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11. 下列说法正确的是（
A.$\sqrt{4}$的算术平方根是2
B.36的平方根是6
C.$\frac{125}{216}$的立方根是$\pm\frac{5}{6}$
D.$\sqrt{64}$的立方根是2
D
）A.$\sqrt{4}$的算术平方根是2
B.36的平方根是6
C.$\frac{125}{216}$的立方根是$\pm\frac{5}{6}$
D.$\sqrt{64}$的立方根是2
答案
11.D
解析
【分析】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的概念辨析，解题时首先要明确三个概念的区别：①一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的那个叫做算术平方根；②任意实数的立方根只有1个，符号和被开方数一致。解题步骤为：先对有多重开方的选项先化简最外层的被开方数，再结合对应概念逐一判断每个选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 先计算$\sqrt{4}=2$，2的算术平方根是$\sqrt{2}$，不是2，故A错误；
B. 一个正数的平方根有2个，36的平方根是$\pm6$，不是只有6，故B错误；
C. 正数的立方根是正数，$\frac{125}{216}$的立方根是$\frac{5}{6}$，不存在负的立方根，故C错误；
D. 先计算$\sqrt{64}=8$，8的立方根是2，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义，平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易忽略多重开方需要先化简内层的开方结果，以及混淆平方根和立方根的符号规律，解题时要严格按照概念核对每个选项，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根、算术平方根、立方根的概念辨析，解题时首先要明确三个概念的区别：①一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的那个叫做算术平方根；②任意实数的立方根只有1个，符号和被开方数一致。解题步骤为：先对有多重开方的选项先化简最外层的被开方数，再结合对应概念逐一判断每个选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 先计算$\sqrt{4}=2$，2的算术平方根是$\sqrt{2}$，不是2，故A错误；
B. 一个正数的平方根有2个，36的平方根是$\pm6$，不是只有6，故B错误；
C. 正数的立方根是正数，$\frac{125}{216}$的立方根是$\frac{5}{6}$，不存在负的立方根，故C错误；
D. 先计算$\sqrt{64}=8$，8的立方根是2，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的定义，平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易忽略多重开方需要先化简内层的开方结果，以及混淆平方根和立方根的符号规律，解题时要严格按照概念核对每个选项，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
12. 下列计算错误的是 (
A.$\sqrt[3]{216}=6$
B.$-\sqrt[3]{64}=-4$
C.$-\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$
D.$-\sqrt[3]{0.001}=-0.1$
C
)A.$\sqrt[3]{216}=6$
B.$-\sqrt[3]{64}=-4$
C.$-\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$
D.$-\sqrt[3]{0.001}=-0.1$
答案
12.C
解析
【分析】
本题考查立方根的计算与性质应用，解题思路是先回忆立方根的核心性质：任意实数的立方根只有一个，正数的立方根为正，负数的立方根为负，且满足$\sqrt[3]{a^3}=a$，接下来逐个计算四个选项的结果，对比选项给出的结论，找出计算错误的选项即可。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：因为$6^3=6×6×6=216$，所以$\sqrt[3]{216}=6$，计算正确，不符合题意；
B选项：因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$，因此$-\sqrt[3]{64}=-4$，计算正确，不符合题意；
C选项：根据立方根性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，因此$-\sqrt[3]{(-3)^3}=-(-3)=3≠-3$，计算错误，符合题意；
D选项：因为$0.1^3=0.1×0.1×0.1=0.001$，所以$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，因此$-\sqrt[3]{0.001}=-0.1$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
立方根的计算、立方根的性质
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查立方根的运算规则，解题的关键是注意运算过程中的符号变化，牢记立方根与立方互为逆运算的关系即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查立方根的计算与性质应用，解题思路是先回忆立方根的核心性质：任意实数的立方根只有一个，正数的立方根为正，负数的立方根为负，且满足$\sqrt[3]{a^3}=a$，接下来逐个计算四个选项的结果，对比选项给出的结论，找出计算错误的选项即可。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：因为$6^3=6×6×6=216$，所以$\sqrt[3]{216}=6$，计算正确，不符合题意；
