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6. 已知将抛物线$y=2x^2 -4x +c$向左平移2个单位长度得到的抛物线经过三点$(-4,y_1)$，$(-2,y_2)$，$(\dfrac{1}{2},y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_1＞y_2＞y_3$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
D
）A.$y_2＞y_3＞y_1$
B.$y_1＞y_2＞y_3$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
答案
6. D
解析
【分析】
要比较平移后抛物线上三个点的函数值大小，首先需确定平移后抛物线的开口方向和对称轴：二次函数开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，用该规律可避免计算参数$c$，简化求解。步骤为：先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律得到平移后抛物线的顶点式，确定对称轴和开口方向，最后计算三个点到对称轴的距离比较函数值即可。
【解析】
1. 将原抛物线配方为顶点式：
$y=2x^2-4x+c=2(x^2-2x)+c=2(x-1)^2 + c-2$
2. 根据平移规律求平移后解析式：
向左平移2个单位，将$x$替换为$x+2$，得平移后抛物线：
$y=2(x+2-1)^2 + c-2=2(x+1)^2 + c-2$
3. 分析平移后抛物线性质：
$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大。
4. 计算三个点到对称轴的距离：
点$(-4,y_1)$到$x=-1$的距离：$\vert -4 - (-1)\vert=3$
点$(-2,y_2)$到$x=-1$的距离：$\vert -2 - (-1)\vert=1$
点$(\frac{1}{2},y_3)$到$x=-1$的距离：$\vert \frac{1}{2} - (-1)\vert=1.5$
因为$3＞1.5＞1$，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的平移；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数平移规律和增减性的应用，利用“开口向上时，点离对称轴越远函数值越大”的规律，可简化计算，快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.7
要比较平移后抛物线上三个点的函数值大小，首先需确定平移后抛物线的开口方向和对称轴：二次函数开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，用该规律可避免计算参数$c$，简化求解。步骤为：先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律得到平移后抛物线的顶点式，确定对称轴和开口方向，最后计算三个点到对称轴的距离比较函数值即可。
【解析】
1. 将原抛物线配方为顶点式：
$y=2x^2-4x+c=2(x^2-2x)+c=2(x-1)^2 + c-2$
2. 根据平移规律求平移后解析式：
向左平移2个单位，将$x$替换为$x+2$，得平移后抛物线：
$y=2(x+2-1)^2 + c-2=2(x+1)^2 + c-2$
3. 分析平移后抛物线性质：
$a=2＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越大。
4. 计算三个点到对称轴的距离：
点$(-4,y_1)$到$x=-1$的距离：$\vert -4 - (-1)\vert=3$
点$(-2,y_2)$到$x=-1$的距离：$\vert -2 - (-1)\vert=1$
点$(\frac{1}{2},y_3)$到$x=-1$的距离：$\vert \frac{1}{2} - (-1)\vert=1.5$
因为$3＞1.5＞1$，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的平移；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查二次函数平移规律和增减性的应用，利用“开口向上时，点离对称轴越远函数值越大”的规律，可简化计算，快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.7
1. 将抛物线$y=x^2+bx+c$向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式为$y=x^2+2x+3$，则$b=$
-2
，$c=$0
。答案
1. -2 0
解析
【分析】
本题可采用逆推法求解：已知平移后得到的抛物线解析式，要得到原抛物线，只需将平移后的抛物线沿相反方向平移，即先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，再将得到的解析式整理为一般式，和原抛物线的一般式对比系数即可求出b、c的值。解题时要牢记二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，注意左右平移只改变x的取值，上下平移只改变常数项。
【解析】
步骤1：将平移后的抛物线解析式配方
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$
步骤2：逆推得到原抛物线的顶点式
将$y=(x+1)^2+2$向下平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，得：
$y=(x+1)^2+2-3=(x+1)^2-1$
再将上述抛物线向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的规律（对x进行变换，右移减2），得原抛物线解析式：
$y=(x+1-2)^2-1=(x-1)^2-1$
步骤3：将原抛物线解析式化为一般式，对比系数
展开得：$y=(x-1)^2-1=x^2-2x+1-1=x^2-2x$
和原抛物线$y=x^2+bx+c$对比，可得$b=-2$，$c=0$。
【答案】
-2；0
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数的配方，二次函数系数对应
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规律的理解和应用，逆推法能有效简化已知平移后解析式求原解析式类问题的计算，做题时要注意平移时是对x本身进行加减，不要混淆符号。
【难度系数】
0.7
