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14 第24届冬奥会吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而一“墩”难求；为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量2000个扩大到日产量2420个。
（1）求这两次技术改造日产量的平均增长率。
（2）这生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：cm），请计算此类盲盒的表面积。
（1）求这两次技术改造日产量的平均增长率。
（2）这生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：cm），请计算此类盲盒的表面积。
答案
(1) 10%
(2) $(64+48π)\ \mathrm{cm}^2$
(2) $(64+48π)\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
（1）第一问为平均增长率类的一元二次方程应用问题，解题思路为：先设平均增长率为未知数，根据“初始产量×(1+增长率)²=两次改造后的最终产量”的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
（2）第二问首先根据三视图还原几何体：该盲盒是底面半径为4cm、高为8cm的半圆柱。计算表面积时需统计三部分面积：两个底面半圆拼接成的整圆面积、半圆柱的曲面侧面积、半圆柱切面的矩形面积，三者相加即为总表面积。
【解析】
（1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为$x$，根据题意列方程：
$2000(1+x)^2=2420$
化简得$(1+x)^2=1.21$，开方得$1+x=\pm1.1$。
由于增长率为正数，舍去$1+x=-1.1$，得$1+x=1.1$，解得$x=0.1=10\%$。
（2）由三视图可知该盲盒为半圆柱，底面半径$r=4\mathrm{cm}$，高$h=8\mathrm{cm}$，表面积分三部分计算：
① 两个底面半圆的面积和（即1个整圆的面积）：$S_1=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$
② 半圆柱的曲面侧面积：$S_2=π r h=π×4×8=32π\ \mathrm{cm}^2$
③ 切面矩形的面积（矩形长为8cm，宽为底面直径$2r=8\mathrm{cm}$）：$S_3=8×8=64\ \mathrm{cm}^2$
总表面积$S=S_1+S_2+S_3=16π+32π+64=(64+48π)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
（1）$10\%$
（2）$(64+48π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程的应用、三视图还原几何体、几何体表面积计算
【点评】
本题结合冬奥会热点命题，第一问考查增长率问题的基础公式应用，难度较低；第二问需要结合三视图还原几何体再计算面积，考查空间想象能力和基础计算能力，整体侧重对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为平均增长率类的一元二次方程应用问题，解题思路为：先设平均增长率为未知数，根据“初始产量×(1+增长率)²=两次改造后的最终产量”的等量关系列方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
（2）第二问首先根据三视图还原几何体：该盲盒是底面半径为4cm、高为8cm的半圆柱。计算表面积时需统计三部分面积：两个底面半圆拼接成的整圆面积、半圆柱的曲面侧面积、半圆柱切面的矩形面积，三者相加即为总表面积。
【解析】
（1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为$x$，根据题意列方程：
$2000(1+x)^2=2420$
化简得$(1+x)^2=1.21$，开方得$1+x=\pm1.1$。
由于增长率为正数，舍去$1+x=-1.1$，得$1+x=1.1$，解得$x=0.1=10\%$。
（2）由三视图可知该盲盒为半圆柱，底面半径$r=4\mathrm{cm}$，高$h=8\mathrm{cm}$，表面积分三部分计算：
① 两个底面半圆的面积和（即1个整圆的面积）：$S_1=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$
② 半圆柱的曲面侧面积：$S_2=π r h=π×4×8=32π\ \mathrm{cm}^2$
③ 切面矩形的面积（矩形长为8cm，宽为底面直径$2r=8\mathrm{cm}$）：$S_3=8×8=64\ \mathrm{cm}^2$
总表面积$S=S_1+S_2+S_3=16π+32π+64=(64+48π)\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
（1）$10\%$
（2）$(64+48π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元二次方程的应用、三视图还原几何体、几何体表面积计算
【点评】
本题结合冬奥会热点命题，第一问考查增长率问题的基础公式应用，难度较低；第二问需要结合三视图还原几何体再计算面积，考查空间想象能力和基础计算能力，整体侧重对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.7
15 如图，有一块圆形铁皮，BC是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）。
（1）当$\odot O$的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积。（结果保留$π$）
（2）当$\odot O$的半径为$R(R＞0)$时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由。
（1）当$\odot O$的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积。（结果保留$π$）
（2）当$\odot O$的半径为$R(R＞0)$时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由。
答案
如图，连接AO并延长交扇形、圆于点E、F。因为BC是$\odot O$的直径，所以$∠ BAC=90°$。因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，所以$AB=AC$。因为$AO=BO$，所以$AF ⊥ BC$。
(1) 当$\odot O$的半径为2时，$AC=AB=2\sqrt{2}$，所以$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{90π×8}{360}=2π$。
(2) 当$\odot O$的半径为$R(R＞0)$时，$AC=AB=\sqrt{2}R$，阴影部分扇形的弧长为$\frac{\sqrt{2}}{2}πR$。$EF=2R-\sqrt{2}R$，以EF为直径作圆，是剩余材料中所作的最大的圆，其圆周长为$(2-\sqrt{2})πR$。因为$\frac{\sqrt{2}}{2}πR ＞ (2-\sqrt{2})πR$，所以不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥。
