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6 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是
7 如图，从一块直径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为
15πcm²
。7 如图，从一块直径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径为
√2/8
m。答案
6. 15π cm²
7. $\frac{\sqrt{2}}{8}$ m
7. $\frac{\sqrt{2}}{8}$ m
解析
【分析】
第6题：首先根据三视图判断几何体类型，该几何体为圆锥；再从三视图中提取圆锥的底面半径、母线长两个关键数据，最后代入圆锥侧面积公式即可计算结果。
第7题：首先结合原圆形铁皮的直径，利用勾股定理求出剪下的90°扇形的半径；再根据弧长公式计算扇形的弧长，该弧长等于围成圆锥的底面周长；最后利用圆的周长公式反推圆锥底面圆的半径。
【解析】
6. 由三视图可知该几何体是圆锥，根据图中数据可得圆锥底面直径为6cm，即底面半径$r=3\mathrm{cm}$，母线长$l=5\mathrm{cm}$。
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$，代入数据得：
$S_{侧}=π × 3 × 5 = 15π \ \mathrm{cm}^2$。
7. 原圆形铁皮直径为1m，剪出圆心角为90°的扇形，扇形的两个端点均在原圆上，连接扇形弧的两个端点，该线段为原圆的直径，长度为1m。
设扇形的半径为$R$，由勾股定理得$R^2 + R^2 = 1^2$，解得$R=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$（负值舍去）。
扇形弧长公式为$l_{弧}=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数），代入$n=90°$、$R=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$得：
$l_{弧}=\frac{90× π × \frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{4}\ \mathrm{m}$。
扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面周长，设圆锥底面半径为$r$，则$2π r = \frac{\sqrt{2}π}{4}$，
约去$π$后解得$r=\frac{\sqrt{2}}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
6. $15π \ \mathrm{cm}^2$
7. $\frac{\sqrt{2}}{8}$
【知识点】
三视图识别几何体、圆锥侧面积计算、扇形与圆锥的对应关系
【点评】
两道题均为几何常见计算题型，既考查对几何体的识别能力，也考查对圆锥、扇形相关公式的掌握和运用，解题的关键是找准不同图形之间对应的等量关系。
【难度系数】
0.7
第6题：首先根据三视图判断几何体类型，该几何体为圆锥；再从三视图中提取圆锥的底面半径、母线长两个关键数据，最后代入圆锥侧面积公式即可计算结果。
第7题：首先结合原圆形铁皮的直径，利用勾股定理求出剪下的90°扇形的半径；再根据弧长公式计算扇形的弧长，该弧长等于围成圆锥的底面周长；最后利用圆的周长公式反推圆锥底面圆的半径。
【解析】
6. 由三视图可知该几何体是圆锥，根据图中数据可得圆锥底面直径为6cm，即底面半径$r=3\mathrm{cm}$，母线长$l=5\mathrm{cm}$。
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π r l$，代入数据得：
$S_{侧}=π × 3 × 5 = 15π \ \mathrm{cm}^2$。
7. 原圆形铁皮直径为1m，剪出圆心角为90°的扇形，扇形的两个端点均在原圆上，连接扇形弧的两个端点，该线段为原圆的直径，长度为1m。
设扇形的半径为$R$，由勾股定理得$R^2 + R^2 = 1^2$，解得$R=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$（负值舍去）。
扇形弧长公式为$l_{弧}=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数），代入$n=90°$、$R=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$得：
$l_{弧}=\frac{90× π × \frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{4}\ \mathrm{m}$。
扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面周长，设圆锥底面半径为$r$，则$2π r = \frac{\sqrt{2}π}{4}$，
约去$π$后解得$r=\frac{\sqrt{2}}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
6. $15π \ \mathrm{cm}^2$
7. $\frac{\sqrt{2}}{8}$
【知识点】
三视图识别几何体、圆锥侧面积计算、扇形与圆锥的对应关系
【点评】
两道题均为几何常见计算题型，既考查对几何体的识别能力，也考查对圆锥、扇形相关公式的掌握和运用，解题的关键是找准不同图形之间对应的等量关系。
【难度系数】
0.7
8 如图，扇形的半径为3，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为
1
。答案
1
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握扇形围成圆锥侧面的等量关系：扇形的弧长 = 圆锥底面的周长。解题时先利用弧长公式算出扇形的弧长，再将其作为圆锥底面的周长，结合圆的周长公式即可求出底面半径。
【解析】
首先计算扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
已知$n=120°$，$R=3$，代入得：
$l=\frac{120×π×3}{180}=2π$
设圆锥的底面半径为$r$，圆锥底面周长为$2π r$，由扇形弧长等于圆锥底面周长可得：
$2π r=2π$
解得：$r=1$
【答案】
1
【知识点】
弧长公式，圆锥侧面展开图的性质，圆的周长公式
【点评】
本题属于基础类题型，主要考察扇形和圆锥展开图的对应关系，牢记弧长与底面周长的等量关系是解题的关键，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握扇形围成圆锥侧面的等量关系：扇形的弧长 = 圆锥底面的周长。解题时先利用弧长公式算出扇形的弧长，再将其作为圆锥底面的周长，结合圆的周长公式即可求出底面半径。
【解析】
首先计算扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
已知$n=120°$，$R=3$，代入得：
$l=\frac{120×π×3}{180}=2π$
设圆锥的底面半径为$r$，圆锥底面周长为$2π r$，由扇形弧长等于圆锥底面周长可得：
$2π r=2π$
解得：$r=1$
【答案】
1
【知识点】
弧长公式，圆锥侧面展开图的性质，圆的周长公式
【点评】
本题属于基础类题型，主要考察扇形和圆锥展开图的对应关系，牢记弧长与底面周长的等量关系是解题的关键，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
9 如图是一个上下底密封纸盒的三视图，其中俯视图为正六边形。请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为
360+75√3
cm²。（结果可保留根号）答案
$360+75\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先根据三视图可判断该密封纸盒是正六棱柱，其表面积为侧面积与上下两个正六边形底面的面积之和。解题思路如下：第一步，确定正六棱柱的高和底面正六边形的边长：主视图的12cm为棱柱的高，主视图的宽度10cm对应俯视图正六边形的对顶点距离，正六边形对顶点距离等于2倍边长，因此可求出边长为5cm；第二步分别计算侧面积和两个底面积，相加即可得到总表面积。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为正六棱柱，棱柱的高$h=12\mathrm{cm}$，
底面正六边形的对顶点距离为$10\mathrm{cm}$，因此正六边形的边长$a=10÷2=5\mathrm{cm}$。
1. 计算侧面积：
正六棱柱侧面为6个全等的矩形，单个矩形面积为$a× h$，
侧面积$S_{\mathrm{侧}}=6× a× h=6×5×12=360\mathrm{cm}^2$。
2. 计算底面积：
单个正六边形可拆分为6个边长为$5\mathrm{cm}$的等边三角形，
单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×5^2=\frac{25\sqrt{3}}{4}\mathrm{cm}^2$，
单个底面积$S_{\mathrm{底}}=6×\frac{25\sqrt{3}}{4}=\frac{75\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}^2$，
上下两个底面积和为$2× S_{\mathrm{底}}=2×\frac{75\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
