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8. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴交于$A,B$两点,其中$A(-1,0)$,$C(0,5)$,$D(1,8)$在抛物线上,$M$为抛物线的顶点.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 求$△ MCB$的面积.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 求$△ MCB$的面积.
答案
8. (1) 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$,根据题意,得$\begin{cases} a-b+c=0,\\ c=5,\\ a+b+c=8, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1,\\ b=4,\\ c=5. \end{cases}$ $\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$.
(2) $\because$点$C$的坐标为$(0,5)$,$\therefore OC=5$. 令$y=0$,得$-x^2+4x+5=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=5$,$\therefore$点$B$的坐标为$(5,0)$,$\therefore OB=5$. $\because y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,$\therefore$顶点$M$的坐标为$(2,9)$. 过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$,则$ON=2$,$MN=9$,$\therefore S_{△ MCB}=S_{梯形OCMN}+S_{△ BMN}-S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×(5+9)×2+\frac{1}{2}×9×(5-2)-\frac{1}{2}×5×5=15$.
(2) $\because$点$C$的坐标为$(0,5)$,$\therefore OC=5$. 令$y=0$,得$-x^2+4x+5=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=5$,$\therefore$点$B$的坐标为$(5,0)$,$\therefore OB=5$. $\because y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$,$\therefore$顶点$M$的坐标为$(2,9)$. 过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$,则$ON=2$,$MN=9$,$\therefore S_{△ MCB}=S_{梯形OCMN}+S_{△ BMN}-S_{△ OBC}=\frac{1}{2}×(5+9)×2+\frac{1}{2}×9×(5-2)-\frac{1}{2}×5×5=15$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线上3个点的坐标，可采用待定系数法求解析式：先设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个点的坐标分别代入解析式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到抛物线解析式。
(2) 求$△ MCB$的面积首先要确定三个顶点的坐标：$C$点坐标已知，$B$是抛物线与$x$轴正半轴交点，令解析式中$y=0$解方程即可得到$B$点坐标；$M$是抛物线顶点，将解析式配方为顶点式即可得到$M$点坐标。由于$△ MCB$是坐标系中的不规则三角形，可通过割补法将其面积转化为规则图形（梯形、直角三角形）的面积和差计算，简化运算。
【解析】
(1) 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，
将$A(-1,0)$、$C(0,5)$、$D(1,8)$三点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} a-b+c=0,\\ c=5,\\ a+b+c=8, \end{cases}$
把$c=5$代入另外两个方程，得$\begin{cases}a-b=-5\\a+b=3\end{cases}$，两式相加解得$a=-1$，代入$a+b=3$解得$b=4$，
即$\begin{cases} a=-1,\\ b=4,\\ c=5. \end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$。
(2) 求$B$点坐标：令$y=0$，得$-x^2+4x+5=0$，
因式分解得$-(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
$\therefore B$点坐标为$(5,0)$，则$OB=5$，已知$C(0,5)$，则$OC=5$。
求顶点$M$的坐标：将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，
$\therefore$顶点$M$的坐标为$(2,9)$。
过点$M$作$MN⊥x$轴于点$N$，则$ON=2$，$MN=9$，$BN=5-2=3$，
用割补法计算面积：
$S_{△ MCB}=S_{梯形OCMN}+S_{△ BMN}-S_{△ OBC}$
$=\frac{1}{2}×(5+9)×2+\frac{1}{2}×9×3-\frac{1}{2}×5×5$
$=14+13.5-12.5=15$。
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$；(2) $15$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与坐标轴交点及顶点坐标的求解、坐标系中不规则图形的面积计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的基础性质，灵活运用割补法转化面积，是二次函数板块的常考题型。
【难度系数】
0.75
(1) 已知抛物线上3个点的坐标，可采用待定系数法求解析式：先设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个点的坐标分别代入解析式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到抛物线解析式。