本题可采用逆推法求解：已知平移后得到的抛物线解析式，要得到原抛物线，只需将平移后的抛物线沿相反方向平移，即先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，再将得到的解析式整理为一般式，和原抛物线的一般式对比系数即可求出b、c的值。解题时要牢记二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，注意左右平移只改变x的取值，上下平移只改变常数项。
【解析】
步骤1：将平移后的抛物线解析式配方
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$
步骤2：逆推得到原抛物线的顶点式
将$y=(x+1)^2+2$向下平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，得：
$y=(x+1)^2+2-3=(x+1)^2-1$
再将上述抛物线向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的规律（对x进行变换，右移减2），得原抛物线解析式：
$y=(x+1-2)^2-1=(x-1)^2-1$
步骤3：将原抛物线解析式化为一般式，对比系数
展开得：$y=(x-1)^2-1=x^2-2x+1-1=x^2-2x$
和原抛物线$y=x^2+bx+c$对比，可得$b=-2$，$c=0$。
【答案】
-2；0
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数的配方，二次函数系数对应
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对平移规律的理解和应用，逆推法能有效简化已知平移后解析式求原解析式类问题的计算，做题时要注意平移时是对x本身进行加减，不要混淆符号。
【难度系数】
0.7
2. 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $ 与x轴的两个交点为(-2,0),(4,0)，则此抛物线的对称轴为
直线$x=1$
.答案
2. 直线$x=1$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的轴对称性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是关于对称轴对称的对称点，因此对称轴必然经过这两个交点连线的中点。我们只需要计算两个交点横坐标的平均值，就能得到对称轴对应的x值，进而写出对称轴方程。
【解析】
已知抛物线与x轴的两个交点坐标为$(-2,0)$和$(4,0)$，根据二次函数的轴对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴的横坐标为两点横坐标的平均值：
$x=\frac{-2+4}{2}=1$
因此抛物线的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
直线$x=1$
【知识点】
1. 二次函数的轴对称性
2. 抛物线对称轴求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，利用对称点求对称轴的中点法是常用技巧，熟练掌握该方法可以快速解决同类求对称轴的问题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数的轴对称性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是关于对称轴对称的对称点，因此对称轴必然经过这两个交点连线的中点。我们只需要计算两个交点横坐标的平均值，就能得到对称轴对应的x值，进而写出对称轴方程。
【解析】
已知抛物线与x轴的两个交点坐标为$(-2,0)$和$(4,0)$，根据二次函数的轴对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴的横坐标为两点横坐标的平均值：
$x=\frac{-2+4}{2}=1$
因此抛物线的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
直线$x=1$
【知识点】
1. 二次函数的轴对称性
2. 抛物线对称轴求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，利用对称点求对称轴的中点法是常用技巧，熟练掌握该方法可以快速解决同类求对称轴的问题。
【难度系数】
0.9
3. 二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为$2\sqrt{3}$个单位长度，以AB为边作等边$△ ABC$，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为
$(2,-3)$或$(1+\sqrt{7},3)$
。答案
3. $(2,-3)$或$(1+\sqrt{7},3)$
解析
【分析】
解题的突破口是利用等边三角形的性质确定点C的纵坐标：首先，线段AB在x轴上，等边△ABC的边长为$2\sqrt{3}$，可先求出AB边上的高，即点C到x轴的距离，得到点C的纵坐标的两种可能；再将纵坐标代入二次函数解析式求解横坐标，最后根据“点C在y轴右侧”即x＞0的条件筛选出符合要求的解即可。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，边长$AB=2\sqrt{3}$
∴ AB边上的高为：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}× AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=3$
∵ AB在x轴上，
∴ 点C到x轴的距离为3，即点C的纵坐标为3或-3。
分两种情况讨论：
1. 当$y=-3$时，代入$y=x^2-2x-3$得：
$x^2-2x-3=-3$
整理得$x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$
∵ 点C在y轴右侧，即$x＞0$，
∴ $x=0$舍去，此时点C坐标为$(2,-3)$。
2. 当$y=3$时，代入$y=x^2-2x-3$得：
$x^2-2x-3=3$
整理得$x^2-2x-6=0$，由求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-6)}}{2×1}=1\pm\sqrt{7}$
∵ $1-\sqrt{7}＜0$，不符合要求舍去，
∴ $x=1+\sqrt{7}$，此时点C坐标为$(1+\sqrt{7},3)$。
综上，点C的坐标为$(2,-3)$或$(1+\sqrt{7},3)$。
【答案】
$(2,-3)$或$(1+\sqrt{7},3)$
【知识点】
