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31. 已知$ A = \sqrt[x-y]{2x - y + 4} $是$ 2x - y + 4 $的算术平方根，$ B = \sqrt[x + 2y - 2]{y - 3x} $是$ y - 3x $的立方根，试求$ A + B $的平方根。
答案
31. 解:由题意,得$\begin{cases} x-y=2, \\ x+2y-2=3, \end{cases}$
整理方程组,得$\begin{cases} x-y=2, \ \ \ ① \\ x+2y=5, \ \ ② \end{cases}$
②−①,得3y=3,解得y=1.
把y=1代入①,得x−1=2,解得x=3.
∴A=$\sqrt{2x−y+4}$=$\sqrt{2×3−1+4}$=3，
B=$\sqrt[3]{y−3x}$=$\sqrt[3]{1−9}$=$\sqrt[3]{−8}$=−2.
∴A+B=3−2=1，
∴A+B的平方根为±$\sqrt{1}$=±1.
整理方程组,得$\begin{cases} x-y=2, \ \ \ ① \\ x+2y=5, \ \ ② \end{cases}$
②−①,得3y=3,解得y=1.
把y=1代入①,得x−1=2,解得x=3.
∴A=$\sqrt{2x−y+4}$=$\sqrt{2×3−1+4}$=3，
B=$\sqrt[3]{y−3x}$=$\sqrt[3]{1−9}$=$\sqrt[3]{−8}$=−2.
∴A+B=3−2=1，
∴A+B的平方根为±$\sqrt{1}$=±1.
解析
【分析】
本题需先根据算术平方根、立方根的定义确定根指数的取值，列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y后代入计算A、B的值，最后求A+B的平方根。思考逻辑：①算术平方根的根指数为2，因此A的根指数x-y=2；②立方根的根指数为3，因此B的根指数x+2y-2=3；③解方程组得到x、y后代入计算A、B；④计算A+B的和，再根据平方根的定义求结果，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：由题意，得$\begin{cases} x-y=2, \\ x+2y-2=3, \end{cases}$
整理方程组，得$\begin{cases} x-y=2, \ \ \ ① \\ x+2y=5, \ \ ② \end{cases}$
②−①，得3y=3，解得y=1。
把y=1代入①，得$x−1=2$，解得$x=3$。
∴$A=\sqrt{2x−y+4}=\sqrt{2×3−1+4}=\sqrt{9}=3$，
$B=\sqrt[3]{y−3x}=\sqrt[3]{1−9}=\sqrt[3]{−8}=−2$。
∴$A+B=3−2=1$，
∴$A+B$的平方根为$±\sqrt{1}=±1$。
【答案】
±1
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是根式概念与方程运算结合的基础题，解题核心是抓住算术平方根和立方根的根指数特征列方程组，计算最终结果时要注意平方根有两个互为相反数的解，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
本题需先根据算术平方根、立方根的定义确定根指数的取值，列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y后代入计算A、B的值，最后求A+B的平方根。思考逻辑：①算术平方根的根指数为2，因此A的根指数x-y=2；②立方根的根指数为3，因此B的根指数x+2y-2=3；③解方程组得到x、y后代入计算A、B；④计算A+B的和，再根据平方根的定义求结果，注意平方根有正负两个值，不要漏解。
【解析】
解：由题意，得$\begin{cases} x-y=2, \\ x+2y-2=3, \end{cases}$
整理方程组，得$\begin{cases} x-y=2, \ \ \ ① \\ x+2y=5, \ \ ② \end{cases}$
②−①，得3y=3，解得y=1。
把y=1代入①，得$x−1=2$，解得$x=3$。
∴$A=\sqrt{2x−y+4}=\sqrt{2×3−1+4}=\sqrt{9}=3$，
$B=\sqrt[3]{y−3x}=\sqrt[3]{1−9}=\sqrt[3]{−8}=−2$。
∴$A+B=3−2=1$，
∴$A+B$的平方根为$±\sqrt{1}=±1$。
【答案】
±1
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是根式概念与方程运算结合的基础题，解题核心是抓住算术平方根和立方根的根指数特征列方程组，计算最终结果时要注意平方根有两个互为相反数的解，避免漏写负根。
【难度系数】
0.7
32. 如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间$ t $(单位：s)与细线的长度$ l $(单位：m)之间满足关系$ t=2π\sqrt{\frac{l}{10}} $。当细线的长度为0.5 m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留到小数点后一位，参考数据：$ \sqrt{5}\approx2.24 $，$ π\approx3.14 $）
答案
32. 解:由题可知,$t=2π\sqrt{\frac{l}{10}}$,细线长度为0.5 m,即l=0.5 m时,小重物来回摆动一次所用的时间$t=2π\sqrt{\frac{0.5}{10}}=2π×\frac{\sqrt{5}}{10}≈2×3.14×\frac{2.24}{10}=1.4$(s).
答:小重物来回摆动一次所用的时间约为1.4 s.
答:小重物来回摆动一次所用的时间约为1.4 s.
解析
【分析】
本题是给定关系式求对应值的基础题，解题思路如下：首先明确已知的摆动时间$ t $和细线长度$ l $的关系式，以及$ l $的取值；接下来将$ l=0.5\ \mathrm{m} $代入关系式中；然后对根号内的数进行化简，把二次根式整理为最简形式，再代入题目给出的$ \sqrt{5} $和$ π $的近似值计算；最后按照要求把结果保留到小数点后一位即可。
【解析】
解：已知小重物来回摆动一次的时间满足$ t=2π\sqrt{\frac{l}{10}} $，当细线长度$ l=0.5\ \mathrm{m} $时，代入公式得：
$\begin{aligned}t&=2π\sqrt{\frac{0.5}{10}}\\&=2π\sqrt{\frac{5}{100}}\\&=2π×\frac{\sqrt{5}}{10}\end{aligned}$
将$ \sqrt{5}\approx2.24 $，$ π\approx3.14 $代入计算：
$t\approx2×3.14×\frac{2.24}{10}\approx1.4\ (\mathrm{s})$
答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.4 s。
【答案】
1.4 s
【知识点】
代数式求值、二次根式化简、近似计算
【点评】
本题是公式应用类基础题，核心考查代入求值的运算能力，计算时只要正确化简二次根式，合理使用题目给出的参考数据，按要求保留小数位数就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是给定关系式求对应值的基础题，解题思路如下：首先明确已知的摆动时间$ t $和细线长度$ l $的关系式，以及$ l $的取值；接下来将$ l=0.5\ \mathrm{m} $代入关系式中；然后对根号内的数进行化简，把二次根式整理为最简形式，再代入题目给出的$ \sqrt{5} $和$ π $的近似值计算；最后按照要求把结果保留到小数点后一位即可。
【解析】
解：已知小重物来回摆动一次的时间满足$ t=2π\sqrt{\frac{l}{10}} $，当细线长度$ l=0.5\ \mathrm{m} $时，代入公式得：
$\begin{aligned}t&=2π\sqrt{\frac{0.5}{10}}\\&=2π\sqrt{\frac{5}{100}}\\&=2π×\frac{\sqrt{5}}{10}\end{aligned}$
将$ \sqrt{5}\approx2.24 $，$ π\approx3.14 $代入计算：
$t\approx2×3.14×\frac{2.24}{10}\approx1.4\ (\mathrm{s})$
答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.4 s。
【答案】
1.4 s
【知识点】
代数式求值、二次根式化简、近似计算
【点评】
本题是公式应用类基础题，核心考查代入求值的运算能力，计算时只要正确化简二次根式，合理使用题目给出的参考数据，按要求保留小数位数就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
