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12 妈妈给圆柱形的玻璃杯(底面直径16 cm，高20 cm)做了一个布套(包住侧面)。
(1) 求至少用布料多少平方厘米。
(2) 求这个杯子最多可以盛水多少立方厘米。
(1) 求至少用布料多少平方厘米。
(2) 求这个杯子最多可以盛水多少立方厘米。
答案
(1) $π×16×20=320π\ (\mathrm{cm}^2)$。
(2) $π×(\frac{16}{2})^2×20=1280π\ (\mathrm{cm}^3)$。
(2) $π×(\frac{16}{2})^2×20=1280π\ (\mathrm{cm}^3)$。
解析
【分析】
对于问题(1)，题目说明布套仅包住侧面，因此要求布料面积实际就是求圆柱的侧面积，回忆圆柱侧面积公式为底面周长×高，已知底面直径和高，代入公式即可计算。对于问题(2)，求杯子最多盛水的体积，就是求圆柱的容积，忽略杯壁厚度时容积等于圆柱体积，圆柱体积公式为底面积×高，先由直径求出半径，计算底面积后再乘高即可得到结果。
【解析】
(1) 所需布料面积等于圆柱侧面积，圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π dh$（$d$为底面直径，$h$为圆柱的高）。
将$d=16\ \mathrm{cm}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π×16×20=320π\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 杯子的盛水量等于圆柱容积，忽略杯壁厚度时容积等于圆柱体积，圆柱体积公式为$V=π r^2h$（$r$为底面半径）。
先计算底面半径：$r=\frac{16}{2}=8\ \mathrm{cm}$，再代入数值：
$V=π×8^2×20=π×64×20=1280π\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) $320π\ \mathrm{cm}^2$
(2) $1280π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱侧面积计算、圆柱体积计算、容积计算
【点评】
本题是圆柱相关公式的实际应用题，核心考查对圆柱侧面积、体积公式的掌握，解题关键是结合题意明确所求量对应的公式，准确代入数据计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
对于问题(1)，题目说明布套仅包住侧面，因此要求布料面积实际就是求圆柱的侧面积，回忆圆柱侧面积公式为底面周长×高，已知底面直径和高，代入公式即可计算。对于问题(2)，求杯子最多盛水的体积，就是求圆柱的容积，忽略杯壁厚度时容积等于圆柱体积，圆柱体积公式为底面积×高，先由直径求出半径，计算底面积后再乘高即可得到结果。
【解析】
(1) 所需布料面积等于圆柱侧面积，圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π dh$（$d$为底面直径，$h$为圆柱的高）。
将$d=16\ \mathrm{cm}$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π×16×20=320π\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 杯子的盛水量等于圆柱容积，忽略杯壁厚度时容积等于圆柱体积，圆柱体积公式为$V=π r^2h$（$r$为底面半径）。
先计算底面半径：$r=\frac{16}{2}=8\ \mathrm{cm}$，再代入数值：
$V=π×8^2×20=π×64×20=1280π\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) $320π\ \mathrm{cm}^2$
(2) $1280π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱侧面积计算、圆柱体积计算、容积计算
【点评】
本题是圆柱相关公式的实际应用题，核心考查对圆柱侧面积、体积公式的掌握，解题关键是结合题意明确所求量对应的公式，准确代入数据计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
13 图中的几何体是用10个相同的小正方体搭成的，其左视图如图所示。
（1）请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图、俯视图。
（2）如果保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以添加几个小正方体？最多可以拿掉几个小正方体？