(2) 求$△ MCB$的面积首先要确定三个顶点的坐标：$C$点坐标已知，$B$是抛物线与$x$轴正半轴交点，令解析式中$y=0$解方程即可得到$B$点坐标；$M$是抛物线顶点，将解析式配方为顶点式即可得到$M$点坐标。由于$△ MCB$是坐标系中的不规则三角形，可通过割补法将其面积转化为规则图形（梯形、直角三角形）的面积和差计算，简化运算。
【解析】
(1) 设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，
将$A(-1,0)$、$C(0,5)$、$D(1,8)$三点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} a-b+c=0,\\ c=5,\\ a+b+c=8, \end{cases}$
把$c=5$代入另外两个方程，得$\begin{cases}a-b=-5\\a+b=3\end{cases}$，两式相加解得$a=-1$，代入$a+b=3$解得$b=4$，
即$\begin{cases} a=-1,\\ b=4,\\ c=5. \end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$。
(2) 求$B$点坐标：令$y=0$，得$-x^2+4x+5=0$，
因式分解得$-(x-5)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
$\therefore B$点坐标为$(5,0)$，则$OB=5$，已知$C(0,5)$，则$OC=5$。
求顶点$M$的坐标：将抛物线解析式配方为顶点式：
$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，
$\therefore$顶点$M$的坐标为$(2,9)$。
过点$M$作$MN⊥x$轴于点$N$，则$ON=2$，$MN=9$，$BN=5-2=3$，
用割补法计算面积：
$S_{△ MCB}=S_{梯形OCMN}+S_{△ BMN}-S_{△ OBC}$
$=\frac{1}{2}×(5+9)×2+\frac{1}{2}×9×3-\frac{1}{2}×5×5$
$=14+13.5-12.5=15$。
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$；(2) $15$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与坐标轴交点及顶点坐标的求解、坐标系中不规则图形的面积计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的基础性质，灵活运用割补法转化面积，是二次函数板块的常考题型。
【难度系数】
0.75
9. 如图，对称轴为直线$x=-1$的抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为$(-3,0)$。
(1) 求点B的坐标；
(2) 已知$a=1$，C为抛物线与y轴的交点。
① 若点P在抛物线上，且$S_{△ POC}=4S_{△ BOC}$，求点P的坐标；
② 设点Q是线段AC上的动点，作$QD⊥x$轴，交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
(1) 求点B的坐标；
(2) 已知$a=1$，C为抛物线与y轴的交点。
① 若点P在抛物线上，且$S_{△ POC}=4S_{△ BOC}$，求点P的坐标；
② 设点Q是线段AC上的动点，作$QD⊥x$轴，交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
答案
9. (1) $\because$点$A(-3,0)$与点$B$关于直线$x=-1$对称,$\therefore$点$B$的坐标为$(1,0)$.
(2) $\because a=1$,$\therefore y=x^2+bx+c$. $\because$抛物线过点$A(-3,0)$,且对称轴为直线$x=-1$,$\therefore\begin{cases} 0=9-3b+c,\\ -\frac{b}{2}=-1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=2,\\ c=-3. \end{cases}$ $\therefore y=x^2+2x-3$,且点$C$的坐标为$(0,-3)$.
① 设点$P$的坐标为$(x,y)$. 根据题意,得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$,$\therefore S_{△ POC}=4S_{△ BOC}=6$. 当$x＞0$时,有$\frac{1}{2}×3× x=6$,$\therefore x=4$. $\therefore y=4^2+2×4-3=21$. 当$x＜0$时,有$\frac{1}{2}×3×(-x)=6$,$\therefore x=-4$. $\therefore y=(-4)^2+2×(-4)-3=5$. $\therefore$点$P$的坐标为$(4,21)$或$(-4,5)$.
② 设直线$AC$的解析式为$y=mx+n$. $\because$直线$AC$过$A$,$C$两点,$\therefore\begin{cases} -3m+n=0,\\ n=-3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-1,\\ n=-3. \end{cases}$ $\therefore y=-x-3$. 设点$Q$的坐标为$(p,q)$,$\because$点$Q$在线段$AC$上,$\therefore -3≤ p≤0$. $\therefore QD=-p-3-(p^2+2p-3)=-p^2-3p=-(p+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$. $\because -3＜-\frac{3}{2}＜0$,$\therefore$当$p=-\frac{3}{2}$时,$QD$有最大值$\frac{9}{4}$. $\therefore$线段$QD$长度的最大值为$\frac{9}{4}$.
(2) $\because a=1$,$\therefore y=x^2+bx+c$. $\because$抛物线过点$A(-3,0)$,且对称轴为直线$x=-1$,$\therefore\begin{cases} 0=9-3b+c,\\ -\frac{b}{2}=-1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b=2,\\ c=-3. \end{cases}$ $\therefore y=x^2+2x-3$,且点$C$的坐标为$(0,-3)$.
