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9. 在数轴上到原点的距离为$\sqrt{3}$的点表示的数是
$\pm\sqrt{3}$
。答案
9.$\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确数轴上点到原点距离的含义：数轴上任意一点表示的数的绝对值，就是这个点到原点的距离。我们可以先设这个点表示的数为x，根据距离条件列出关于x的绝对值等式，再求解即可。思考时要注意，数轴原点的左右两侧都存在满足距离要求的点，不要漏掉负数的情况。
【解析】
设数轴上到原点距离为$\sqrt{3}$的点表示的数为x，
根据绝对值的几何意义：数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，可得：
$|x|=\sqrt{3}$
根据绝对值的性质，绝对值等于$\sqrt{3}$的数有两个，分别为$\sqrt{3}$和$-\sqrt{3}$，
因此该点表示的数是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
数轴的概念，绝对值的几何意义
【点评】
本题属于基础题，主要考查数轴和绝对值相关知识的应用，易错点是容易只考虑原点右侧的正数，忽略原点左侧的负数，解题时要牢记到原点距离相等的点有两个，分别位于原点两侧。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确数轴上点到原点距离的含义：数轴上任意一点表示的数的绝对值，就是这个点到原点的距离。我们可以先设这个点表示的数为x，根据距离条件列出关于x的绝对值等式，再求解即可。思考时要注意，数轴原点的左右两侧都存在满足距离要求的点，不要漏掉负数的情况。
【解析】
设数轴上到原点距离为$\sqrt{3}$的点表示的数为x，
根据绝对值的几何意义：数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，可得：
$|x|=\sqrt{3}$
根据绝对值的性质，绝对值等于$\sqrt{3}$的数有两个，分别为$\sqrt{3}$和$-\sqrt{3}$，
因此该点表示的数是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
数轴的概念，绝对值的几何意义
【点评】
本题属于基础题，主要考查数轴和绝对值相关知识的应用，易错点是容易只考虑原点右侧的正数，忽略原点左侧的负数，解题时要牢记到原点距离相等的点有两个，分别位于原点两侧。
【难度系数】
0.7
10.若$\sqrt{x - 5} + |y + 25| = 0$，则$\sqrt[3]{xy}$的值为
$-5$
.答案
10.$-5$
解析
【分析】
算术平方根和绝对值都具有非负性，即$\sqrt{a} ≥ 0$（$a≥0$），$|a|≥0$。当两个非负数的和为0时，只有两个非负数各自都等于0才能满足等式。因此我们可以先分别列方程求出$x$、$y$的值，再代入计算$\sqrt[3]{xy}$即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{x-5} ≥ 0$，$|y+25| ≥ 0$，且$\sqrt{x-5} + |y+25| = 0$
$\therefore \sqrt{x-5}=0$，$|y+25|=0$
据此解方程可得：
$x-5=0$，解得$x=5$
$y+25=0$，解得$y=-25$
将$x=5$，$y=-25$代入得：
$xy=5×(-25)=-125$
$\therefore \sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{-125}=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
非负数的性质；立方根运算；绝对值的意义
【点评】
本题是基础常考题，核心考查非负数性质的应用，解题关键是明确若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，结合简单代数运算即可求解。
【难度系数】
0.8
算术平方根和绝对值都具有非负性，即$\sqrt{a} ≥ 0$（$a≥0$），$|a|≥0$。当两个非负数的和为0时，只有两个非负数各自都等于0才能满足等式。因此我们可以先分别列方程求出$x$、$y$的值，再代入计算$\sqrt[3]{xy}$即可。
【解析】
解：$\because \sqrt{x-5} ≥ 0$，$|y+25| ≥ 0$，且$\sqrt{x-5} + |y+25| = 0$
$\therefore \sqrt{x-5}=0$，$|y+25|=0$
据此解方程可得：
$x-5=0$，解得$x=5$
$y+25=0$，解得$y=-25$
将$x=5$，$y=-25$代入得：
$xy=5×(-25)=-125$
$\therefore \sqrt[3]{xy}=\sqrt[3]{-125}=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
非负数的性质；立方根运算；绝对值的意义
【点评】
本题是基础常考题，核心考查非负数性质的应用，解题关键是明确若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，结合简单代数运算即可求解。
【难度系数】
0.8
11.已知$3a - 4$的立方根是$-1$，$a + b$的算术平方根是$4$，则$b$的值是
$15$
。答案
11.$15$