3. 总表面积$S=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}=360+75\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$360+75\sqrt{3}$
【知识点】
三视图识别，正六边形面积计算，柱体表面积计算
【点评】
本题属于三视图与几何体表面积结合的常考题，解题关键是准确将三视图的数值对应到几何体的参数，掌握正六边形拆分为等边三角形计算面积的方法，计算时注意不要遗漏上下两个底面的面积。
【难度系数】
0.65
首先根据三视图可判断该密封纸盒是正六棱柱，其表面积为侧面积与上下两个正六边形底面的面积之和。解题思路如下：第一步，确定正六棱柱的高和底面正六边形的边长：主视图的12cm为棱柱的高，主视图的宽度10cm对应俯视图正六边形的对顶点距离，正六边形对顶点距离等于2倍边长，因此可求出边长为5cm；第二步分别计算侧面积和两个底面积，相加即可得到总表面积。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为正六棱柱，棱柱的高$h=12\mathrm{cm}$，
底面正六边形的对顶点距离为$10\mathrm{cm}$，因此正六边形的边长$a=10÷2=5\mathrm{cm}$。
1. 计算侧面积：
正六棱柱侧面为6个全等的矩形，单个矩形面积为$a× h$，
侧面积$S_{\mathrm{侧}}=6× a× h=6×5×12=360\mathrm{cm}^2$。
2. 计算底面积：
单个正六边形可拆分为6个边长为$5\mathrm{cm}$的等边三角形，
单个等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×5^2=\frac{25\sqrt{3}}{4}\mathrm{cm}^2$，
单个底面积$S_{\mathrm{底}}=6×\frac{25\sqrt{3}}{4}=\frac{75\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}^2$，
上下两个底面积和为$2× S_{\mathrm{底}}=2×\frac{75\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
3. 总表面积$S=S_{\mathrm{侧}}+2S_{\mathrm{底}}=360+75\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$360+75\sqrt{3}$
【知识点】
三视图识别，正六边形面积计算，柱体表面积计算
【点评】
本题属于三视图与几何体表面积结合的常考题，解题关键是准确将三视图的数值对应到几何体的参数，掌握正六边形拆分为等边三角形计算面积的方法，计算时注意不要遗漏上下两个底面的面积。
【难度系数】
0.65
10 一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要m个，最多需要n个，则m - n =
-4
。答案
-4
解析
【分析】
解决本题需要结合主视图和俯视图的特征逐步推导：首先，俯视图可确定几何体底层的小正方体数量，每个俯视图中的小正方形对应底层至少有1个小正方体；其次，主视图能确定几何体每一列的最大层数，我们据此分别计算每一列小正方体的最少、最多总数量，汇总得到整体的最少个数m和最多个数n，最后计算m-n即可。
【解析】
1. 确定底层小正方体数量：观察从上面看的形状图，共有6个小正方形，因此几何体底层固定有6个小正方体。
2. 结合主视图分析各列层数限制：主视图从左到右三列的最大高度依次为1、2、3：
左列：对应俯视图仅1个位置，最大高度为1，因此该位置只能是1层，数量固定为1个。
中间列：对应俯视图共3个位置，最大高度为2：
最少情况：仅1个位置为2层，其余2个位置为1层，总数量为$1×2 + 2×1=4$个；
最多情况：3个位置均为2层，总数量为$3×2=6$个。
右列：对应俯视图共2个位置，最大高度为3：
最少情况：仅1个位置为3层，另1个位置为1层，总数量为$1×3 +1×1=4$个；
最多情况：2个位置均为3层，总数量为$2×3=6$个。
3. 计算总个数并求差：
最少总个数$m=1+4+4=9$，最多总个数$n=1+6+6=13$，因此$m-n=9-13=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
由三视图判断几何体、三视图的应用
【点评】
本题考查对三视图概念的理解和应用，解题核心是掌握“俯视图定底层数量、主视图定各列最大高度”的规律，分析最少、最多数量时要注意明确各位置层数的取值范围，避免漏算限制条件。
【难度系数】
0.6
解决本题需要结合主视图和俯视图的特征逐步推导：首先，俯视图可确定几何体底层的小正方体数量，每个俯视图中的小正方形对应底层至少有1个小正方体；其次，主视图能确定几何体每一列的最大层数，我们据此分别计算每一列小正方体的最少、最多总数量，汇总得到整体的最少个数m和最多个数n，最后计算m-n即可。
