登录
22. 已知$\sqrt{1.7201} \approx 1.315$，$\sqrt{17.201} \approx 4.147$，那么0.17201的平方根大约是
平方根与黄金分割：黄金分割是一个非常神秘且广泛存在于我们
±0.4147
。平方根与黄金分割：黄金分割是一个非常神秘且广泛存在于我们
答案
22. ±0.4147
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的相关性质：1. 正数的平方根有两个，互为相反数；2. 被开方数的小数点向左或向右移动2位时，对应的算术平方根的小数点同向移动1位。首先找到0.17201与题干给出的已知被开方数的关系：0.17201是把17.201的小数点向左移动2位得到的，先算出它的算术平方根，再补充负的平方根即可。
【解析】
解：首先计算0.17201的算术平方根：
∵ 0.17201 = 17.201 ÷ 100
∴ $\sqrt{0.17201} = \sqrt{\frac{17.201}{100}} = \frac{\sqrt{17.201}}{\sqrt{100}}$
已知$\sqrt{17.201} \approx 4.147$，$\sqrt{100}=10$
代入得：$\sqrt{0.17201} \approx 4.147 ÷ 10 = 0.4147$
∵ 正数的平方根有两个，且互为相反数
∴ 0.17201的平方根为 ±0.4147
【答案】
±0.4147
【知识点】
1.平方根的定义 2.算术平方根的变化规律
【点评】
本题重点考查被开方数与算术平方根的小数点移动规律，易错点是容易忽略平方根的正负性，只写出正的算术平方根，解题时要注意区分算术平方根和平方根的概念。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方根的相关性质：1. 正数的平方根有两个，互为相反数；2. 被开方数的小数点向左或向右移动2位时，对应的算术平方根的小数点同向移动1位。首先找到0.17201与题干给出的已知被开方数的关系：0.17201是把17.201的小数点向左移动2位得到的，先算出它的算术平方根，再补充负的平方根即可。
【解析】
解：首先计算0.17201的算术平方根：
∵ 0.17201 = 17.201 ÷ 100
∴ $\sqrt{0.17201} = \sqrt{\frac{17.201}{100}} = \frac{\sqrt{17.201}}{\sqrt{100}}$
已知$\sqrt{17.201} \approx 4.147$，$\sqrt{100}=10$
代入得：$\sqrt{0.17201} \approx 4.147 ÷ 10 = 0.4147$
∵ 正数的平方根有两个，且互为相反数
∴ 0.17201的平方根为 ±0.4147
【答案】
±0.4147
【知识点】
1.平方根的定义 2.算术平方根的变化规律
【点评】
本题重点考查被开方数与算术平方根的小数点移动规律，易错点是容易忽略平方根的正负性，只写出正的算术平方根，解题时要注意区分算术平方根和平方根的概念。
【难度系数】
0.7
23. 若$|a - 1| + (b + 2)^2 = 0$，则$(a + b)^{2020}$的平方根是________。
生活中的比例，常用符号$\varphi$表示。
$\varphi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
生活中的比例，常用符号$\varphi$表示。
$\varphi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
答案
23. ±1
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和偶次乘方的结果都是非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数都必须为0。我们先根据这个性质求出a、b的值，再代入计算$(a+b)$的2020次方，最后根据平方根的定义求出结果，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：$\because |a-1|≥0$，$(b+2)^2≥0$，且$|a - 1| + (b + 2)^2 = 0$
$\therefore$ 根据非负数的性质可得：
$a - 1 = 0$，$b + 2 = 0$
解得：$a = 1$，$b = -2$
$\therefore a + b = 1 + (-2) = -1$
$\therefore (a+b)^{2020} = (-1)^{2020} = 1$
$\because$ 1的平方根为$\pm1$
$\therefore (a + b)^{2020}$的平方根是$\pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
非负数的性质、乘方运算、平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握绝对值和偶次幂的非负性，易错点是求解平方根时容易遗漏负的结果，仅写出算术平方根。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和偶次乘方的结果都是非负数，两个非负数相加和为0时，每个非负数都必须为0。我们先根据这个性质求出a、b的值，再代入计算$(a+b)$的2020次方，最后根据平方根的定义求出结果，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：$\because |a-1|≥0$，$(b+2)^2≥0$，且$|a - 1| + (b + 2)^2 = 0$
$\therefore$ 根据非负数的性质可得：
$a - 1 = 0$，$b + 2 = 0$