（1）请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图、俯视图。
（2）如果保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以添加几个小正方体？最多可以拿掉几个小正方体？
答案
(1) 画出主视图、俯视图如图所示：
(2) 保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以添加4个小正方体，最多可以拿掉1个小正方体。
解析
【分析】
（1）绘制主视图时，从正面观察几何体，先确定观察方向下的列数，再统计每列小正方体的最高层数，按层数在对应列绘制小正方形即可；绘制俯视图时，从上方观察几何体，记录有小正方体分布的位置，在方格对应位置画出小正方形即可。
（2）要保持俯视图和左视图不变：首先俯视图不变意味着原俯视图显示有小正方体的6个位置，每个位置至少保留1个小正方体；其次左视图不变意味着几何体前、中、后三行的最大层数分别为3、2、1。计算最多添加的数量时，先算出每个位置符合高度限制的最多小正方体总数，减去现有10个即可；计算最多拿掉的数量时，先算出满足高度要求的最少小正方体总数，用现有10个减去最少总数即可。
【解析】
（1）主视图：从正面观察，几何体共4列，从左到右每列小正方体最高层数依次为1、3、2、2，按层数绘制对应图形；俯视图：从上方观察，有小正方体的位置为：最前行（靠近观察者）左数第2、3、4列，中间行左数第2、3列，最后行左数第2列，对应位置绘制图形，结果如下：
主视图：
俯视图：
（2）①计算最多可添加的小正方体数量：
由左视图可知，前行最高可放3层，中行最高可放2层，后行最高可放1层。
俯视图共6个有效位置：后行1个位置最多放1层，共1个；中行2个位置每个最多放2层，共$2×2=4$个；前行3个位置每个最多放3层，共$3×3=9$个。
最多总数量为$1+4+9=14$个，现有10个，因此最多可添加$14-10=4$个。
②计算最多可拿掉的小正方体数量：
要满足左视图的高度要求，最少需要的数量：后行1个位置放1层，共1个；中行2个位置中1个放2层、1个放1层，共$2+1=3$个；前行3个位置中1个放3层、剩余2个各放1层，共$3+1+1=5$个。
最少总数量为$1+3+5=9$个，现有10个，因此最多可拿掉$10-9=1$个。
【答案】
(1) 主视图、俯视图如下：
(2) 最多可以添加4个小正方体，最多可以拿掉1个小正方体。
【知识点】
组合体三视图绘制；由三视图还原几何体
【点评】
本题考查三视图的绘制和三视图的实际应用，解题的核心是明确三视图的观察方向，掌握三视图反映的几何体层数、位置特征，解题时注意视图不变的限制条件。
【难度系数】
0.65
（1）绘制主视图时，从正面观察几何体，先确定观察方向下的列数，再统计每列小正方体的最高层数，按层数在对应列绘制小正方形即可；绘制俯视图时，从上方观察几何体，记录有小正方体分布的位置，在方格对应位置画出小正方形即可。
（2）要保持俯视图和左视图不变：首先俯视图不变意味着原俯视图显示有小正方体的6个位置，每个位置至少保留1个小正方体；其次左视图不变意味着几何体前、中、后三行的最大层数分别为3、2、1。计算最多添加的数量时，先算出每个位置符合高度限制的最多小正方体总数，减去现有10个即可；计算最多拿掉的数量时，先算出满足高度要求的最少小正方体总数，用现有10个减去最少总数即可。
【解析】
（1）主视图：从正面观察，几何体共4列，从左到右每列小正方体最高层数依次为1、3、2、2，按层数绘制对应图形；俯视图：从上方观察，有小正方体的位置为：最前行（靠近观察者）左数第2、3、4列，中间行左数第2、3列，最后行左数第2列，对应位置绘制图形，结果如下：
主视图：
俯视图：
（2）①计算最多可添加的小正方体数量：
由左视图可知，前行最高可放3层，中行最高可放2层，后行最高可放1层。
俯视图共6个有效位置：后行1个位置最多放1层，共1个；中行2个位置每个最多放2层，共$2×2=4$个；前行3个位置每个最多放3层，共$3×3=9$个。
最多总数量为$1+4+9=14$个，现有10个，因此最多可添加$14-10=4$个。
②计算最多可拿掉的小正方体数量：
要满足左视图的高度要求，最少需要的数量：后行1个位置放1层，共1个；中行2个位置中1个放2层、1个放1层，共$2+1=3$个；前行3个位置中1个放3层、剩余2个各放1层，共$3+1+1=5$个。
最少总数量为$1+3+5=9$个，现有10个，因此最多可拿掉$10-9=1$个。
【答案】
(1) 主视图、俯视图如下：
(2) 最多可以添加4个小正方体，最多可以拿掉1个小正方体。
【知识点】
组合体三视图绘制；由三视图还原几何体
【点评】
本题考查三视图的绘制和三视图的实际应用，解题的核心是明确三视图的观察方向，掌握三视图反映的几何体层数、位置特征，解题时注意视图不变的限制条件。
【难度系数】
0.65
