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5. 已知关于x的一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中m，n满足$m - 2n = 3$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
）A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
5. C
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。首先确定方程中$a、b、c$的取值，写出$\Delta$的表达式，再结合已知条件$m-2n=3$，通过代入消元化简$\Delta$，最后判断$\Delta$的正负即可得出结论。
【解析】对于一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=-n^2+mn+1$，
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&= (-m)^2 - 4×1×(-n^2+mn+1) \\&= m^2 +4n^2 -4mn -4 \\&= (m-2n)^2 -4\end{aligned}$
已知$m-2n=3$，代入上式得：
$\Delta=3^2 -4=9-4=5＞0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】根的判别式；完全平方公式；代入消元
【点评】本题是根的判别式的典型应用题型，解题核心是熟练掌握判别式与方程根的对应关系，计算判别式时要注意符号运算，结合完全平方公式化简可快速得到结果，属于基础考点。
【难度系数】0.7
【解析】对于一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-m$，$c=-n^2+mn+1$，
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&= (-m)^2 - 4×1×(-n^2+mn+1) \\&= m^2 +4n^2 -4mn -4 \\&= (m-2n)^2 -4\end{aligned}$
已知$m-2n=3$，代入上式得：
$\Delta=3^2 -4=9-4=5＞0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】根的判别式；完全平方公式；代入消元
【点评】本题是根的判别式的典型应用题型，解题核心是熟练掌握判别式与方程根的对应关系，计算判别式时要注意符号运算，结合完全平方公式化简可快速得到结果，属于基础考点。
【难度系数】0.7
6.（重庆中考）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（
A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
B
）A.10%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
6. B
解析
【分析】
这是典型的平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的通用等量关系：增长后的量=增长前的量×(1+年平均增长率)^增长年数。本题中2022年的游客量是初始增长前的量，2024年是增长2年后的量，我们只需要设年平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际要求舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$ x $。
根据题意，2022年接待游客25万人，经过2年增长后2024年接待游客36万人，可列方程：
$ 25(1+x)^2 = 36 $
方程两边同时除以25，得：
$ (1+x)^2 = \frac{36}{25} $
开平方得：
$ 1+x = \pm \frac{6}{5} $
解得：$ x_1 = \frac{6}{5} - 1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -\frac{6}{5} - 1 = -2.2 $
因为年平均增长率不能为负数，所以舍去$ x_2 = -2.2 $。
即年平均增长率为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率的常规应用题，解题关键是牢记增长率的计算公式，求解方程后要注意结合实际意义排除不符合要求的根，难度较低。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的通用等量关系：增长后的量=增长前的量×(1+年平均增长率)^增长年数。本题中2022年的游客量是初始增长前的量，2024年是增长2年后的量，我们只需要设年平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际要求舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$ x $。
根据题意，2022年接待游客25万人，经过2年增长后2024年接待游客36万人，可列方程：
$ 25(1+x)^2 = 36 $
方程两边同时除以25，得：
$ (1+x)^2 = \frac{36}{25} $
开平方得：
$ 1+x = \pm \frac{6}{5} $
解得：$ x_1 = \frac{6}{5} - 1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -\frac{6}{5} - 1 = -2.2 $