B选项：因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$，因此$-\sqrt[3]{64}=-4$，计算正确，不符合题意；
C选项：根据立方根性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，因此$-\sqrt[3]{(-3)^3}=-(-3)=3≠-3$，计算错误，符合题意；
D选项：因为$0.1^3=0.1×0.1×0.1=0.001$，所以$\sqrt[3]{0.001}=0.1$，因此$-\sqrt[3]{0.001}=-0.1$，计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
立方根的计算、立方根的性质
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查立方根的运算规则，解题的关键是注意运算过程中的符号变化，牢记立方根与立方互为逆运算的关系即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
13. 下列各组数中，互为相反数的是（
A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-2$和$\sqrt[3]{-8}$
C.$-\dfrac{1}{2}$与$2$
D.$|-2|$和$2$
A
）A.$-2$与$\sqrt{(-2)^2}$
B.$-2$和$\sqrt[3]{-8}$
C.$-\dfrac{1}{2}$与$2$
D.$|-2|$和$2$
答案
13.A
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。解题思路是先把每个选项中需要化简的数（带根号、绝对值的数）先计算出结果，再逐一对比每组的两个数是否符合相反数的定义，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确相反数的判定规则：只有符号不同的两个数互为相反数。我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：先化简$\sqrt{(-2)^2}$，先计算平方得$(-2)^2=4$，再算算术平方根$\sqrt{4}=2$，2和-2只有符号不同，互为相反数，符合要求。
2. 分析选项B：化简$\sqrt[3]{-8}$，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，和另一个数-2相等，不是相反数。
3. 分析选项C：$-\dfrac{1}{2}$的相反数是$\dfrac{1}{2}$，和2不互为相反数。
4. 分析选项D：化简$|-2|=2$，和另一个数2相等，不是相反数。
综上，只有选项A的两个数互为相反数。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义、算术平方根运算、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对核心概念的理解和基础运算能力，解题的关键是先将各选项里的带根号、绝对值的数准确化简，再结合相反数的定义判断即可，注意化简算术平方根时要先算根号内的运算，不要直接把根号和平方抵消忽略符号。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。解题思路是先把每个选项中需要化简的数（带根号、绝对值的数）先计算出结果，再逐一对比每组的两个数是否符合相反数的定义，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确相反数的判定规则：只有符号不同的两个数互为相反数。我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：先化简$\sqrt{(-2)^2}$，先计算平方得$(-2)^2=4$，再算算术平方根$\sqrt{4}=2$，2和-2只有符号不同，互为相反数，符合要求。
2. 分析选项B：化简$\sqrt[3]{-8}$，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，和另一个数-2相等，不是相反数。
3. 分析选项C：$-\dfrac{1}{2}$的相反数是$\dfrac{1}{2}$，和2不互为相反数。
4. 分析选项D：化简$|-2|=2$，和另一个数2相等，不是相反数。
综上，只有选项A的两个数互为相反数。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义、算术平方根运算、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对核心概念的理解和基础运算能力，解题的关键是先将各选项里的带根号、绝对值的数准确化简，再结合相反数的定义判断即可，注意化简算术平方根时要先算根号内的运算，不要直接把根号和平方抵消忽略符号。
【难度系数】
0.8
14. 某数的平方根等于它的立方根，则这个数是（
A.1
B.−1
C.0
D.以上都不对
C
）A.1
B.−1
C.0
D.以上都不对
答案
14.C
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先要明确解题方向：找平方根等于立方根的数。首先回忆平方根的性质：只有非负数才有平方根，负数没有平方根，因此可以先排除负数选项。接下来再分别验证剩余非负数的平方根和立方根是否相等即可。
【解析】
首先根据平方根的性质：负数没有平方根，因此选项B的-1不符合要求，直接排除。
再分析选项A：1的平方根是±1，1的立方根是1，二者不相等，排除A选项。
