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1. －8的立方根为 （
A.4
B.－4
C.2
D.－2
D
）A.4
B.－4
C.2
D.－2
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆立方根的定义：若一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。首先根据立方根的性质：负数的立方根是负数，因此可以先排除正数选项A、C；接下来只需要验证剩下的负数选项，计算哪个数的立方等于-8即可得到答案。
【解析】
根据立方根的定义：如果$x^3=a$，那么$x$是$a$的立方根。
我们分别计算各选项的立方：
A选项：$4^3=4×4×4=64≠-8$，不符合要求；
B选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64≠-8$，不符合要求；
C选项：$2^3=2×2×2=8≠-8$，不符合要求；
D选项：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，符合要求。
因此-8的立方根是-2。
【答案】D
【知识点】立方根的定义；有理数的乘方
【点评】本题属于基础概念题，主要考查对立方根定义的理解和基础乘方运算的掌握，牢记常见整数的立方结果可快速解题。
【难度系数】0.9
要解决这道题，首先回忆立方根的定义：若一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。首先根据立方根的性质：负数的立方根是负数，因此可以先排除正数选项A、C；接下来只需要验证剩下的负数选项，计算哪个数的立方等于-8即可得到答案。
【解析】
根据立方根的定义：如果$x^3=a$，那么$x$是$a$的立方根。
我们分别计算各选项的立方：
A选项：$4^3=4×4×4=64≠-8$，不符合要求；
B选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64≠-8$，不符合要求；
C选项：$2^3=2×2×2=8≠-8$，不符合要求；
D选项：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，符合要求。
因此-8的立方根是-2。
【答案】D
【知识点】立方根的定义；有理数的乘方
【点评】本题属于基础概念题，主要考查对立方根定义的理解和基础乘方运算的掌握，牢记常见整数的立方结果可快速解题。
【难度系数】0.9
2. 计算$\sqrt[3]{(-7)^3}$的结果是 （
A.7
B.$-7$
C.$\pm7$
D.无意义
B
）A.7
B.$-7$
C.$\pm7$
D.无意义
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先回忆立方根的相关性质，首先明确立方与开立方是互逆运算，且立方根的结果具有唯一性：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，负数也可以进行开立方运算。我们可以直接利用立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$（a为任意实数）求解，也可以先计算出被开方数的值再开立方，同时注意区分立方根和平方根的区别，避免出现多解或者认为负数开立方无意义的错误。
【解析】
方法一：利用立方根性质求解，对于任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$，本题中$a=-7$，因此$\sqrt[3]{(-7)^3}=-7$。
方法二：分步计算，先计算被开方数：$(-7)^3=-7×(-7)×(-7)=-343$，再求$-343$的立方根，因为$(-7)^3=-343$，所以$\sqrt[3]{-343}=-7$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查立方根的运算性质，解题时要注意区分立方根与平方根的差异，开立方运算的结果唯一，且负数也存在立方根，不要和开平方的规则混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆立方根的相关性质，首先明确立方与开立方是互逆运算，且立方根的结果具有唯一性：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，负数也可以进行开立方运算。我们可以直接利用立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$（a为任意实数）求解，也可以先计算出被开方数的值再开立方，同时注意区分立方根和平方根的区别，避免出现多解或者认为负数开立方无意义的错误。
【解析】
方法一：利用立方根性质求解，对于任意实数$a$，都有$\sqrt[3]{a^3}=a$，本题中$a=-7$，因此$\sqrt[3]{(-7)^3}=-7$。
方法二：分步计算，先计算被开方数：$(-7)^3=-7×(-7)×(-7)=-343$，再求$-343$的立方根，因为$(-7)^3=-343$，所以$\sqrt[3]{-343}=-7$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查立方根的运算性质，解题时要注意区分立方根与平方根的差异，开立方运算的结果唯一，且负数也存在立方根，不要和开平方的规则混淆。
【难度系数】
0.8
3. 下列算式中正确的是 （
A.$\sqrt{25}=±5$
B.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
C.$\sqrt[3]{-8}=-2$
D.$-\sqrt{9}=3$
C
）A.$\sqrt{25}=±5$