二次函数的图象性质，等边三角形的性质，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础综合题，解题关键是先根据等边三角形的性质确定点C的纵坐标，再代入函数解析式求解，解题时需注意题干的限制条件，避免出现多解漏筛的错误。
【难度系数】
0.6
解题的突破口是利用等边三角形的性质确定点C的纵坐标：首先，线段AB在x轴上，等边△ABC的边长为$2\sqrt{3}$，可先求出AB边上的高，即点C到x轴的距离，得到点C的纵坐标的两种可能；再将纵坐标代入二次函数解析式求解横坐标，最后根据“点C在y轴右侧”即x＞0的条件筛选出符合要求的解即可。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，边长$AB=2\sqrt{3}$
∴ AB边上的高为：$h=\frac{\sqrt{3}}{2}× AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}=3$
∵ AB在x轴上，
∴ 点C到x轴的距离为3，即点C的纵坐标为3或-3。
分两种情况讨论：
1. 当$y=-3$时，代入$y=x^2-2x-3$得：
$x^2-2x-3=-3$
整理得$x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$
∵ 点C在y轴右侧，即$x＞0$，
∴ $x=0$舍去，此时点C坐标为$(2,-3)$。
2. 当$y=3$时，代入$y=x^2-2x-3$得：
$x^2-2x-3=3$
整理得$x^2-2x-6=0$，由求根公式得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-6)}}{2×1}=1\pm\sqrt{7}$
∵ $1-\sqrt{7}＜0$，不符合要求舍去，
∴ $x=1+\sqrt{7}$，此时点C坐标为$(1+\sqrt{7},3)$。
综上，点C的坐标为$(2,-3)$或$(1+\sqrt{7},3)$。
【答案】
$(2,-3)$或$(1+\sqrt{7},3)$
【知识点】
二次函数的图象性质，等边三角形的性质，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础综合题，解题关键是先根据等边三角形的性质确定点C的纵坐标，再代入函数解析式求解，解题时需注意题干的限制条件，避免出现多解漏筛的错误。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3).
D是抛物线$y=-x^2+6x$上一点,且在x轴上方,则$△ BCD$面积的最大值为
D是抛物线$y=-x^2+6x$上一点,且在x轴上方,则$△ BCD$面积的最大值为
15
.答案
4. 15
解析
【分析】
要计算△BCD面积的最大值，首先结合菱形的性质确定BC的长度和BC所在直线的位置：已知C点坐标可求出菱形边长，菱形对边平行且相等，可得BC为平行于x轴的线段，长度固定。此时△BCD的底BC固定，面积大小仅由点D到直线BC的距离决定，因此将求面积最大值转化为求抛物线上点D的纵坐标的最大值，再结合二次函数最值计算即可。
【解析】
1. 求菱形边长及BC的相关性质：
已知点C坐标为(4,3)，则$OC=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵四边形OABC是菱形，顶点A在x轴正半轴上，
∴$BC=OC=5$，且$BC// OA$（即BC平行于x轴），BC所在直线的解析式为$y=3$。
2. 表示△BCD的面积：
设点D的纵坐标为$y_D$，点D到直线BC的距离为$h$，因为D在x轴上方，要使△BCD面积最大，D在BC上方，此时$h=y_D - 3$。
△BCD的面积$S=\frac{1}{2}× BC × h=\frac{1}{2}×5×(y_D - 3)=\frac{5}{2}(y_D - 3)$。
3. 求$y_D$的最大值：
对抛物线$y=-x^2+6x$配方得：$y=-(x-3)^2+9$，
∵抛物线开口向下，
∴当$x=3$时，$y$取得最大值9，即$y_D$的最大值为9。
4. 计算最大面积：
将$y_D=9$代入面积公式得：$S_{max}=\frac{5}{2}×(9-3)=15$。
【答案】
15
【知识点】
菱形的性质；二次函数的最值；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何图形性质与函数最值的结合应用，解题的核心是将动态的面积最值问题转化为二次函数的最值问题，渗透了转化的数学思想，能有效考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要计算△BCD面积的最大值，首先结合菱形的性质确定BC的长度和BC所在直线的位置：已知C点坐标可求出菱形边长，菱形对边平行且相等，可得BC为平行于x轴的线段，长度固定。此时△BCD的底BC固定，面积大小仅由点D到直线BC的距离决定，因此将求面积最大值转化为求抛物线上点D的纵坐标的最大值，再结合二次函数最值计算即可。
【解析】
1. 求菱形边长及BC的相关性质：
已知点C坐标为(4,3)，则$OC=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵四边形OABC是菱形，顶点A在x轴正半轴上，
∴$BC=OC=5$，且$BC// OA$（即BC平行于x轴），BC所在直线的解析式为$y=3$。
2. 表示△BCD的面积：
设点D的纵坐标为$y_D$，点D到直线BC的距离为$h$，因为D在x轴上方，要使△BCD面积最大，D在BC上方，此时$h=y_D - 3$。
△BCD的面积$S=\frac{1}{2}× BC × h=\frac{1}{2}×5×(y_D - 3)=\frac{5}{2}(y_D - 3)$。
3. 求$y_D$的最大值：
对抛物线$y=-x^2+6x$配方得：$y=-(x-3)^2+9$，
∵抛物线开口向下，
∴当$x=3$时，$y$取得最大值9，即$y_D$的最大值为9。
4. 计算最大面积：
将$y_D=9$代入面积公式得：$S_{max}=\frac{5}{2}×(9-3)=15$。
【答案】
15
【知识点】
菱形的性质；二次函数的最值；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何图形性质与函数最值的结合应用，解题的核心是将动态的面积最值问题转化为二次函数的最值问题，渗透了转化的数学思想，能有效考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 已知二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -7x +\dfrac{15}{2}$，若自变量$x$分别取$x_1,x_2,x_3$，且$0＜x_1＜x_2＜x_3$，则对应的函数值$y_1,y_2,y_3$的大小关系正确的是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