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根和算术平方根的定义：若一个数的立方根为m，则这个数等于m³；若一个非负数的算术平方根为n，则这个数等于n²。我们可以先根据3a-4的立方根是-1求出a的值，再根据a+b的算术平方根是4求出a+b的取值，最后代入a的值即可算出b的结果。
【解析】
1. 根据立方根的定义，已知$3a - 4$的立方根是$-1$，可得：
$3a - 4 = (-1)^3 = -1$
解这个一元一次方程：
$3a = -1 + 4$
$3a = 3$
$a = 1$
2. 根据算术平方根的定义，已知$a + b$的算术平方根是$4$，可得：
$a + b = 4^2 = 16$
3. 将$a=1$代入上式，计算b的值：
$1 + b = 16$
$b = 16 - 1 = 15$
【答案】
15
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；一元一次方程求解
【点评】
本题是基础运算题，核心是对立方根和算术平方根定义的理解与应用，解题时只要严格按照定义列等式计算即可，注意算术平方根的结果是非负数，立方根的符号和被开方数的符号一致。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆立方根和算术平方根的定义：若一个数的立方根为m，则这个数等于m³；若一个非负数的算术平方根为n，则这个数等于n²。我们可以先根据3a-4的立方根是-1求出a的值，再根据a+b的算术平方根是4求出a+b的取值，最后代入a的值即可算出b的结果。
【解析】
1. 根据立方根的定义，已知$3a - 4$的立方根是$-1$，可得：
$3a - 4 = (-1)^3 = -1$
解这个一元一次方程：
$3a = -1 + 4$
$3a = 3$
$a = 1$
2. 根据算术平方根的定义，已知$a + b$的算术平方根是$4$，可得：
$a + b = 4^2 = 16$
3. 将$a=1$代入上式，计算b的值：
$1 + b = 16$
$b = 16 - 1 = 15$
【答案】
15
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；一元一次方程求解
【点评】
本题是基础运算题，核心是对立方根和算术平方根定义的理解与应用，解题时只要严格按照定义列等式计算即可，注意算术平方根的结果是非负数，立方根的符号和被开方数的符号一致。
【难度系数】
0.8
12. 求下列各数的立方根：
(1)$-343$；
(2)$\frac{1}{27}$；
(3)$0.512$；
(4)$-2.16×10^5$。
(1)$-343$；
(2)$\frac{1}{27}$；
(3)$0.512$；
(4)$-2.16×10^5$。
答案
12.(1)$-7$. (2)$\frac{1}{3}$. (3)$0.8$. (4)$-60$.
解析
【分析】
计算一个数的立方根，核心依据是立方根的定义：如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根。其中正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时只需找到对应数是哪个数的立方，即可得出立方根；对于用科学记数法表示的数，可先还原成普通形式再计算，全程注意符号不要出错。
【解析】
(1) 因为$(-7)^3=-343$，根据立方根的定义，可得$-343$的立方根是$-7$，即$\sqrt[3]{-343}=-7$；
(2) 因为$(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$，根据立方根的定义，可得$\frac{1}{27}$的立方根是$\frac{1}{3}$，即$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$；
(3) 因为$0.8^3=0.512$，根据立方根的定义，可得$0.512$的立方根是$0.8$，即$\sqrt[3]{0.512}=0.8$；
(4) 先将$-2.16×10^5$还原为$-216000$，因为$(-60)^3=-216000$，根据立方根的定义，可得$-2.16×10^5$的立方根是$-60$，即$\sqrt[3]{-2.16×10^5}=-60$。
【答案】
(1)$-7$；(2)$\frac{1}{3}$；(3)$0.8$；(4)$-60$
【知识点】
1.立方根的定义 2.开立方运算
【点评】
本题属于立方根的基础计算题，主要考查对立方根概念的理解和运算能力，解题时要注意区分立方根与平方根的符号差异，熟练记忆常见整数、分数的立方值可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.85
计算一个数的立方根，核心依据是立方根的定义：如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根。其中正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时只需找到对应数是哪个数的立方，即可得出立方根；对于用科学记数法表示的数，可先还原成普通形式再计算，全程注意符号不要出错。
【解析】
(1) 因为$(-7)^3=-343$，根据立方根的定义，可得$-343$的立方根是$-7$，即$\sqrt[3]{-343}=-7$；
(2) 因为$(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$，根据立方根的定义，可得$\frac{1}{27}$的立方根是$\frac{1}{3}$，即$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$；