① 设点$P$的坐标为$(x,y)$. 根据题意,得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$,$\therefore S_{△ POC}=4S_{△ BOC}=6$. 当$x＞0$时,有$\frac{1}{2}×3× x=6$,$\therefore x=4$. $\therefore y=4^2+2×4-3=21$. 当$x＜0$时,有$\frac{1}{2}×3×(-x)=6$,$\therefore x=-4$. $\therefore y=(-4)^2+2×(-4)-3=5$. $\therefore$点$P$的坐标为$(4,21)$或$(-4,5)$.
② 设直线$AC$的解析式为$y=mx+n$. $\because$直线$AC$过$A$,$C$两点,$\therefore\begin{cases} -3m+n=0,\\ n=-3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-1,\\ n=-3. \end{cases}$ $\therefore y=-x-3$. 设点$Q$的坐标为$(p,q)$,$\because$点$Q$在线段$AC$上,$\therefore -3≤ p≤0$. $\therefore QD=-p-3-(p^2+2p-3)=-p^2-3p=-(p+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$. $\because -3＜-\frac{3}{2}＜0$,$\therefore$当$p=-\frac{3}{2}$时,$QD$有最大值$\frac{9}{4}$. $\therefore$线段$QD$长度的最大值为$\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求点B坐标：抛物线与x轴的交点A、B关于对称轴$x=-1$对称，两点横坐标到对称轴的距离相等，先算出点A到对称轴的距离，即可推出点B的横坐标，纵坐标为0。
(2) ① 先根据$a=1$、对称轴和点A坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，得到抛物线与y轴交点C的坐标；先计算$△ BOC$的面积，再根据面积关系得到$△ POC$的面积，$△ POC$以OC为底，高为点P横坐标的绝对值，列方程求出P的横坐标后代入抛物线解析式得到纵坐标，注意分$x＞0$和$x＜0$两种情况讨论。
② 先用待定系数法求出直线AC的解析式，设Q的横坐标为$p$，分别表示出Q和D的纵坐标，QD的长度为Q的纵坐标减去D的纵坐标，得到关于$p$的二次函数，配方后结合$p$的取值范围（在线段AC上，$-3≤ p≤0$）求出最大值。
【解析】
(1)
∵抛物线对称轴为直线$x=-1$，点$A(-3,0)$与点B关于直线$x=-1$对称，
∴点B的横坐标为$-1+[-1-(-3)]=1$，纵坐标为0，即点B的坐标为$(1,0)$。
(2) 当$a=1$时，抛物线解析式为$y=x^2+bx+c$，
∵抛物线过点$A(-3,0)$，且对称轴为直线$x=-1$，
∴列方程组：$\begin{cases}9-3b+c=0\\-\dfrac{b}{2×1}=-1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b=2\\c=-3\end{cases}$，
∴抛物线解析式为$y=x^2+2x-3$，
令$x=0$，得$y=-3$，
∴点C坐标为$(0,-3)$。
① 设点P的坐标为$(x,y)$，
先算$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× OB× OC=\dfrac{1}{2}×1×3=\dfrac{3}{2}$，
由题意得$S_{△ POC}=4S_{△ BOC}=4×\dfrac{3}{2}=6$，
$△ POC$以$OC=3$为底，高为点P到y轴的距离即$|x|$，
∴$\dfrac{1}{2}×3×|x|=6$，解得$|x|=4$，即$x=4$或$x=-4$。
当$x=4$时，$y=4^2+2×4-3=21$；当$x=-4$时，$y=(-4)^2+2×(-4)-3=5$，
∴点P的坐标为$(4,21)$或$(-4,5)$。
② 设直线AC的解析式为$y=mx+n$，将$A(-3,0)$、$C(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}-3m+n=0\\n=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=-3\end{cases}$，
∴直线AC的解析式为$y=-x-3$。
设点Q的横坐标为$p$（$-3≤ p≤0$，因为Q在线段AC上），
则Q点纵坐标为$-p-3$，D点横坐标也为$p$，代入抛物线得D点纵坐标为$p^2+2p-3$，
∴$QD=(-p-3)-(p^2+2p-3)=-p^2-3p$，
配方得：$QD=-(p+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$，
∵$-3＜-\dfrac{3}{2}＜0$，即顶点横坐标在$p$的取值范围内，且二次项系数为负，开口向下，