A
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_2＜y_3＜y_1$
答案
5. A
解析
【分析】
要判断三个函数值的大小，需结合二次函数的性质分析：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再利用对称轴公式求出抛物线的对称轴，最后判断三个自变量的取值在对称轴的哪一侧，结合开口方向对应的增减性即可比较函数值大小。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -7x +\dfrac{15}{2}$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=-7$，可得对称轴为：
$x=-\dfrac{-7}{2×(-\dfrac{1}{2})}=-7$
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞-7$时），$y$随$x$的增大而减小；
已知$0＜x_1＜x_2＜x_3$，可知$x_1,x_2,x_3$都在对称轴右侧，因此$x$越大，对应的函数值$y$越小，即$y_1＞y_2＞y_3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数增减性，对称轴计算公式
【点评】
本题考查二次函数增减性的应用，解题的关键是准确求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断对应区间内函数的变化规律，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要判断三个函数值的大小，需结合二次函数的性质分析：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，再利用对称轴公式求出抛物线的对称轴，最后判断三个自变量的取值在对称轴的哪一侧，结合开口方向对应的增减性即可比较函数值大小。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -7x +\dfrac{15}{2}$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 由对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=-7$，可得对称轴为：
$x=-\dfrac{-7}{2×(-\dfrac{1}{2})}=-7$
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞-7$时），$y$随$x$的增大而减小；
已知$0＜x_1＜x_2＜x_3$，可知$x_1,x_2,x_3$都在对称轴右侧，因此$x$越大，对应的函数值$y$越小，即$y_1＞y_2＞y_3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数增减性，对称轴计算公式
【点评】
本题考查二次函数增减性的应用，解题的关键是准确求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断对应区间内函数的变化规律，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85
6. 直线$y=bx - c$与抛物线$y=ax^2 + bx + c$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （
C
）答案
6. C
解析
【分析】
本题属于一次函数与二次函数图象结合的判断类题型，解题核心思路是：分别从二次函数、一次函数的图象特征，推导出参数a、b、c的符号，再验证两个函数推导的同一参数符号是否一致，若所有参数符号都一致则为正确选项，存在矛盾则排除该选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：
二次函数：开口向上→$a＞0$；对称轴在y轴右侧→$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$；与y轴交于负半轴→$c＜0$。
一次函数：图象上升→斜率$b＞0$，与二次函数推导的$b＜0$矛盾，排除A。
2. 选项B：
二次函数：开口向下→$a＜0$；过原点→$c=0$；对称轴在y轴右侧→$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$得$b＞0$。
一次函数：$y=bx-c=bx$，应过原点，且$b＞0$时图象应上升，但图中一次函数图象下降→斜率$b＜0$，矛盾，排除B。
3. 选项C：
二次函数：开口向上→$a＞0$；对称轴在y轴左侧→$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$得$b＞0$；与y轴交于负半轴→$c＜0$。
一次函数：图象上升→斜率$b＞0$，符合；与y轴交于正半轴→交点纵坐标$-c＞0$，即$c＜0$，符合。所有参数符号一致，C正确。
4. 选项D：
二次函数：开口向下→$a＜0$；对称轴在y轴右侧→$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$得$b＞0$。
一次函数：图象下降→斜率$b＜0$，与二次函数推导的$b＞0$矛盾，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象参数判断
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，解题关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图象特征和对应参数的关联，通过“参数符号一致性”的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题属于一次函数与二次函数图象结合的判断类题型，解题核心思路是：分别从二次函数、一次函数的图象特征，推导出参数a、b、c的符号，再验证两个函数推导的同一参数符号是否一致，若所有参数符号都一致则为正确选项，存在矛盾则排除该选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：
二次函数：开口向上→$a＞0$；对称轴在y轴右侧→$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$；与y轴交于负半轴→$c＜0$。
一次函数：图象上升→斜率$b＞0$，与二次函数推导的$b＜0$矛盾，排除A。
2. 选项B：
二次函数：开口向下→$a＜0$；过原点→$c=0$；对称轴在y轴右侧→$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$得$b＞0$。