因为年平均增长率不能为负数，所以舍去$ x_2 = -2.2 $。
即年平均增长率为20%。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率的常规应用题，解题关键是牢记增长率的计算公式，求解方程后要注意结合实际意义排除不符合要求的根，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 菱形的两条对角线的长分别是方程$x^2 -14x +48=0$的两实根，则菱形的面积为
24
。答案
7. 24
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心要点：一是菱形的面积计算公式，菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；二是题目给出两条对角线的长是一元二次方程的两个实根，我们既可以先解方程求出两个根的具体数值，再代入面积公式计算，也可以直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，再计算面积，后者能简化计算步骤。
【解析】
方法一：先解方程求对角线长度
对一元二次方程$x^2 -14x +48=0$因式分解，可得：
$(x-6)(x-8)=0$
解得方程的两个实根为$x_1=6$，$x_2=8$，即菱形两条对角线的长分别为6和8。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2} × d_1 × d_2$（$d_1、d_2$为两条对角线的长）
代入得：$S=\frac{1}{2} × 6 × 8=24$
方法二：利用根与系数的关系计算
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中方程$x^2 -14x +48=0$的两根之积为$\frac{48}{1}=48$，即两条对角线长度的乘积为48。
则菱形面积$S=\frac{1}{2} × 48=24$
【答案】
24
【知识点】
菱形面积公式、一元二次方程的解法、根与系数的关系
【点评】
本题是几何性质与代数方程结合的基础题型，解题的关键是牢记菱形面积与对角线的关系，灵活选择解方程或者用根与系数关系的方法求对角线乘积，其中利用根与系数关系可避免求解单个根，简化运算。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确两个核心要点：一是菱形的面积计算公式，菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；二是题目给出两条对角线的长是一元二次方程的两个实根，我们既可以先解方程求出两个根的具体数值，再代入面积公式计算，也可以直接利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，再计算面积，后者能简化计算步骤。
【解析】
方法一：先解方程求对角线长度
对一元二次方程$x^2 -14x +48=0$因式分解，可得：
$(x-6)(x-8)=0$
解得方程的两个实根为$x_1=6$，$x_2=8$，即菱形两条对角线的长分别为6和8。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2} × d_1 × d_2$（$d_1、d_2$为两条对角线的长）
代入得：$S=\frac{1}{2} × 6 × 8=24$
方法二：利用根与系数的关系计算
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中方程$x^2 -14x +48=0$的两根之积为$\frac{48}{1}=48$，即两条对角线长度的乘积为48。
则菱形面积$S=\frac{1}{2} × 48=24$
【答案】
24
【知识点】
菱形面积公式、一元二次方程的解法、根与系数的关系
【点评】
本题是几何性质与代数方程结合的基础题型，解题的关键是牢记菱形面积与对角线的关系，灵活选择解方程或者用根与系数关系的方法求对角线乘积，其中利用根与系数关系可避免求解单个根，简化运算。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于x的一元二次方程$(x-3)(x-2)-m^2=0$.
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程$(x-3)(x-2)-m^2=0$的两个实数根$α,β$满足$α^2+β^2=17$，求m的值.
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程$(x-3)(x-2)-m^2=0$的两个实数根$α,β$满足$α^2+β^2=17$，求m的值.
答案
8. (1) 证明:整理原方程得,$x^2 -5x +6 -m^2=0$,$\therefore \Delta=25-4(6-m^2)=1+4m^2$.$\because$ 无论 $m$ 为何实数,总有 $4m^2≥0$,从而$1+4m^2＞0$,即 $\Delta＞0$,$\therefore$ 无论 $m$ 为何实数,方程总有两个不相等的实数根；
(2) 解:由(1)得方程$(x-3)(x-2)-m^2=0$整理得$x^2 -5x +6 -m^2=0$,$\therefore α+β=5$,$αβ=6-m^2$.$\therefore α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=25-2(6-m^2)=13+2m^2=17$.$\therefore m=\pm\sqrt{2}$.