解得：$a = 1$，$b = -2$
$\therefore a + b = 1 + (-2) = -1$
$\therefore (a+b)^{2020} = (-1)^{2020} = 1$
$\because$ 1的平方根为$\pm1$
$\therefore (a + b)^{2020}$的平方根是$\pm1$
【答案】
$\pm1$
【知识点】
非负数的性质、乘方运算、平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握绝对值和偶次幂的非负性，易错点是求解平方根时容易遗漏负的结果，仅写出算术平方根。
【难度系数】
0.7
24. 若$5a+1$和$a-19$是数$m$的平方根，则$m$的值是
同学们，你能算出它的近似值吗？
256或576
.同学们，你能算出它的近似值吗？
答案
24. 256或576
解析
【分析】
解题的关键是掌握平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，同时若两个数都是同一个数的平方根，则这两个数要么相等，要么互为相反数。因此我们需要分两种情况讨论计算：①两个平方根互为相反数；②两个平方根相等，分别求出a的值后，再代入计算m的值即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当两个平方根互为相反数时，互为相反数的两个数和为0，可得：
$\begin{aligned}5a + 1 + a - 19 &= 0 \\6a - 18 &= 0 \\6a &= 18 \\a &= 3\end{aligned}$
将$a=3$代入$5a+1$得：$5×3+1=16$，因此$m=16^2=256$。
2. 当两个平方根相等时，可得：
$\begin{aligned}5a + 1 &= a - 19 \\4a &= -20 \\a &= -5\end{aligned}$
将$a=-5$代入$5a+1$得：$5×(-5)+1=-24$，因此$m=(-24)^2=576$。
综上，$m$的值为256或576。
【答案】
256或576
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易忽略两个平方根相等的情况，只考虑互为相反数的情况导致漏解，解题时要注意分类讨论，全面考虑平方根的相关性质。
【难度系数】
0.6
解题的关键是掌握平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，同时若两个数都是同一个数的平方根，则这两个数要么相等，要么互为相反数。因此我们需要分两种情况讨论计算：①两个平方根互为相反数；②两个平方根相等，分别求出a的值后，再代入计算m的值即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当两个平方根互为相反数时，互为相反数的两个数和为0，可得：
$\begin{aligned}5a + 1 + a - 19 &= 0 \\6a - 18 &= 0 \\6a &= 18 \\a &= 3\end{aligned}$
将$a=3$代入$5a+1$得：$5×3+1=16$，因此$m=16^2=256$。
2. 当两个平方根相等时，可得：
$\begin{aligned}5a + 1 &= a - 19 \\4a &= -20 \\a &= -5\end{aligned}$
将$a=-5$代入$5a+1$得：$5×(-5)+1=-24$，因此$m=(-24)^2=576$。
综上，$m$的值为256或576。
【答案】
256或576
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题属于易错题，很多同学容易忽略两个平方根相等的情况，只考虑互为相反数的情况导致漏解，解题时要注意分类讨论，全面考虑平方根的相关性质。
【难度系数】
0.6
25. 若$3x+1$的平方根为$\pm2$，$4y-1$的立方根为3，则$y-2x$的值为
5
。知识拓展答案
25. 5
解析
【分析】
解题的核心是利用平方根和立方根的定义求出x、y的值，再代入代数式计算。首先思考：如果一个数的平方根是±a，那么这个数等于a²，据此可以列出关于x的方程求解x；如果一个数的立方根是b，那么这个数等于b³，据此列出关于y的方程求解y，最后把x、y代入y-2x计算即可得到结果。
【解析】
第一步，根据平方根的定义求x：
∵$3x+1$的平方根为$\pm2$
∴$3x+1=(\pm2)^2=4$
解方程得：$3x=4-1=3$，即$x=1$
第二步，根据立方根的定义求y：
∵$4y-1$的立方根为3
∴$4y-1=3^3=27$
解方程得：$4y=27+1=28$，即$y=7$
第三步，代入计算$y-2x$：
将$x=1$，$y=7$代入得：$y-2x=7-2×1=5$
【答案】
5
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是基础运算题，重点考查对平方根、立方根概念的理解和应用，解题时要注意区分平方根和立方根的性质，避免概念混淆导致计算错误，只要准确求出未知数的值就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用平方根和立方根的定义求出x、y的值，再代入代数式计算。首先思考：如果一个数的平方根是±a，那么这个数等于a²，据此可以列出关于x的方程求解x；如果一个数的立方根是b，那么这个数等于b³，据此列出关于y的方程求解y，最后把x、y代入y-2x计算即可得到结果。
【解析】
第一步，根据平方根的定义求x：
∵$3x+1$的平方根为$\pm2$
∴$3x+1=(\pm2)^2=4$
解方程得：$3x=4-1=3$，即$x=1$
第二步，根据立方根的定义求y：
∵$4y-1$的立方根为3
∴$4y-1=3^3=27$