【解析】
1. 确定底层小正方体数量：观察从上面看的形状图，共有6个小正方形，因此几何体底层固定有6个小正方体。
2. 结合主视图分析各列层数限制：主视图从左到右三列的最大高度依次为1、2、3：
左列：对应俯视图仅1个位置，最大高度为1，因此该位置只能是1层，数量固定为1个。
中间列：对应俯视图共3个位置，最大高度为2：
最少情况：仅1个位置为2层，其余2个位置为1层，总数量为$1×2 + 2×1=4$个；
最多情况：3个位置均为2层，总数量为$3×2=6$个。
右列：对应俯视图共2个位置，最大高度为3：
最少情况：仅1个位置为3层，另1个位置为1层，总数量为$1×3 +1×1=4$个；
最多情况：2个位置均为3层，总数量为$2×3=6$个。
3. 计算总个数并求差：
最少总个数$m=1+4+4=9$，最多总个数$n=1+6+6=13$，因此$m-n=9-13=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
由三视图判断几何体、三视图的应用
【点评】
本题考查对三视图概念的理解和应用，解题核心是掌握“俯视图定底层数量、主视图定各列最大高度”的规律，分析最少、最多数量时要注意明确各位置层数的取值范围，避免漏算限制条件。
【难度系数】
0.6
11 如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图。
（1）写出这个几何体的名称。
（2）画出它的一种表面展开图。
（3）若从正面看的高为3 cm，从上面看三角形的边长都为2 cm，求这个几何体的侧面积。
（1）写出这个几何体的名称。
（2）画出它的一种表面展开图。
（3）若从正面看的高为3 cm，从上面看三角形的边长都为2 cm，求这个几何体的侧面积。
答案
(1) 正三棱柱。
(2) 如图所示。
(3) $S_{侧}=3×3×2=18\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解第(1)问时，先结合三视图的特征判断：俯视图反映几何体底面形状，主视图、左视图反映几何体的侧面和高度，本题俯视图是正三角形，说明底面为正三角形，主视图、左视图为矩形，说明是柱体，结合可得几何体类型；解第(2)问时，正三棱柱的表面展开图由2个全等的正三角形（上下底面）和3个全等的矩形（侧面）组成，按该结构画图即可；解第(3)问时，正三棱柱侧面积是3个侧面矩形的面积和，先从三视图中提取矩形的长和宽，再计算总面积即可。
【解析】
(1) 由三视图可知，该几何体底面是正三角形，侧面均为矩形，因此是正三棱柱。
(2) 正三棱柱的表面展开图包含上下两个全等的正三角形和三个全等的矩形，符合要求的展开图如下：
(3) 正三棱柱的侧面为3个完全相同的长方形，长方形的长为几何体的高3cm，宽为底面正三角形的边长2cm，因此侧面积为3个长方形面积之和：
$S_{\mathrm{侧}}=3×(3×2)=18\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 正三棱柱。
(2) 如图所示。
(3) $S_{侧}=3×3×2=18\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三视图识别几何体，几何体的展开图，棱柱侧面积计算
【点评】
本题考查正三棱柱的相关知识，难度较低，需要熟练掌握常见几何体的三视图特征，能结合三视图提取几何计算所需的长度数据，牢记棱柱侧面积的计算方法。
【难度系数】
0.8
解第(1)问时，先结合三视图的特征判断：俯视图反映几何体底面形状，主视图、左视图反映几何体的侧面和高度，本题俯视图是正三角形，说明底面为正三角形，主视图、左视图为矩形，说明是柱体，结合可得几何体类型；解第(2)问时，正三棱柱的表面展开图由2个全等的正三角形（上下底面）和3个全等的矩形（侧面）组成，按该结构画图即可；解第(3)问时，正三棱柱侧面积是3个侧面矩形的面积和，先从三视图中提取矩形的长和宽，再计算总面积即可。
【解析】
(1) 由三视图可知，该几何体底面是正三角形，侧面均为矩形，因此是正三棱柱。
(2) 正三棱柱的表面展开图包含上下两个全等的正三角形和三个全等的矩形，符合要求的展开图如下：
(3) 正三棱柱的侧面为3个完全相同的长方形，长方形的长为几何体的高3cm，宽为底面正三角形的边长2cm，因此侧面积为3个长方形面积之和：
$S_{\mathrm{侧}}=3×(3×2)=18\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 正三棱柱。
(2) 如图所示。
(3) $S_{侧}=3×3×2=18\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三视图识别几何体，几何体的展开图，棱柱侧面积计算
【点评】
本题考查正三棱柱的相关知识，难度较低，需要熟练掌握常见几何体的三视图特征，能结合三视图提取几何计算所需的长度数据，牢记棱柱侧面积的计算方法。
【难度系数】
0.8