最后分析选项C：0的平方根是0，0的立方根也是0，二者相等，符合题意。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 立方根的性质
【点评】
本题重点考查平方根与立方根的性质辨析，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免混淆平方根和立方根的性质误选1。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，我们首先要明确解题方向：找平方根等于立方根的数。首先回忆平方根的性质：只有非负数才有平方根，负数没有平方根，因此可以先排除负数选项。接下来再分别验证剩余非负数的平方根和立方根是否相等即可。
【解析】
首先根据平方根的性质：负数没有平方根，因此选项B的-1不符合要求，直接排除。
再分析选项A：1的平方根是±1，1的立方根是1，二者不相等，排除A选项。
最后分析选项C：0的平方根是0，0的立方根也是0，二者相等，符合题意。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 立方根的性质
【点评】
本题重点考查平方根与立方根的性质辨析，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免混淆平方根和立方根的性质误选1。
【难度系数】
0.7
15. 已知$a=2\sqrt{2}$，$b=3$，$c=\sqrt{10}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是（
A.$b＜c＜a$
B.$b＜a＜c$
C.$a＜b＜c$
D.$a＜c＜b$
C
）A.$b＜c＜a$
B.$b＜a＜c$
C.$a＜b＜c$
D.$a＜c＜b$
答案
15.C
解析
【分析】
要比较a、b、c三个正实数的大小，因为三个数均为正数，根据正数的性质：正数的平方越大，对应的原数就越大，所以我们可以先分别计算三个数的平方，通过比较平方的大小反推原数的大小关系，这种方法不需要计算无理数的近似值，计算更简便。
【解析】
已知a、b、c均为正数，正数的平方越大，原数越大，分别计算三个数的平方：
$a^2=(2\sqrt{2})^2=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8$
$b^2=3^2=9$
$c^2=(\sqrt{10})^2=10$
因为$8＜9＜10$，即$a^2＜b^2＜c^2$，又因为a、b、c都是正数，所以$a＜b＜c$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.实数大小比较 2.算术平方根的性质
【点评】
本题是带算术平方根的正数比较大小的典型题型，利用平方转化为整数比较大小是这类题的常用技巧，掌握该方法可以快速解题，无需计算无理数的近似值。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c三个正实数的大小，因为三个数均为正数，根据正数的性质：正数的平方越大，对应的原数就越大，所以我们可以先分别计算三个数的平方，通过比较平方的大小反推原数的大小关系，这种方法不需要计算无理数的近似值，计算更简便。
【解析】
已知a、b、c均为正数，正数的平方越大，原数越大，分别计算三个数的平方：
$a^2=(2\sqrt{2})^2=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8$
$b^2=3^2=9$
$c^2=(\sqrt{10})^2=10$
因为$8＜9＜10$，即$a^2＜b^2＜c^2$，又因为a、b、c都是正数，所以$a＜b＜c$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.实数大小比较 2.算术平方根的性质
【点评】
本题是带算术平方根的正数比较大小的典型题型，利用平方转化为整数比较大小是这类题的常用技巧，掌握该方法可以快速解题，无需计算无理数的近似值。
【难度系数】
0.8
16. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为81时，输出的数y为（
A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
B
）A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
16.B
解析
【分析】
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先求它的算术平方根，判断所得结果是否为无理数，若是则直接输出；若不是，就将这个结果作为新的x再次代入转换器重复运算，直到得到无理数为止。我们按照这个步骤逐步代入x=81计算即可。
【解析】
1. 第一次运算：输入x=81，计算算术平方根得$\sqrt{81}=9$，9是有理数，不符合输出条件，将9作为新的输入值；
2. 第二次运算：输入x=9，计算算术平方根得$\sqrt{9}=3$，3是有理数，不符合输出条件，将3作为新的输入值；
3. 第三次运算：输入x=3，计算算术平方根得$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件，因此输出y=$\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的计算，无理数的判定
【点评】
本题解题核心是读懂转换器的运算流程，按照规则逐步运算即可，注意每次得到有理数时需要将其重新代入运算，不能中途停止。
【难度系数】
0.8
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先求它的算术平方根，判断所得结果是否为无理数，若是则直接输出；若不是，就将这个结果作为新的x再次代入转换器重复运算，直到得到无理数为止。我们按照这个步骤逐步代入x=81计算即可。
【解析】
1. 第一次运算：输入x=81，计算算术平方根得$\sqrt{81}=9$，9是有理数，不符合输出条件，将9作为新的输入值；
