=-1$，代入顶点式得$y_1=(x+2)^2-1$。
$y_2=(x+1)^2-2$的顶点坐标为$(-1,-2)$，将顶点$(-1,-2)$平移到$(-2,-1)$：
横坐标变化：$-2 - (-1) = -1$，即向左平移1个单位长度；
纵坐标变化：$-1 - (-2) = 1$，即向上平移1个单位长度。
∴ 抛物线$y_1$是由$y_2$的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的。
（2）求$y_1$与x轴的交点，令$y_1=0$，可得方程：
$(x+2)^2 - 1 = 0$
移项得：$(x+2)^2 = 1$
开平方得：$x+2 = ±1$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$
∴ 抛物线$y_1$与x轴的两交点坐标为$(-1,0)$、$(-3,0)$。
【答案】
(1) $y_1=(x+2)^2-1$，它是由$y_2=(x+1)^2-2$的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的；(2) $(-1,0),(-3,0)$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数平移规律、二次函数与x轴交点求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对顶点式的理解、平移规律的应用以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握核心基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 将抛物线$y=3(x-4)^2+2$向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的抛物线的解析式是
$y=3(x-5)^2-1$
.答案
1. $y=3(x-5)^2-1$
解析
【分析】
首先观察已知抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，二次函数图象平移时$a$保持不变，仅需根据平移规则调整解析式即可。平移遵循“左加右减（针对自变量$x$操作），上加下减（针对常数项操作）”的规律：第一步处理向右平移1个单位的操作，将原式中$x$替换为$x-1$；第二步处理向下平移3个单位的操作，在式子末尾减去3，最后化简得到结果。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=3(x-4)^2+2$：
1. 向右平移1个单位长度，根据“左加右减”原则，将$x$替换为$x-1$，得：
$y=3[(x-1)-4]^2+2=3(x-5)^2+2$
2. 再向下平移3个单位长度，根据“上加下减”原则，在常数项处减3，得：
$y=3(x-5)^2+2-3=3(x-5)^2-1$
【答案】
$y=3(x-5)^2-1$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，解题核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其要注意左右平移仅对自变量$x$进行加减，避免与常数项的平移操作混淆，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
首先观察已知抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，二次函数图象平移时$a$保持不变，仅需根据平移规则调整解析式即可。平移遵循“左加右减（针对自变量$x$操作），上加下减（针对常数项操作）”的规律：第一步处理向右平移1个单位的操作，将原式中$x$替换为$x-1$；第二步处理向下平移3个单位的操作，在式子末尾减去3，最后化简得到结果。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=3(x-4)^2+2$：
1. 向右平移1个单位长度，根据“左加右减”原则，将$x$替换为$x-1$，得：
$y=3[(x-1)-4]^2+2=3(x-5)^2+2$
2. 再向下平移3个单位长度，根据“上加下减”原则，在常数项处减3，得：
$y=3(x-5)^2+2-3=3(x-5)^2-1$
【答案】
$y=3(x-5)^2-1$
【知识点】
1. 二次函数平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，解题核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其要注意左右平移仅对自变量$x$进行加减，避免与常数项的平移操作混淆，是二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
2. 如图,二次函数的图象经过$(-2,-1),(1,1)$两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是 (
A.$y$ 的最大值小于 0
B.当$x=0$时,$y$ 的值大于1
C.当$x=-1$时,$y$ 的值大于1
D.当$x=-3$时,$y$ 的值小于0
D
)A.$y$ 的最大值小于 0
B.当$x=0$时,$y$ 的值大于1
C.当$x=-1$时,$y$ 的值大于1
D.当$x=-3$时,$y$ 的值小于0
答案
2. D
解析
【分析】
首先观察二次函数图像，可知其开口向下，顶点坐标为(1,1)，因此对称轴为直线x=1，函数最大值为1，且在对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小。我们结合已知点(-2,-1)的坐标，利用二次函数的增减性、对称性逐个判断选项即可。
【解析】
逐一分析选项：
A. 由图像可知二次函数顶点为(1,1)，开口向下，因此函数最大值为1，大于0，故A错误；
B. 对称轴为直线x=1，在x＜1时y随x的增大而增大，0＜1，因此x=0对应的函数值小于x=1对应的函数值1，即x=0时y＜1，故B错误；
C. 同理，-1＜0＜1，x=-1对应的函数值小于x=0对应的函数值，因此x=-1时y＜1，故C错误；
D. 在x＜1时y随x的增大而增大，-3＜-2，因此x=-3对应的函数值小于x=-2对应的函数值-1，即y＜-1＜0，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数图像性质的应用，无需推导函数解析式，结合图像特征和函数增减性即可判断函数值的大小关系，解题的关键是准确提取图像中的顶点、已知点等关键信息。