∴当$p=-\dfrac{3}{2}$时，QD取得最大值$\dfrac{9}{4}$，即线段QD长度的最大值为$\dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$
(2) ① $\boldsymbol{(4,21)}$或$\boldsymbol{(-4,5)}$；② $\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
【知识点】
二次函数的对称性，待定系数法求解析式，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了一次函数、三角形面积计算的相关知识，解题时要灵活运用二次函数的性质，注意分类讨论思想和自变量取值范围对最值的影响，对综合运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求点B坐标：抛物线与x轴的交点A、B关于对称轴$x=-1$对称，两点横坐标到对称轴的距离相等，先算出点A到对称轴的距离，即可推出点B的横坐标，纵坐标为0。
(2) ① 先根据$a=1$、对称轴和点A坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，得到抛物线与y轴交点C的坐标；先计算$△ BOC$的面积，再根据面积关系得到$△ POC$的面积，$△ POC$以OC为底，高为点P横坐标的绝对值，列方程求出P的横坐标后代入抛物线解析式得到纵坐标，注意分$x＞0$和$x＜0$两种情况讨论。
② 先用待定系数法求出直线AC的解析式，设Q的横坐标为$p$，分别表示出Q和D的纵坐标，QD的长度为Q的纵坐标减去D的纵坐标，得到关于$p$的二次函数，配方后结合$p$的取值范围（在线段AC上，$-3≤ p≤0$）求出最大值。
【解析】
(1)
∵抛物线对称轴为直线$x=-1$，点$A(-3,0)$与点B关于直线$x=-1$对称，
∴点B的横坐标为$-1+[-1-(-3)]=1$，纵坐标为0，即点B的坐标为$(1,0)$。
(2) 当$a=1$时，抛物线解析式为$y=x^2+bx+c$，
∵抛物线过点$A(-3,0)$，且对称轴为直线$x=-1$，
∴列方程组：$\begin{cases}9-3b+c=0\\-\dfrac{b}{2×1}=-1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b=2\\c=-3\end{cases}$，
∴抛物线解析式为$y=x^2+2x-3$，
令$x=0$，得$y=-3$，
∴点C坐标为$(0,-3)$。
① 设点P的坐标为$(x,y)$，
先算$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}× OB× OC=\dfrac{1}{2}×1×3=\dfrac{3}{2}$，
由题意得$S_{△ POC}=4S_{△ BOC}=4×\dfrac{3}{2}=6$，
$△ POC$以$OC=3$为底，高为点P到y轴的距离即$|x|$，
∴$\dfrac{1}{2}×3×|x|=6$，解得$|x|=4$，即$x=4$或$x=-4$。
当$x=4$时，$y=4^2+2×4-3=21$；当$x=-4$时，$y=(-4)^2+2×(-4)-3=5$，
∴点P的坐标为$(4,21)$或$(-4,5)$。
② 设直线AC的解析式为$y=mx+n$，将$A(-3,0)$、$C(0,-3)$代入得：
$\begin{cases}-3m+n=0\\n=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=-3\end{cases}$，
∴直线AC的解析式为$y=-x-3$。
设点Q的横坐标为$p$（$-3≤ p≤0$，因为Q在线段AC上），
则Q点纵坐标为$-p-3$，D点横坐标也为$p$，代入抛物线得D点纵坐标为$p^2+2p-3$，
∴$QD=(-p-3)-(p^2+2p-3)=-p^2-3p$，
配方得：$QD=-(p+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{4}$，
∵$-3＜-\dfrac{3}{2}＜0$，即顶点横坐标在$p$的取值范围内，且二次项系数为负，开口向下，
∴当$p=-\dfrac{3}{2}$时，QD取得最大值$\dfrac{9}{4}$，即线段QD长度的最大值为$\dfrac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$
(2) ① $\boldsymbol{(4,21)}$或$\boldsymbol{(-4,5)}$；② $\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
【知识点】
二次函数的对称性，待定系数法求解析式，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了一次函数、三角形面积计算的相关知识，解题时要灵活运用二次函数的性质，注意分类讨论思想和自变量取值范围对最值的影响，对综合运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