(2) 解:由(1)得方程$(x-3)(x-2)-m^2=0$整理得$x^2 -5x +6 -m^2=0$,$\therefore α+β=5$,$αβ=6-m^2$.$\therefore α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=25-2(6-m^2)=13+2m^2=17$.$\therefore m=\pm\sqrt{2}$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是证明根的判别式Δ＞0。首先需要先把给定的方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再代入$\Delta=b^2-4ac$计算，最后结合平方的非负性判断Δ的符号即可。
（2）已知两根的平方和求参数$m$，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和$α+β$、两根之积$αβ$，再将$α^2+β^2$变形为$(α+β)^2-2αβ$，代入已知条件得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）证明：整理原方程得：
$x^2 -5x +6 -m^2=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=6-m^2$
$\therefore \Delta=(-5)^2-4×1×(6-m^2)=25-24+4m^2=1+4m^2$
$\because$ 无论 $m$ 为何实数，总有 $m^2≥0$，因此$4m^2≥0$，
$\therefore 1+4m^2≥1＞0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 无论 $m$ 为何实数，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：由（1）得方程整理为$x^2 -5x +6 -m^2=0$，
根据根与系数的关系可得：
$α+β=5$，$αβ=6-m^2$
$\because α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，且$α^2+β^2=17$
代入得：$5^2-2(6-m^2)=17$
化简计算：$25-12+2m^2=17$
$13+2m^2=17$
$2m^2=4$，即$m^2=2$
$\therefore m=\pm\sqrt{2}$
【答案】
（1）证明成立；（2）$m=\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，结合考察根的判别式和韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握判别式和根的个数的对应关系，以及两根平方和与两根和、积的变形方法，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是证明根的判别式Δ＞0。首先需要先把给定的方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再代入$\Delta=b^2-4ac$计算，最后结合平方的非负性判断Δ的符号即可。
（2）已知两根的平方和求参数$m$，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出两根之和$α+β$、两根之积$αβ$，再将$α^2+β^2$变形为$(α+β)^2-2αβ$，代入已知条件得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）证明：整理原方程得：
$x^2 -5x +6 -m^2=0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=6-m^2$
$\therefore \Delta=(-5)^2-4×1×(6-m^2)=25-24+4m^2=1+4m^2$
$\because$ 无论 $m$ 为何实数，总有 $m^2≥0$，因此$4m^2≥0$，
$\therefore 1+4m^2≥1＞0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 无论 $m$ 为何实数，方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：由（1）得方程整理为$x^2 -5x +6 -m^2=0$，
根据根与系数的关系可得：
$α+β=5$，$αβ=6-m^2$
$\because α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$，且$α^2+β^2=17$
代入得：$5^2-2(6-m^2)=17$
化简计算：$25-12+2m^2=17$
$13+2m^2=17$
$2m^2=4$，即$m^2=2$
$\therefore m=\pm\sqrt{2}$
【答案】
（1）证明成立；（2）$m=\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式 2. 根与系数的关系 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，结合考察根的判别式和韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握判别式和根的个数的对应关系，以及两根平方和与两根和、积的变形方法，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
9. 如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19 m，墙对面有一个2 m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34 m，围成的长方形养鸡场除门之外四周不能有空隙.
（1）若要围成养鸡场的面积为160 m²，则养鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成养鸡场的面积能否达到180 m²？请说明理由.
（1）若要围成养鸡场的面积为160 m²，则养鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成养鸡场的面积能否达到180 m²？请说明理由.
答案
9. 解:(1) 设垂直于墙的一边长为 $x$ m,则平行于墙的一边长为$(34+2-2x)$m. 根据题意,得$(34+2-2x)x=160$,整理得$x^2 -18x +80=0$,解得$x_1=8$,$x_2=10$. 当 $x_1=8$ 时,$34+2-2x=36-2×8=20＞19$,不符合题意,舍去. 当 $x_2=10$ 时,$34+2-2x=36-2×10=16＜19$,符合题意. 答:养鸡场的长为16 m,宽为10 m；
(2) 围成养鸡场的面积不能达到 $180\ \mathrm{m}^2$.理由:根据题意,得$(34+2-2x)x=180$,整理得$x^2 -18x +90=0$,$\because \Delta=(-18)^2-4×1×90=-36＜0$.$\therefore$ 方程无解. 答:围成养鸡场的面积不能达到 $180\ \mathrm{m}^2$.