【难度系数】
0.7
首先观察二次函数图像，可知其开口向下，顶点坐标为(1,1)，因此对称轴为直线x=1，函数最大值为1，且在对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小。我们结合已知点(-2,-1)的坐标，利用二次函数的增减性、对称性逐个判断选项即可。
【解析】
逐一分析选项：
A. 由图像可知二次函数顶点为(1,1)，开口向下，因此函数最大值为1，大于0，故A错误；
B. 对称轴为直线x=1，在x＜1时y随x的增大而增大，0＜1，因此x=0对应的函数值小于x=1对应的函数值1，即x=0时y＜1，故B错误；
C. 同理，-1＜0＜1，x=-1对应的函数值小于x=0对应的函数值，因此x=-1时y＜1，故C错误；
D. 在x＜1时y随x的增大而增大，-3＜-2，因此x=-3对应的函数值小于x=-2对应的函数值-1，即y＜-1＜0，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数图像性质的应用，无需推导函数解析式，结合图像特征和函数增减性即可判断函数值的大小关系，解题的关键是准确提取图像中的顶点、已知点等关键信息。
【难度系数】
0.7
3. 已知抛物线$y=a(x-3)^2+2$经过点$(1,-2)$。
(1) 求$a$的值；
(2) 若点$A(m,y_1),B(n,y_2)(m＜n＜3)$都在该抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小。
(1) 求$a$的值；
(2) 若点$A(m,y_1),B(n,y_2)(m＜n＜3)$都在该抛物线上，试比较$y_1$与$y_2$的大小。
答案
3. (1) $\because$抛物线$y=a(x-3)^2+2$经过点$(1,-2),\therefore a(1-3)^2+2=-2. \therefore a=-1.$ (2) 由(1),得$a=-1＜0,\therefore$抛物线的开口向下.$\because m＜n＜3,\therefore$点$A,B$在对称轴直线$x=3$的左侧,且$y$随$x$的增大而增大,$\therefore y_1＜y_2.$
解析
【分析】
(1) 求a的值的核心思路：函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知点$(1,-2)$的横、纵坐标代入抛物线的顶点式，即可得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
(2) 比较$y_1$和$y_2$大小的核心思路：先根据a的符号判断抛物线开口方向，再结合顶点式确定抛物线的对称轴，明确抛物线在对称轴两侧的增减性，最后根据A、B两点横坐标的范围和大小关系，利用增减性判断函数值的大小。
【解析】
(1) $\because$抛物线$y=a(x-3)^2+2$经过点$(1,-2)$，
$\therefore$把$x=1$，$y=-2$代入解析式，得：
$a(1-3)^2+2=-2$，
整理得$4a+2=-2$，
解得$a=-1$。
(2) 由(1)得$a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，
$\therefore$该抛物线的对称轴为直线$x=3$，
开口向下的抛物线在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，
$\because m＜n＜3$，$\therefore$点A、B都在对称轴左侧，且$m＜n$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=-1}$；
(2) $\boldsymbol{y_1＜y_2}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数系数
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于二次函数的基础常规题，第一问考查待定系数法的基础应用，难度较低；第二问结合二次函数的开口方向、对称轴和增减性比较函数值大小，是对二次函数基本性质的直接考查，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求a的值的核心思路：函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将已知点$(1,-2)$的横、纵坐标代入抛物线的顶点式，即可得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
(2) 比较$y_1$和$y_2$大小的核心思路：先根据a的符号判断抛物线开口方向，再结合顶点式确定抛物线的对称轴，明确抛物线在对称轴两侧的增减性，最后根据A、B两点横坐标的范围和大小关系，利用增减性判断函数值的大小。
【解析】
(1) $\because$抛物线$y=a(x-3)^2+2$经过点$(1,-2)$，
$\therefore$把$x=1$，$y=-2$代入解析式，得：
$a(1-3)^2+2=-2$，
整理得$4a+2=-2$，
解得$a=-1$。
(2) 由(1)得$a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，
$\because$抛物线$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，
$\therefore$该抛物线的对称轴为直线$x=3$，
开口向下的抛物线在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，
$\because m＜n＜3$，$\therefore$点A、B都在对称轴左侧，且$m＜n$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=-1}$；
(2) $\boldsymbol{y_1＜y_2}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数系数
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于二次函数的基础常规题，第一问考查待定系数法的基础应用，难度较低；第二问结合二次函数的开口方向、对称轴和增减性比较函数值大小，是对二次函数基本性质的直接考查，熟练掌握顶点式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