(1) 当$\odot O$的半径为2时，$AC=AB=2\sqrt{2}$，所以$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{90π×8}{360}=2π$。
(2) 当$\odot O$的半径为$R(R＞0)$时，$AC=AB=\sqrt{2}R$，阴影部分扇形的弧长为$\frac{\sqrt{2}}{2}πR$。$EF=2R-\sqrt{2}R$，以EF为直径作圆，是剩余材料中所作的最大的圆，其圆周长为$(2-\sqrt{2})πR$。因为$\frac{\sqrt{2}}{2}πR ＞ (2-\sqrt{2})πR$，所以不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥。
解析
【分析】
本题分两小问求解：
（1）首先根据直径所对的圆周角为直角，结合等弧对等边可得$△ ABC$是等腰直角三角形，求出扇形的半径$AB$（或$AC$）的长度，再利用圆心角为$90°$的扇形面积公式计算即可。
（2）要判断能否从第③块余料剪出底面圆和扇形围成圆锥，核心依据是：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长。先求出扇形的弧长，再求出第③块余料中能剪出的最大圆的周长，比较两者大小即可得出结论。
【解析】
连接$AO$并延长，分别交扇形弧$BC$、$\odot O$于点$E$、$F$。
∵$BC$是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，
∴$∠ BAC=90°$。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，等弧对等弦，
∴$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰直角三角形，且$AO⊥ BC$。
（1）当$\odot O$的半径为2时，直径$BC=2×2=4$。
在等腰$Rt△ ABC$中，$AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，阴影扇形的圆心角$∠ BAC=90°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{90π×(2\sqrt{2})^2}{360}=\frac{90π×8}{360}=2π$。
（2）不能，理由如下：
当$\odot O$的半径为$R$时，直径$BC=2R$，同理可得$AB=AC=\frac{2R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}R$。
①先算阴影扇形的弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，
弧长$l=\frac{90π×\sqrt{2}R}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π R$，若围成圆锥，该弧长等于底面圆的周长。
②再算第③块余料中能剪出的最大圆的周长：
余料③中最大圆的直径为$EF=AF-AE=2R - AB=2R-\sqrt{2}R$，
则该最大圆的周长$C=π d=π(2R-\sqrt{2}R)=(2-\sqrt{2})π R$。
③比较大小：
$\frac{\sqrt{2}}{2}π R ＞ (2-\sqrt{2})π R$，说明扇形弧长大于余料中最大圆的周长，因此不能剪出符合要求的底面圆。
【答案】
（1）$2π$；（2）不能，理由见解析。
【知识点】
圆周角定理；扇形计算；圆锥的相关计算
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、扇形的相关计算以及圆锥侧面展开图的特点，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长的等量关系，同时能准确找到余料中可剪出的最大圆的直径，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题分两小问求解：
（1）首先根据直径所对的圆周角为直角，结合等弧对等边可得$△ ABC$是等腰直角三角形，求出扇形的半径$AB$（或$AC$）的长度，再利用圆心角为$90°$的扇形面积公式计算即可。
（2）要判断能否从第③块余料剪出底面圆和扇形围成圆锥，核心依据是：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长。先求出扇形的弧长，再求出第③块余料中能剪出的最大圆的周长，比较两者大小即可得出结论。
【解析】
连接$AO$并延长，分别交扇形弧$BC$、$\odot O$于点$E$、$F$。
∵$BC$是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，
∴$∠ BAC=90°$。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，等弧对等弦，
∴$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰直角三角形，且$AO⊥ BC$。
（1）当$\odot O$的半径为2时，直径$BC=2×2=4$。
在等腰$Rt△ ABC$中，$AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，阴影扇形的圆心角$∠ BAC=90°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{90π×(2\sqrt{2})^2}{360}=\frac{90π×8}{360}=2π$。
（2）不能，理由如下：
当$\odot O$的半径为$R$时，直径$BC=2R$，同理可得$AB=AC=\frac{2R}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}R$。
①先算阴影扇形的弧长：根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，
弧长$l=\frac{90π×\sqrt{2}R}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π R$，若围成圆锥，该弧长等于底面圆的周长。
②再算第③块余料中能剪出的最大圆的周长：
余料③中最大圆的直径为$EF=AF-AE=2R - AB=2R-\sqrt{2}R$，
则该最大圆的周长$C=π d=π(2R-\sqrt{2}R)=(2-\sqrt{2})π R$。
③比较大小：
$\frac{\sqrt{2}}{2}π R ＞ (2-\sqrt{2})π R$，说明扇形弧长大于余料中最大圆的周长，因此不能剪出符合要求的底面圆。
【答案】
（1）$2π$；（2）不能，理由见解析。
【知识点】
圆周角定理；扇形计算；圆锥的相关计算
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、扇形的相关计算以及圆锥侧面展开图的特点，解题的关键是明确圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长的等量关系，同时能准确找到余料中可剪出的最大圆的直径，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