(2) 围成养鸡场的面积不能达到 $180\ \mathrm{m}^2$.理由:根据题意,得$(34+2-2x)x=180$,整理得$x^2 -18x +90=0$,$\because \Delta=(-18)^2-4×1×90=-36＜0$.$\therefore$ 方程无解. 答:围成养鸡场的面积不能达到 $180\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
解题时先明确养鸡场的边长约束：靠墙一侧有2m宽的门，门无需围篱笆，因此平行于墙的边长 = 篱笆总长+门宽-2倍垂直于墙的边长，且平行于墙的边长不能超过墙长19m。
（1）先设垂直于墙的边长为$x$ m，用含$x$的式子表示平行于墙的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解，最后检验解是否符合墙长限制，舍去不合题意的解即可得到长宽。
（2）同样按面积关系列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则方程无实根，说明对应面积无法达到。
【解析】
(1) 设垂直于墙的一边长为 $x$ m，则平行于墙的一边长为$(34+2-2x)$ m。
根据题意列方程：
$x(34+2-2x)=160$
整理得：$x^2 -18x +80=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=10$
检验：
当 $x_1=8$ 时，$34+2-2x=36-2×8=20＞19$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当 $x_2=10$ 时，$34+2-2x=36-2×10=16＜19$，符合题意。
(2) 假设养鸡场面积能达到$180\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(34+2-2x)=180$
整理得：$x^2 -18x +90=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-18)^2-4×1×90=-36＜0$，因此该方程无实数根，假设不成立。
【答案】
(1) 养鸡场的长为16 m，宽为10 m；
(2) 围成养鸡场的面积不能达到 $180\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程结合实际场景的典型应用，解题时需注意结合实际条件对解进行验证，避免出现不符合现实情况的结果；判断面积能否达到指定值可转化为判断对应一元二次方程是否有符合条件的实根，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.65
解题时先明确养鸡场的边长约束：靠墙一侧有2m宽的门，门无需围篱笆，因此平行于墙的边长 = 篱笆总长+门宽-2倍垂直于墙的边长，且平行于墙的边长不能超过墙长19m。
（1）先设垂直于墙的边长为$x$ m，用含$x$的式子表示平行于墙的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解，最后检验解是否符合墙长限制，舍去不合题意的解即可得到长宽。
（2）同样按面积关系列方程，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则方程无实根，说明对应面积无法达到。
【解析】
(1) 设垂直于墙的一边长为 $x$ m，则平行于墙的一边长为$(34+2-2x)$ m。
根据题意列方程：
$x(34+2-2x)=160$
整理得：$x^2 -18x +80=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=10$
检验：
当 $x_1=8$ 时，$34+2-2x=36-2×8=20＞19$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当 $x_2=10$ 时，$34+2-2x=36-2×10=16＜19$，符合题意。
(2) 假设养鸡场面积能达到$180\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$x(34+2-2x)=180$
整理得：$x^2 -18x +90=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-18)^2-4×1×90=-36＜0$，因此该方程无实数根，假设不成立。
【答案】
(1) 养鸡场的长为16 m，宽为10 m；
(2) 围成养鸡场的面积不能达到 $180\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程结合实际场景的典型应用，解题时需注意结合实际条件对解进行验证，避免出现不符合现实情况的结果；判断面积能否达到指定值可转化为判断对应一元二次方程是否有符合条件的实根，是代数与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.65
10. 已知$y^2 - 2x + 4 = 0$，则$x^2 + y^2 + 2x$的最小值是（
A.8
B.$-8$
C.$-9$
D.$9$
A
）A.8
B.$-8$
C.$-9$
D.$9$
答案
10. A
解析
【分析】
首先通过已知等式把$y^2$用含$x$的代数式表示，利用平方的非负性求出$x$的取值范围，再将$y^2$代入待求的代数式，把原式转化为只含$x$的二次函数，最后结合$x$的取值范围求二次函数的最小值即可。要注意不能忽略$y^2≥0$这个隐含条件，否则会错误计算最值。