一次函数：$y=bx-c=bx$，应过原点，且$b＞0$时图象应上升，但图中一次函数图象下降→斜率$b＜0$，矛盾，排除B。
3. 选项C：
二次函数：开口向上→$a＞0$；对称轴在y轴左侧→$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$得$b＞0$；与y轴交于负半轴→$c＜0$。
一次函数：图象上升→斜率$b＞0$，符合；与y轴交于正半轴→交点纵坐标$-c＞0$，即$c＜0$，符合。所有参数符号一致，C正确。
4. 选项D：
二次函数：开口向下→$a＜0$；对称轴在y轴右侧→$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$得$b＞0$。
一次函数：图象下降→斜率$b＜0$，与二次函数推导的$b＞0$矛盾，排除D。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象参数判断
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，解题关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图象特征和对应参数的关联，通过“参数符号一致性”的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7. 对于二次函数$y=2(x+1)(x-3)$，下列说法正确的是 （
A.图象的开口向下
B.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小
C.当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.图象的对称轴是直线$x=-1$
C
）A.图象的开口向下
B.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小
C.当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.图象的对称轴是直线$x=-1$
答案
7. C
解析
【分析】
要判断各选项的正误，需先明确该二次函数的开口方向、对称轴，再结合开口方向分析函数的增减性：第一步，根据二次项系数a的正负判断开口方向，排除错误选项；第二步，利用交点式的对称轴公式（或展开为一般式用对称轴公式）求出对称轴，排除对称轴相关的错误选项；第三步，结合开口方向和对称轴分析函数增减性，判断剩余选项即可。
【解析】
解法1：利用交点式性质求解
①判断开口方向：二次函数$y=2(x+1)(x-3)$的二次项系数$a=2＞0$，因此图象开口向上，故A选项错误。
②求对称轴：交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$对应的抛物线与x轴交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，对称轴为两点横坐标的中点，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。本题中$x_1=-1$，$x_2=3$，因此对称轴为$x=\frac{-1+3}{2}=1$，故D选项错误。
③判断增减性：抛物线开口向上时，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，故B选项错误，C选项正确。
解法2：展开为一般式求解
将函数展开整理得：$y=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6$。
①开口方向：$a=2＞0$，开口向上，A错误。
②对称轴：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2,b=-4$得$x=\frac{4}{2×2}=1$，D错误。
③增减性：同解法1，可得$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，B错误，C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的开口方向；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练掌握根据二次函数表达式快速确定开口方向、对称轴，进而判断增减性的方法，属于二次函数的基础考查题型。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正误，需先明确该二次函数的开口方向、对称轴，再结合开口方向分析函数的增减性：第一步，根据二次项系数a的正负判断开口方向，排除错误选项；第二步，利用交点式的对称轴公式（或展开为一般式用对称轴公式）求出对称轴，排除对称轴相关的错误选项；第三步，结合开口方向和对称轴分析函数增减性，判断剩余选项即可。
【解析】
解法1：利用交点式性质求解
①判断开口方向：二次函数$y=2(x+1)(x-3)$的二次项系数$a=2＞0$，因此图象开口向上，故A选项错误。
②求对称轴：交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$对应的抛物线与x轴交点为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，对称轴为两点横坐标的中点，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}$。本题中$x_1=-1$，$x_2=3$，因此对称轴为$x=\frac{-1+3}{2}=1$，故D选项错误。
③判断增减性：抛物线开口向上时，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，故B选项错误，C选项正确。
解法2：展开为一般式求解
将函数展开整理得：$y=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6$。
①开口方向：$a=2＞0$，开口向上，A错误。
②对称轴：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2,b=-4$得$x=\frac{4}{2×2}=1$，D错误。
③增减性：同解法1，可得$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，B错误，C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的开口方向；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练掌握根据二次函数表达式快速确定开口方向、对称轴，进而判断增减性的方法，属于二次函数的基础考查题型。
【难度系数】
0.7