B.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
C.$\sqrt[3]{-8}=-2$
D.$-\sqrt{9}=3$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查根式的基本运算规则，解题思路是逐一验证每个选项：首先明确算术平方根的结果一定是非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致，根据这两个核心规则判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根只有非负结果，因此$\sqrt{25}=5$，该选项错误；
B选项：先计算根号内的部分，$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3，该选项错误；
C选项：$\sqrt[3]{-8}$表示求-8的立方根，由于$(-2)^3=-8$，因此$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项正确；
D选项：$-\sqrt{9}$表示9的算术平方根的相反数，$\sqrt{9}=3$，因此$-\sqrt{9}=-3$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的运算，根式化简
【点评】
本题是基础概念类题型，核心是区分算术平方根和平方根的差异，牢记立方根的符号规律，熟练掌握后就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查根式的基本运算规则，解题思路是逐一验证每个选项：首先明确算术平方根的结果一定是非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致，根据这两个核心规则判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根只有非负结果，因此$\sqrt{25}=5$，该选项错误；
B选项：先计算根号内的部分，$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3，该选项错误；
C选项：$\sqrt[3]{-8}$表示求-8的立方根，由于$(-2)^3=-8$，因此$\sqrt[3]{-8}=-2$，该选项正确；
D选项：$-\sqrt{9}$表示9的算术平方根的相反数，$\sqrt{9}=3$，因此$-\sqrt{9}=-3$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的运算，根式化简
【点评】
本题是基础概念类题型，核心是区分算术平方根和平方根的差异，牢记立方根的符号规律，熟练掌握后就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
4. 下列说法中正确的是 （
A.$|-25|$有平方根
B.$-64$没有立方根
C.$0.09$的平方根是$\pm0.03$
D.$\sqrt{(-4)^2}$的算术平方根是4
A
）A.$|-25|$有平方根
B.$-64$没有立方根
C.$0.09$的平方根是$\pm0.03$
D.$\sqrt{(-4)^2}$的算术平方根是4
答案
4.A
解析
【分析】
这道题考查平方根、算术平方根、立方根的基本定义，解题时需先明确三类根式的存在条件和计算规则，再逐个验证四个选项的正误，最终筛选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：先计算$|-25|=25$，25是正数，根据平方根的定义，正数有2个平方根，因此$|-25|$有平方根，该说法正确。
2. 选项B：根据立方根的定义，任意实数都有立方根，负数的立方根为负数，$-64$的立方根是$-4$，因此“$-64$没有立方根”的说法错误。
3. 选项C：计算可得$(±0.3)^2=0.09$，因此$0.09$的平方根是$±0.3$，不是$±0.03$，该说法错误。
4. 选项D：先化简$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，4的算术平方根是2，不是4，该说法错误。
综上只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的区别，以及计算带平方、绝对值的根式时直接对原式求根，做题时要注意先化简内层表达式，再结合定义判断正误。
【难度系数】
0.7
这道题考查平方根、算术平方根、立方根的基本定义，解题时需先明确三类根式的存在条件和计算规则，再逐个验证四个选项的正误，最终筛选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：先计算$|-25|=25$，25是正数，根据平方根的定义，正数有2个平方根，因此$|-25|$有平方根，该说法正确。
2. 选项B：根据立方根的定义，任意实数都有立方根，负数的立方根为负数，$-64$的立方根是$-4$，因此“$-64$没有立方根”的说法错误。
3. 选项C：计算可得$(±0.3)^2=0.09$，因此$0.09$的平方根是$±0.3$，不是$±0.03$，该说法错误。
4. 选项D：先化简$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，4的算术平方根是2，不是4，该说法错误。
综上只有A选项说法正确。
【答案】
A
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是容易混淆平方根和算术平方根的区别，以及计算带平方、绝对值的根式时直接对原式求根，做题时要注意先化简内层表达式，再结合定义判断正误。
【难度系数】
0.7