解方程得：$4y=27+1=28$，即$y=7$
第三步，代入计算$y-2x$：
将$x=1$，$y=7$代入得：$y-2x=7-2×1=5$
【答案】
5
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是基础运算题，重点考查对平方根、立方根概念的理解和应用，解题时要注意区分平方根和立方根的性质，避免概念混淆导致计算错误，只要准确求出未知数的值就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
6.已知$4a+1$的算术平方根是3，则$a-10$的立方根是
-2
。答案
26. -2
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根是3，则这个数等于3的平方，据此列出关于a的方程；第二步，解一元一次方程求出a的值；第三步，将a的值代入a-10计算出结果，再根据立方根的定义求出最终的立方根即可。
【解析】
解：
∵4a+1的算术平方根是3
∴4a+1 = 3² = 9
解这个方程：
4a = 9 - 1
4a = 8
a = 2
将a=2代入a-10得：
a - 10 = 2 - 10 = -8
∵(-2)³ = -8
∴-8的立方根是-2
【答案】
-2
【知识点】
算术平方根的定义，一元一次方程的解法，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握算术平方根和立方根的定义，根据已知条件先求出未知数的值再代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步，根据算术平方根的定义，若一个非负数的算术平方根是3，则这个数等于3的平方，据此列出关于a的方程；第二步，解一元一次方程求出a的值；第三步，将a的值代入a-10计算出结果，再根据立方根的定义求出最终的立方根即可。
【解析】
解：
∵4a+1的算术平方根是3
∴4a+1 = 3² = 9
解这个方程：
4a = 9 - 1
4a = 8
a = 2
将a=2代入a-10得：
a - 10 = 2 - 10 = -8
∵(-2)³ = -8
∴-8的立方根是-2
【答案】
-2
【知识点】
算术平方根的定义，一元一次方程的解法，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握算术平方根和立方根的定义，根据已知条件先求出未知数的值再代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
三、解答题
28. 已知一个正数x的平方根是2a−3与5−a，求正数x。
28. 已知一个正数x的平方根是2a−3与5−a，求正数x。
答案
28. 解:
∵一个正数x的平方根为2a−3和5−a，
∴(2a−3)+(5−a)=0,解得a=−2，
∴2a−3=−7,5−a=7，
∴x=(±7)²=49.
∵一个正数x的平方根为2a−3和5−a，
∴(2a−3)+(5−a)=0,解得a=−2，
∴2a−3=−7,5−a=7，
∴x=(±7)²=49.
解析
【分析】
解题首先要回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而互为相反数的两个数和为0。因此我们可以先根据两个平方根的和为0列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，代入求出其中一个平方根，再对平方根平方就能得到正数x的值。
【解析】
解：
∵一个正数x的平方根为2a−3和5−a，
∴这两个平方根互为相反数，即(2a−3)+(5−a)=0，
解这个方程：2a - 3 + 5 - a = 0，合并同类项得a + 2 = 0，解得a = -2，
将a = -2代入2a−3得：2×(-2) - 3 = -7，代入5−a得：5 - (-2) = 7，
∴正数x是平方根的平方，即x = (±7)² = 49。
【答案】
49
【知识点】
1. 正数平方根的性质 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题核心是抓住正数的两个平方根互为相反数这一关键条件建立方程，计算量小，思路明确，掌握平方根相关概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而互为相反数的两个数和为0。因此我们可以先根据两个平方根的和为0列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，代入求出其中一个平方根，再对平方根平方就能得到正数x的值。
【解析】
解：
∵一个正数x的平方根为2a−3和5−a，
∴这两个平方根互为相反数，即(2a−3)+(5−a)=0，
解这个方程：2a - 3 + 5 - a = 0，合并同类项得a + 2 = 0，解得a = -2，
将a = -2代入2a−3得：2×(-2) - 3 = -7，代入5−a得：5 - (-2) = 7，
∴正数x是平方根的平方，即x = (±7)² = 49。
【答案】
49
【知识点】
1. 正数平方根的性质 2. 解一元一次方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用，解题核心是抓住正数的两个平方根互为相反数这一关键条件建立方程，计算量小，思路明确，掌握平方根相关概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
29. 某小区欲将原来$400\ \mathrm{m}^2$的正方形场地改建成$300\ \mathrm{m}^2$、长和宽之比为$3:2$的长方形场地. 如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新长方形场地的围墙，那么这些铁栅栏是否够用？请说明理由.