【解析】
第一步：由已知条件推导$y^2$的表达式及$x$的取值范围
已知$y^2 - 2x + 4 = 0$，移项得$y^2 = 2x - 4$。
因为平方数是非负数，即$y^2≥0$，所以$2x - 4≥0$，解得$x≥2$。
第二步：代入消元，转化为关于$x$的代数式
将$y^2 = 2x - 4$代入$x^2 + y^2 + 2x$，得：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 2x &= x^2 + (2x - 4) + 2x \\&= x^2 + 4x - 4\end{aligned}$
第三步：配方求二次函数的最值
对$x^2 + 4x - 4$配方：
$x^2 + 4x - 4 = (x + 2)^2 - 8$
该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
因为$x$的取值范围是$x≥2$，在对称轴右侧，函数值随$x$的增大而增大，所以当$x$取最小值2时，代数式取得最小值。
第四步：代入$x=2$计算最小值
当$x=2$时，$(2 + 2)^2 - 8 = 16 - 8 = 8$。
【答案】
A
【知识点】
代数式消元求值，平方的非负性，二次函数最值
【点评】
本题的易错点是容易忽略$y^2≥0$的隐含条件，直接根据二次函数顶点式得到$x=-2$时的最小值$-8$，错选B。解题时要注意根据已知条件确定自变量的取值范围，结合范围求最值。
【难度系数】
0.6
首先通过已知等式把$y^2$用含$x$的代数式表示，利用平方的非负性求出$x$的取值范围，再将$y^2$代入待求的代数式，把原式转化为只含$x$的二次函数，最后结合$x$的取值范围求二次函数的最小值即可。要注意不能忽略$y^2≥0$这个隐含条件，否则会错误计算最值。
【解析】
第一步：由已知条件推导$y^2$的表达式及$x$的取值范围
已知$y^2 - 2x + 4 = 0$，移项得$y^2 = 2x - 4$。
因为平方数是非负数，即$y^2≥0$，所以$2x - 4≥0$，解得$x≥2$。
第二步：代入消元，转化为关于$x$的代数式
将$y^2 = 2x - 4$代入$x^2 + y^2 + 2x$，得：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 2x &= x^2 + (2x - 4) + 2x \\&= x^2 + 4x - 4\end{aligned}$
第三步：配方求二次函数的最值
对$x^2 + 4x - 4$配方：
$x^2 + 4x - 4 = (x + 2)^2 - 8$
该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
因为$x$的取值范围是$x≥2$，在对称轴右侧，函数值随$x$的增大而增大，所以当$x$取最小值2时，代数式取得最小值。
第四步：代入$x=2$计算最小值
当$x=2$时，$(2 + 2)^2 - 8 = 16 - 8 = 8$。
【答案】
A
【知识点】
代数式消元求值，平方的非负性，二次函数最值
【点评】
本题的易错点是容易忽略$y^2≥0$的隐含条件，直接根据二次函数顶点式得到$x=-2$时的最小值$-8$，错选B。解题时要注意根据已知条件确定自变量的取值范围，结合范围求最值。
【难度系数】
0.6
11. 一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根为$x_1,x_2$，则$x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 22$的值是（
A.10
B.9
C.8
D.7
D
）A.10
B.9
C.8
D.7
答案
11. D
解析
【分析】
首先观察所求代数式，含有$x_1$的二次项，已知$x_1$是一元二次方程的根，可利用方程根的定义将$x_1^2$降次为含$x_1$的一次式，代入代数式后整理为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再通过一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果，避免直接求根代入的繁琐计算。
【解析】
∵ $x_1$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根
∴ 代入方程得：$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 - 1$
将$x_1^2 = 3x_1 - 1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 2 &= 3x_1 - 1 + 3x_2 + x_1x_2 - 2 \\&= 3(x_1 + x_2) + x_1x_2 - 3\end{aligned}$
根据根与系数的关系，方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$
代入上式得：$3×3 + 1 - 3 = 9 + 1 - 3 = 7$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关性质的应用，核心是利用降次思想将高次项转化为一次项，再结合韦达定理整体代入计算，能有效简化运算过程，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式，含有$x_1$的二次项，已知$x_1$是一元二次方程的根，可利用方程根的定义将$x_1^2$降次为含$x_1$的一次式，代入代数式后整理为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再通过一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果，避免直接求根代入的繁琐计算。