2. 第二次运算：输入x=9，计算算术平方根得$\sqrt{9}=3$，3是有理数，不符合输出条件，将3作为新的输入值；
3. 第三次运算：输入x=3，计算算术平方根得$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件，因此输出y=$\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的计算，无理数的判定
【点评】
本题解题核心是读懂转换器的运算流程，按照规则逐步运算即可，注意每次得到有理数时需要将其重新代入运算，不能中途停止。
【难度系数】
0.8
17. 已知$\sqrt{a - \frac{9}{4}} + |b - 4| = 0$，则$\frac{a}{b}$的平方根是（
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\pm\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\pm\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
17.C
解析
【分析】
解题首先要回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都为非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。我们先根据这个性质分别求出a、b的值，再计算$\frac{a}{b}$的结果，最后根据平方根的定义求出它的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a - \frac{9}{4}} ≥ 0$，$|b - 4| ≥ 0$，且$\sqrt{a - \frac{9}{4}} + |b - 4| = 0$
∴ 可列等式：
$\begin{cases}a - \frac{9}{4} = 0 \\b - 4 = 0\end{cases}$
解得：$a = \frac{9}{4}$，$b = 4$
则 $\frac{a}{b} = \frac{\frac{9}{4}}{4} = \frac{9}{16}$
根据平方根的定义，$\frac{9}{16}$的平方根为 $\pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.非负数的性质 2.平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是掌握多个非负数相加和为0时，每个非负数都为0的规律，同时要注意区分平方根和算术平方根的概念，求正数的平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆非负数的性质：算术平方根和绝对值的结果都为非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0。我们先根据这个性质分别求出a、b的值，再计算$\frac{a}{b}$的结果，最后根据平方根的定义求出它的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a - \frac{9}{4}} ≥ 0$，$|b - 4| ≥ 0$，且$\sqrt{a - \frac{9}{4}} + |b - 4| = 0$
∴ 可列等式：
$\begin{cases}a - \frac{9}{4} = 0 \\b - 4 = 0\end{cases}$
解得：$a = \frac{9}{4}$，$b = 4$
则 $\frac{a}{b} = \frac{\frac{9}{4}}{4} = \frac{9}{16}$
根据平方根的定义，$\frac{9}{16}$的平方根为 $\pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.非负数的性质 2.平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是掌握多个非负数相加和为0时，每个非负数都为0的规律，同时要注意区分平方根和算术平方根的概念，求正数的平方根时不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
18. 与$2+\sqrt{15}$最接近的整数是（
A.4
B.5
C.6
D.7
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
18.C
解析
【分析】
要找到与$2+\sqrt{15}$最接近的整数，首先需要估算$\sqrt{15}$的取值范围：先找出与15相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{15}$在哪两个相邻整数之间，再判断$\sqrt{15}$更靠近哪个整数，最后加上2即可得到结果。
【解析】
第一步，确定$\sqrt{15}$的整数范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$。
第二步，判断$\sqrt{15}$更接近3还是4：
计算中点值的平方：$3.5^2=12.25$，因为$15＞12.25$，所以$\sqrt{15}＞3.5$，即$\sqrt{15}$更靠近4。
第三步，计算$2+\sqrt{15}$的范围：
由$\sqrt{15}＞3.5$可得$2+\sqrt{15}＞2+3.5=5.5$，又因为$\sqrt{15}＜4$，所以$2+\sqrt{15}＜2+4=6$，即$5.5＜2+\sqrt{15}＜6$。
因此$2+\sqrt{15}$介于5.5和6之间，更接近整数6。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、完全平方数的应用
【点评】