答案
29. 把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新长方形场地的围墙,这些铁栅栏够用.理由如下:
设新长方形场地的长为3a m,宽为2a m.
根据题意可得3a·2a=300,解得a=5√2，
∴3a=15√2,2a=10√2.
∴新长方形场地的周长是(15√2 +10√2)×2=50√2=√5 000 m，
原来正方形场地的周长是4×√400=4×20=80=√6 400 m.
∵√5 000 ＜ √6 400，
∴把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新长方形场地的围墙,这些铁栅栏够用.
设新长方形场地的长为3a m,宽为2a m.
根据题意可得3a·2a=300,解得a=5√2，
∴3a=15√2,2a=10√2.
∴新长方形场地的周长是(15√2 +10√2)×2=50√2=√5 000 m，
原来正方形场地的周长是4×√400=4×20=80=√6 400 m.
∵√5 000 ＜ √6 400，
∴把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新长方形场地的围墙,这些铁栅栏够用.
解析
【分析】
要判断铁栅栏是否够用，本质是比较原正方形场地的周长和新长方形场地的周长大小。首先可根据新长方形的面积和长宽比，设参数表示长和宽，列方程求出参数值，进而算出新长方形的周长；再根据原正方形的面积求出其边长，计算出正方形的周长；最后比较两个周长的大小，若长方形周长小于等于正方形周长则够用，反之则不够用。
【解析】
设新长方形场地的长为$3a\ \mathrm{m}$，宽为$2a\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积公式可得：$3a · 2a = 300$
化简得$6a^2=300$，即$a^2=50$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
则新长方形的长为$3a=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，宽为$2a=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
新长方形的周长为：$2×(15\sqrt{2}+10\sqrt{2})=2×25\sqrt{2}=50\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，可变形为$50\sqrt{2}=\sqrt{50^2×2}=\sqrt{5000}\ \mathrm{m}$。
原正方形场地面积为$400\ \mathrm{m}^2$，因此其边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$，周长为$4×20=80\ \mathrm{m}$，可变形为$80=\sqrt{80^2}=\sqrt{6400}\ \mathrm{m}$。
因为$\sqrt{5000}＜\sqrt{6400}$，即新长方形的周长小于原正方形的周长，所以原来的铁栅栏够用。
【答案】
这些铁栅栏够用。
【知识点】
算术平方根的应用、图形周长面积计算、无理数大小比较
【点评】
本题结合生活实际命题，将几何计算与无理数运算结合，解题的核心是把实际问题转化为周长比较的数学问题，求解时需注意平方根要取符合实际意义的正根，侧重考查学生对知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断铁栅栏是否够用，本质是比较原正方形场地的周长和新长方形场地的周长大小。首先可根据新长方形的面积和长宽比，设参数表示长和宽，列方程求出参数值，进而算出新长方形的周长；再根据原正方形的面积求出其边长，计算出正方形的周长；最后比较两个周长的大小，若长方形周长小于等于正方形周长则够用，反之则不够用。
【解析】
设新长方形场地的长为$3a\ \mathrm{m}$，宽为$2a\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积公式可得：$3a · 2a = 300$
化简得$6a^2=300$，即$a^2=50$，由于边长为正数，因此$a=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
则新长方形的长为$3a=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，宽为$2a=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
新长方形的周长为：$2×(15\sqrt{2}+10\sqrt{2})=2×25\sqrt{2}=50\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，可变形为$50\sqrt{2}=\sqrt{50^2×2}=\sqrt{5000}\ \mathrm{m}$。
原正方形场地面积为$400\ \mathrm{m}^2$，因此其边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{m}$，周长为$4×20=80\ \mathrm{m}$，可变形为$80=\sqrt{80^2}=\sqrt{6400}\ \mathrm{m}$。
因为$\sqrt{5000}＜\sqrt{6400}$，即新长方形的周长小于原正方形的周长，所以原来的铁栅栏够用。
【答案】
这些铁栅栏够用。
【知识点】
算术平方根的应用、图形周长面积计算、无理数大小比较
【点评】
本题结合生活实际命题，将几何计算与无理数运算结合，解题的核心是把实际问题转化为周长比较的数学问题，求解时需注意平方根要取符合实际意义的正根，侧重考查学生对知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
30. 求下列各式中$x$的值.