(3) 因为$0.8^3=0.512$，根据立方根的定义，可得$0.512$的立方根是$0.8$，即$\sqrt[3]{0.512}=0.8$；
(4) 先将$-2.16×10^5$还原为$-216000$，因为$(-60)^3=-216000$，根据立方根的定义，可得$-2.16×10^5$的立方根是$-60$，即$\sqrt[3]{-2.16×10^5}=-60$。
【答案】
(1)$-7$；(2)$\frac{1}{3}$；(3)$0.8$；(4)$-60$
【知识点】
1.立方根的定义 2.开立方运算
【点评】
本题属于立方根的基础计算题，主要考查对立方根概念的理解和运算能力，解题时要注意区分立方根与平方根的符号差异，熟练记忆常见整数、分数的立方值可有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.85
13. 求下列各式中 $ x $ 的值：
(1) $(x - 1)^3 = 0.064$；
(2) $\frac{1}{4}(2x + 3)^3 = 54$。
(1) $(x - 1)^3 = 0.064$；
(2) $\frac{1}{4}(2x + 3)^3 = 54$。
答案
13.解:(1)$(x - 1)^3 = 0.064$,
$x - 1 = 0.4$,
$x = 1.4$.
(2)$\frac{1}{4}(2x + 3)^3 = 54$,
$(2x + 3)^3 = 216$,
$2x + 3 = 6$,
$x = \frac{3}{2}$.
$x - 1 = 0.4$,
$x = 1.4$.
(2)$\frac{1}{4}(2x + 3)^3 = 54$,
$(2x + 3)^3 = 216$,
$2x + 3 = 6$,
$x = \frac{3}{2}$.
解析
【分析】
这两道题都是利用立方根的性质求解未知数x的方程，解题思路如下：首先将等式中含x的括号部分看作一个整体，先通过等式的基本性质化简等式，求出这个整体对应的立方根，再转化为普通的一元一次方程求解x即可。其中要注意正数的立方根是唯一的正数，不用考虑多解情况。
【解析】
(1) 已知$(x - 1)^3 = 0.064$，
因为$0.4^3=0.064$，对等式两边同时开立方可得：
$x - 1 = 0.4$，
移项计算得：$x = 1 + 0.4 = 1.4$。
(2) 已知$\frac{1}{4}(2x + 3)^3 = 54$，
首先等式两边同时乘以4，消去左边的系数：
$(2x + 3)^3 = 54 × 4 = 216$，
因为$6^3=216$，对等式两边同时开立方可得：
$2x + 3 = 6$，
移项得$2x = 6 - 3 = 3$，
系数化为1得：$x = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x=1.4$；(2) $x=\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的性质，解一元一次方程，整体思想解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查立方根的计算和一元一次方程的解法，解题时运用整体思想将括号内的代数式看作整体先求立方根，能有效简化计算，掌握常见数的立方值可以提升解题速度。
【难度系数】
0.8
这两道题都是利用立方根的性质求解未知数x的方程，解题思路如下：首先将等式中含x的括号部分看作一个整体，先通过等式的基本性质化简等式，求出这个整体对应的立方根，再转化为普通的一元一次方程求解x即可。其中要注意正数的立方根是唯一的正数，不用考虑多解情况。
【解析】
(1) 已知$(x - 1)^3 = 0.064$，
因为$0.4^3=0.064$，对等式两边同时开立方可得：
$x - 1 = 0.4$，
移项计算得：$x = 1 + 0.4 = 1.4$。
(2) 已知$\frac{1}{4}(2x + 3)^3 = 54$，
首先等式两边同时乘以4，消去左边的系数：
$(2x + 3)^3 = 54 × 4 = 216$，
因为$6^3=216$，对等式两边同时开立方可得：
$2x + 3 = 6$，
移项得$2x = 6 - 3 = 3$，
系数化为1得：$x = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x=1.4$；(2) $x=\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的性质，解一元一次方程，整体思想解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查立方根的计算和一元一次方程的解法，解题时运用整体思想将括号内的代数式看作整体先求立方根，能有效简化计算，掌握常见数的立方值可以提升解题速度。
【难度系数】
0.8
14. 计算：
(1) $(-1)^{2026} + \sqrt{16} - |-3| + \sqrt[3]{-8}$；
(2) $\sqrt{2^2} - \sqrt[3]{-27} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{(-1)}$。
(1) $(-1)^{2026} + \sqrt{16} - |-3| + \sqrt[3]{-8}$；
(2) $\sqrt{2^2} - \sqrt[3]{-27} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{(-1)}$。
答案
14.解:(1)原式$=1 + 4 - 3 - 2 = 0$.