5. 下列等式:①$\sqrt[3]{5^3}=5$;②$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$;③$(-\sqrt[3]{5})^3=5$;④$(\sqrt[3]{5})^3=5$.其中不成立的是
③
(填序号).答案
5.③
解析
【分析】
要判断各个等式是否成立，需结合立方根的基本性质逐个验证：首先明确立方根的核心性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$，$(\sqrt[3]{a})^3=a$，且负数的立方根是负数，即$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，再结合乘方的符号规则（负数的奇数次幂为负）逐一判断每个等式即可。
【解析】
我们逐个分析4个等式：
1. 对等式①：根据立方根性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，代入$a=5$可得$\sqrt[3]{5^3}=5$，等式成立；
2. 对等式②：根据负数的立方根性质，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，代入$a=5$可得$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$，等式成立；
3. 对等式③：先计算乘方，$(-\sqrt[3]{5})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{5})^3=-1×5=-5≠5$，等式不成立；
4. 对等式④：根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，代入$a=5$可得$(\sqrt[3]{5})^3=5$，等式成立。
综上，不成立的是③。
【答案】
③
【知识点】
立方根的性质；乘方运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟练掌握立方根的相关性质，注意区分立方根与平方根的符号差异，计算负数乘方时不要弄错符号。
【难度系数】
0.85
要判断各个等式是否成立，需结合立方根的基本性质逐个验证：首先明确立方根的核心性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$，$(\sqrt[3]{a})^3=a$，且负数的立方根是负数，即$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，再结合乘方的符号规则（负数的奇数次幂为负）逐一判断每个等式即可。
【解析】
我们逐个分析4个等式：
1. 对等式①：根据立方根性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，代入$a=5$可得$\sqrt[3]{5^3}=5$，等式成立；
2. 对等式②：根据负数的立方根性质，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，代入$a=5$可得$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$，等式成立；
3. 对等式③：先计算乘方，$(-\sqrt[3]{5})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{5})^3=-1×5=-5≠5$，等式不成立；
4. 对等式④：根据立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，代入$a=5$可得$(\sqrt[3]{5})^3=5$，等式成立。
综上，不成立的是③。
【答案】
③
【知识点】
立方根的性质；乘方运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是熟练掌握立方根的相关性质，注意区分立方根与平方根的符号差异，计算负数乘方时不要弄错符号。
【难度系数】
0.85
6. 蓄水池(如图)是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施.
某地准备修建一个容积为$125\ \mathrm{m}^3$的正方体蓄水池,则该正方体蓄水池的棱长为
某地准备修建一个容积为$125\ \mathrm{m}^3$的正方体蓄水池,则该正方体蓄水池的棱长为
5
m.答案
6.5
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体容积（体积）的计算公式：正方体的体积等于棱长的三次方。已知正方体蓄水池的容积为125m³，要求棱长，本质就是求125的正立方根，找到立方等于125的正数，即可得到蓄水池的棱长。
【解析】
设该正方体蓄水池的棱长为$ x $ m，根据正方体体积公式可得：
正方体容积$ V = x^3 $
已知$ V=125\ \mathrm{m}^3 $，代入得：
$ x^3 = 125 $
因为棱长为正数，且$ 5^3 = 5×5×5=125 $，所以$ x=5 $。
【答案】
5
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算
【点评】
本题结合生活中的蓄水池场景考察基础公式和运算，只要掌握正方体体积公式和立方根的概念，就能快速得出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正方体容积（体积）的计算公式：正方体的体积等于棱长的三次方。已知正方体蓄水池的容积为125m³，要求棱长，本质就是求125的正立方根，找到立方等于125的正数，即可得到蓄水池的棱长。
【解析】
设该正方体蓄水池的棱长为$ x $ m，根据正方体体积公式可得：
正方体容积$ V = x^3 $
已知$ V=125\ \mathrm{m}^3 $，代入得：
$ x^3 = 125 $