【解析】
∵ $x_1$是一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根
∴ 代入方程得：$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 - 1$
将$x_1^2 = 3x_1 - 1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 2 &= 3x_1 - 1 + 3x_2 + x_1x_2 - 2 \\&= 3(x_1 + x_2) + x_1x_2 - 3\end{aligned}$
根据根与系数的关系，方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$
代入上式得：$3×3 + 1 - 3 = 9 + 1 - 3 = 7$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关性质的应用，核心是利用降次思想将高次项转化为一次项，再结合韦达定理整体代入计算，能有效简化运算过程，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 已知$m$，$n$，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且$m$，$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +k +2=0$的两个根，则$k$的值为（
A.7
B.7或6
C.6或$-7$
D.6
B
）A.7
B.7或6
C.6或$-7$
D.6
答案
12. B
解析
【分析】
本题考查等腰三角形性质与一元二次方程的综合应用，解题需分两类情况讨论：①若等腰三角形的两腰长为m、n，即m=n，此时一元二次方程有两个相等的实数根，可通过判别式求k；②若等腰三角形的腰长为4，即m、n中有一个值为4，此时4是方程的根，代入方程即可求k。两种情况求解后都要验证是否满足三角形三边关系，同时排除等边三角形的情况，最终得到符合条件的k值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m=n$时，方程$x^2 -6x +k +2=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(-6)^2 -4×1×(k+2)=0$，
即$36-4k-8=0$，解得$k=7$。
此时方程为$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$，
三角形三边长为3、3、4，满足$3+3＞4$，且不是等边三角形，符合题意。
2. 当$m$、$n$其中一个值为4时，$x=4$是方程的根，
将$x=4$代入方程得：$4^2 -6×4 +k+2=0$，
即$16-24+k+2=0$，解得$k=6$。
此时方程为$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，
三角形三边长为4、4、2，满足$2+4＞4$，且不是等边三角形，符合题意。
综上，$k$的值为7或6。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
解决这类综合题的关键是合理分类讨论，不要漏过任意一种边为腰的情况，求出结果后务必要验证是否满足三角形三边的构成条件，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
本题考查等腰三角形性质与一元二次方程的综合应用，解题需分两类情况讨论：①若等腰三角形的两腰长为m、n，即m=n，此时一元二次方程有两个相等的实数根，可通过判别式求k；②若等腰三角形的腰长为4，即m、n中有一个值为4，此时4是方程的根，代入方程即可求k。两种情况求解后都要验证是否满足三角形三边关系，同时排除等边三角形的情况，最终得到符合条件的k值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m=n$时，方程$x^2 -6x +k +2=0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(-6)^2 -4×1×(k+2)=0$，
即$36-4k-8=0$，解得$k=7$。
此时方程为$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$，
三角形三边长为3、3、4，满足$3+3＞4$，且不是等边三角形，符合题意。
2. 当$m$、$n$其中一个值为4时，$x=4$是方程的根，
将$x=4$代入方程得：$4^2 -6×4 +k+2=0$，
即$16-24+k+2=0$，解得$k=6$。
此时方程为$x^2-6x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，
三角形三边长为4、4、2，满足$2+4＞4$，且不是等边三角形，符合题意。
综上，$k$的值为7或6。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
解决这类综合题的关键是合理分类讨论，不要漏过任意一种边为腰的情况，求出结果后务必要验证是否满足三角形三边的构成条件，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