(2)原式$=2 - (-3) + \sqrt{2} - 1 - (-1)$
$=2 + 3 + \sqrt{2} - 1 + 1$
$=5 + \sqrt{2}$.
(2)原式$=2 - (-3) + \sqrt{2} - 1 - (-1)$
$=2 + 3 + \sqrt{2} - 1 + 1$
$=5 + \sqrt{2}$.
解析
【分析】
这两道题均属于实数的混合运算，解题时遵循“先算乘方、开方、绝对值化简，再算加减”的顺序即可。解题时先分别计算每一个小项的值：①对于负数的乘方，偶次幂为正，奇次幂为负；②算术平方根是非负数，立方根的符号和被开方数一致；③绝对值化简要先判断绝对值内部式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；最后把所有项的结果按有理数加减规则计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算各项：
$(-1)^{2026}$：2026是偶数，负数的偶次幂为正，故$(-1)^{2026}=1$；
$\sqrt{16}$是16的算术平方根，故$\sqrt{16}=4$；
$|-3|$是-3的绝对值，故$|-3|=3$；
$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，故$\sqrt[3]{-8}=-2$；
代入原式得：
原式$=1 + 4 - 3 + (-2) = 1+4-3-2=0$。
(2) 先分别计算各项：
$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$；
$\sqrt[3]{-27}=-3$，故$-\sqrt[3]{-27}=-(-3)=3$；
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；
$\sqrt[3]{(-1)}=-1$，故$-\sqrt[3]{(-1)}=-(-1)=1$；
代入原式得：
原式$=2 + 3 + (\sqrt{2}-1) + 1 = 2+3+\sqrt{2}-1+1=5+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $0$；(2) $5+\sqrt{2}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，乘方与开方运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是熟练掌握乘方、开方、绝对值的运算规则，运算过程中注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于实数的混合运算，解题时遵循“先算乘方、开方、绝对值化简，再算加减”的顺序即可。解题时先分别计算每一个小项的值：①对于负数的乘方，偶次幂为正，奇次幂为负；②算术平方根是非负数，立方根的符号和被开方数一致；③绝对值化简要先判断绝对值内部式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；最后把所有项的结果按有理数加减规则计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算各项：
$(-1)^{2026}$：2026是偶数，负数的偶次幂为正，故$(-1)^{2026}=1$；
$\sqrt{16}$是16的算术平方根，故$\sqrt{16}=4$；
$|-3|$是-3的绝对值，故$|-3|=3$；
$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，故$\sqrt[3]{-8}=-2$；
代入原式得：
原式$=1 + 4 - 3 + (-2) = 1+4-3-2=0$。
(2) 先分别计算各项：
$\sqrt{2^2}=\sqrt{4}=2$；
$\sqrt[3]{-27}=-3$，故$-\sqrt[3]{-27}=-(-3)=3$；
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$；
$\sqrt[3]{(-1)}=-1$，故$-\sqrt[3]{(-1)}=-(-1)=1$；
代入原式得：
原式$=2 + 3 + (\sqrt{2}-1) + 1 = 2+3+\sqrt{2}-1+1=5+\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $0$；(2) $5+\sqrt{2}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，乘方与开方运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是熟练掌握乘方、开方、绝对值的运算规则，运算过程中注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