(1) $9(x-1)^2=25$.
(2) $x^3 +4=\frac{5}{8}$.
(1) $9(x-1)^2=25$.
(2) $x^3 +4=\frac{5}{8}$.
答案
30. 解:(1)
∵9(x−1)²=25，
∴x−1=±$\frac{5}{3}$，
即x−1=$\frac{5}{3}$或x−1=−$\frac{5}{3}$，
解得x=$\frac{8}{3}$或x=−$\frac{2}{3}$.
(2)
∵x³+4=$\frac{5}{8}$,
∴x³=$\frac{5}{8}$−4，
∴x³=−$\frac{27}{8}$，
∴x=−$\frac{3}{2}$.
∵9(x−1)²=25，
∴x−1=±$\frac{5}{3}$，
即x−1=$\frac{5}{3}$或x−1=−$\frac{5}{3}$，
解得x=$\frac{8}{3}$或x=−$\frac{2}{3}$.
(2)
∵x³+4=$\frac{5}{8}$,
∴x³=$\frac{5}{8}$−4，
∴x³=−$\frac{27}{8}$，
∴x=−$\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题包含两道利用乘方性质求解未知数的题目，解题思路如下：
(1) 属于含平方的方程，首先将$(x-1)^2$的系数化为1，再根据平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，开平方得到两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得到x的两个值，注意不要漏解；
(2) 属于含立方的方程，首先通过移项计算出$x^3$的值，再根据立方根的性质：任意实数的立方根唯一，直接开立方即可求出x的值。
【解析】
(1) $\because 9(x-1)^2=25$
方程两边同时除以9得：$(x-1)^2=\frac{25}{9}$
根据平方根的性质开平方得：$x-1=\pm\frac{5}{3}$
即$x-1=\frac{5}{3}$或$x-1=-\frac{5}{3}$
解得$x=\frac{8}{3}$或$x=-\frac{2}{3}$。
(2) $\because x^3+4=\frac{5}{8}$
移项得：$x^3=\frac{5}{8}-4$
计算右侧得：$x^3=-\frac{27}{8}$
根据立方根的性质开立方得：$x=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x=\frac{8}{3}$或$x=-\frac{2}{3}$；(2) $x=-\frac{3}{2}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，解含乘方的方程
【点评】
本题是基础运算题型，重点考查平方根和立方根性质的应用，解题时需注意：正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏解；开立方的结果唯一，符号和被开方数一致。
【难度系数】
0.7
本题包含两道利用乘方性质求解未知数的题目，解题思路如下：
(1) 属于含平方的方程，首先将$(x-1)^2$的系数化为1，再根据平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，开平方得到两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得到x的两个值，注意不要漏解；
(2) 属于含立方的方程，首先通过移项计算出$x^3$的值，再根据立方根的性质：任意实数的立方根唯一，直接开立方即可求出x的值。
【解析】
(1) $\because 9(x-1)^2=25$
方程两边同时除以9得：$(x-1)^2=\frac{25}{9}$
根据平方根的性质开平方得：$x-1=\pm\frac{5}{3}$
即$x-1=\frac{5}{3}$或$x-1=-\frac{5}{3}$
解得$x=\frac{8}{3}$或$x=-\frac{2}{3}$。
(2) $\because x^3+4=\frac{5}{8}$
移项得：$x^3=\frac{5}{8}-4$
计算右侧得：$x^3=-\frac{27}{8}$
根据立方根的性质开立方得：$x=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x=\frac{8}{3}$或$x=-\frac{2}{3}$；(2) $x=-\frac{3}{2}$
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，解含乘方的方程
【点评】
本题是基础运算题型，重点考查平方根和立方根性质的应用，解题时需注意：正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏解；开立方的结果唯一，符号和被开方数一致。
【难度系数】
0.7