本题核心是考查无理数的估算方法，解题关键是借助相邻完全平方数确定无理数的大致范围，再通过中点值判断无理数更接近的整数，是根式相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要找到与$2+\sqrt{15}$最接近的整数，首先需要估算$\sqrt{15}$的取值范围：先找出与15相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{15}$在哪两个相邻整数之间，再判断$\sqrt{15}$更靠近哪个整数，最后加上2即可得到结果。
【解析】
第一步，确定$\sqrt{15}$的整数范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜15＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$。
第二步，判断$\sqrt{15}$更接近3还是4：
计算中点值的平方：$3.5^2=12.25$，因为$15＞12.25$，所以$\sqrt{15}＞3.5$，即$\sqrt{15}$更靠近4。
第三步，计算$2+\sqrt{15}$的范围：
由$\sqrt{15}＞3.5$可得$2+\sqrt{15}＞2+3.5=5.5$，又因为$\sqrt{15}＜4$，所以$2+\sqrt{15}＜2+4=6$，即$5.5＜2+\sqrt{15}＜6$。
因此$2+\sqrt{15}$介于5.5和6之间，更接近整数6。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算、完全平方数的应用
【点评】
本题核心是考查无理数的估算方法，解题关键是借助相邻完全平方数确定无理数的大致范围，再通过中点值判断无理数更接近的整数，是根式相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
19. 已知$43^2=1849$，$44^2=1936$，$45^2=2025$，$46^2=2116$。若$n$为整数且$n＜\sqrt{2024}＜n+1$，则$n$的值为（
A.43
B.44
C.45
D.46
B
）A.43
B.44
C.45
D.46
答案
19.B
解析
【分析】
要确定n的值，本质是估算$\sqrt{2024}$的整数部分。解题核心是找到与2024相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，判断$\sqrt{2024}$介于哪两个相邻整数之间，即可得到n的值。题目已经给出43~46的平方结果，直接对比2024的大小即可快速推导。
【解析】
已知$44^2=1936$，$45^2=2025$，可得大小关系：
$1936 ＜ 2024 ＜ 2025$
对三个正数同时取算术平方根，不等号方向不变，因此：
$\sqrt{1936} ＜ \sqrt{2024} ＜ \sqrt{2025}$
即 $44 ＜ \sqrt{2024} ＜ 45$
又因为$n$为整数，且$n ＜ \sqrt{2024} ＜ n+1$，所以$n=44$。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对算术平方根的理解和无理数的估算能力，解题关键是确定被开方数介于哪两个相邻整数的平方之间，题干已经给出相关平方数，降低了计算难度，掌握算术平方根的大小比较规律即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要确定n的值，本质是估算$\sqrt{2024}$的整数部分。解题核心是找到与2024相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，判断$\sqrt{2024}$介于哪两个相邻整数之间，即可得到n的值。题目已经给出43~46的平方结果，直接对比2024的大小即可快速推导。
【解析】
已知$44^2=1936$，$45^2=2025$，可得大小关系：
$1936 ＜ 2024 ＜ 2025$
对三个正数同时取算术平方根，不等号方向不变，因此：
$\sqrt{1936} ＜ \sqrt{2024} ＜ \sqrt{2025}$
即 $44 ＜ \sqrt{2024} ＜ 45$
又因为$n$为整数，且$n ＜ \sqrt{2024} ＜ n+1$，所以$n=44$。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对算术平方根的理解和无理数的估算能力，解题关键是确定被开方数介于哪两个相邻整数的平方之间，题干已经给出相关平方数，降低了计算难度，掌握算术平方根的大小比较规律即可快速解答。
【难度系数】
0.85
20. 若$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，则下列结论正确的是（
A.$1＜a＜3$
B.$1＜a＜4$
C.$2＜a＜3$
D.$2＜a＜4$
B
）A.$1＜a＜3$
B.$1＜a＜4$
C.$2＜a＜3$
D.$2＜a＜4$
答案
20.B
解析
【分析】
要判断a的取值范围，首先需要估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的大小，我们可以通过找与被开方数相邻的完全平方数，确定这两个无理数的整数范围，再结合已知的$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，推导得到a的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{3}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$；
第二步，估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$；
第三步，推导a的取值范围：
已知$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，结合上面的估算结果，a比大于1的$\sqrt{3}$大，因此$a＞1$；a比小于4的$\sqrt{10}$小，因此$a＜4$，即$1＜a＜4$。