因为棱长为正数，且$ 5^3 = 5×5×5=125 $，所以$ x=5 $。
【答案】
5
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算
【点评】
本题结合生活中的蓄水池场景考察基础公式和运算，只要掌握正方体体积公式和立方根的概念，就能快速得出结果，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
7.若立方根等于本身的数的个数为a，平方根等于本身的数的个数为b，算术平方根等于本身的数的个数为c，倒数等于本身的数的个数为d，则
$a+b+c+d=$
$a+b+c+d=$
8
.答案
7.8
解析
【分析】
解题思路是先分别求出a、b、c、d四个数值，再计算它们的和。首先需要回忆立方根、平方根、算术平方根、倒数的相关性质，逐一找出符合每个条件的数，统计个数得到对应字母的值，最后相加即可得到结果。
【解析】
1. 求a的值：立方根等于本身的数有0、1、-1，共3个，因此$a=3$；
2. 求b的值：只有0的平方根等于本身（正数的平方根有两个，互为相反数，负数没有平方根），共1个，因此$b=1$；
3. 求c的值：算术平方根等于本身的数有0、1（算术平方根为非负数，大于1的正数算术平方根小于本身），共2个，因此$c=2$；
4. 求d的值：倒数等于本身的数有1、-1（0没有倒数），共2个，因此$d=2$；
将四个值相加：$a+b+c+d=3+1+2+2=8$。
【答案】
8
【知识点】
立方根的性质；平方根的性质；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握各类特殊数的性质，统计符合条件的数时注意不要漏算、多算，比如不要误将1计入平方根等于本身的数，不要漏记-1是立方根、倒数等于本身的数。
【难度系数】
0.7
解题思路是先分别求出a、b、c、d四个数值，再计算它们的和。首先需要回忆立方根、平方根、算术平方根、倒数的相关性质，逐一找出符合每个条件的数，统计个数得到对应字母的值，最后相加即可得到结果。
【解析】
1. 求a的值：立方根等于本身的数有0、1、-1，共3个，因此$a=3$；
2. 求b的值：只有0的平方根等于本身（正数的平方根有两个，互为相反数，负数没有平方根），共1个，因此$b=1$；
3. 求c的值：算术平方根等于本身的数有0、1（算术平方根为非负数，大于1的正数算术平方根小于本身），共2个，因此$c=2$；
4. 求d的值：倒数等于本身的数有1、-1（0没有倒数），共2个，因此$d=2$；
将四个值相加：$a+b+c+d=3+1+2+2=8$。
【答案】
8
【知识点】
立方根的性质；平方根的性质；倒数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握各类特殊数的性质，统计符合条件的数时注意不要漏算、多算，比如不要误将1计入平方根等于本身的数，不要漏记-1是立方根、倒数等于本身的数。
【难度系数】
0.7
8. 比较大小：$\frac{\sqrt{3} -1}{5}$
＜
$\frac{1}{5}$.(选填“＞”“＜”或“=”)答案
8.＜
解析
【分析】
要比较两个同分母分数的大小，只需比较它们分子的大小即可。首先明确同分母分数比较大小的规则：分母相同时，分子越大，分数越大。接下来只需判断分子$\sqrt{3}-1$和1的大小关系：我们知道被开方数越大，对应的算术平方根越大，因为3＜4，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，对不等式两边同时减1，可得$\sqrt{3}-1＜1$，由此就能推出两个分数的大小关系。
【解析】
因为两个分数的分母均为5，根据同分母分数比较大小的规则：分母相同，分子大的分数更大。
又因为$3＜4$，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
不等式两边同时减1，可得$\sqrt{3}-1＜2-1$，即$\sqrt{3}-1＜1$，
因此$\frac{\sqrt{3}-1}{5}＜\frac{1}{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
同分母分数比大小，算术平方根的性质，实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题的核心是将同分母分数比较大小的问题转化为分子的大小比较，再结合算术平方根的性质判断无理数的范围即可得出结论，解题思路直观，难度较低。
【难度系数】
0.85
要比较两个同分母分数的大小，只需比较它们分子的大小即可。首先明确同分母分数比较大小的规则：分母相同时，分子越大，分数越大。接下来只需判断分子$\sqrt{3}-1$和1的大小关系：我们知道被开方数越大，对应的算术平方根越大，因为3＜4，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，对不等式两边同时减1，可得$\sqrt{3}-1＜1$，由此就能推出两个分数的大小关系。
【解析】
因为两个分数的分母均为5，根据同分母分数比较大小的规则：分母相同，分子大的分数更大。
又因为$3＜4$，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，
不等式两边同时减1，可得$\sqrt{3}-1＜2-1$，即$\sqrt{3}-1＜1$，
因此$\frac{\sqrt{3}-1}{5}＜\frac{1}{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
同分母分数比大小，算术平方根的性质，实数大小比较
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题的核心是将同分母分数比较大小的问题转化为分子的大小比较，再结合算术平方根的性质判断无理数的范围即可得出结论，解题思路直观，难度较低。
【难度系数】
0.85