验证其他选项：A选项上限为3，例如$a=3.1$满足$\sqrt{3}＜3.1＜\sqrt{10}$，但$3.1＞3$，A错误；C、D选项下限为2，例如$a=1.8$满足$\sqrt{3}＜1.8＜\sqrt{10}$，但$1.8＜2$，C、D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 不等式范围判定
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是通过相邻完全平方数确定无理数的取值区间，再推导未知字母的范围，掌握常见平方根的估算方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
要判断a的取值范围，首先需要估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的大小，我们可以通过找与被开方数相邻的完全平方数，确定这两个无理数的整数范围，再结合已知的$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，推导得到a的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步，估算$\sqrt{3}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$；
第二步，估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$；
第三步，推导a的取值范围：
已知$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，结合上面的估算结果，a比大于1的$\sqrt{3}$大，因此$a＞1$；a比小于4的$\sqrt{10}$小，因此$a＜4$，即$1＜a＜4$。
验证其他选项：A选项上限为3，例如$a=3.1$满足$\sqrt{3}＜3.1＜\sqrt{10}$，但$3.1＞3$，A错误；C、D选项下限为2，例如$a=1.8$满足$\sqrt{3}＜1.8＜\sqrt{10}$，但$1.8＜2$，C、D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数大小估算
2. 不等式范围判定
【点评】
本题核心考查无理数的估算能力，解题的关键是通过相邻完全平方数确定无理数的取值区间，再推导未知字母的范围，掌握常见平方根的估算方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8
21. 实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，化简$\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-1)^2}-\sqrt{(a-b)^2}$的结果是（
A.$-2$
B.$0$
C.$-2a$
D.$2b$
A
）A.$-2$
B.$0$
C.$-2a$
D.$2b$
答案
21.A
解析
【分析】
解题首先从数轴读取a、b的取值范围，判断每个根号下底数的正负性；再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为绝对值的和差形式；最后根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$-2 ＜ a ＜ -1$，$1 ＜ b ＜ 2$，
由此可得：$a+1 ＜ 0$，$b-1 ＞ 0$，$a - b ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可变形为：
$\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-1)^2}-\sqrt{(a-b)^2}=|a+1| + |b-1| - |a - b|$
去掉绝对值符号：
$|a+1|=-(a+1)$，$|b-1|=b-1$，$|a-b|=-(a-b)=b - a$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=-(a+1)+(b-1)-(b - a)\\&=-a -1 + b -1 - b + a\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是代数基础化简题，核心是结合数轴判断数的正负性，再利用二次根式和绝对值的性质运算，易错点是去绝对值时符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解题首先从数轴读取a、b的取值范围，判断每个根号下底数的正负性；再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为绝对值的和差形式；最后根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$-2 ＜ a ＜ -1$，$1 ＜ b ＜ 2$，
由此可得：$a+1 ＜ 0$，$b-1 ＞ 0$，$a - b ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可变形为：
$\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-1)^2}-\sqrt{(a-b)^2}=|a+1| + |b-1| - |a - b|$
去掉绝对值符号：
$|a+1|=-(a+1)$，$|b-1|=b-1$，$|a-b|=-(a-b)=b - a$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=-(a+1)+(b-1)-(b - a)\\&=-a -1 + b -1 - b + a\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是代数基础化简题，核心是结合数轴判断数的正负性，再利用二次根式和绝对值的性质运算，易错点是去绝对值时符号判断错误。
【难度系数】
0.7
