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第12课时 单元复习课
知识梳理
实际问题
一元二次方程: 含有，并且未知数的最高次数是的方程.它的一般形式是，其中.
一元二次方程的解法
直接开平方法
形如时,可以应用直接开平方法来求解.
配方法
配方法的一般步骤是.
公式法
对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$b^2-4ac≥0$时,它的根是.
因式分解法
必须满足一元二次方程的一边是0,另一边能够分解为.
根的判别式
当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$实数根；当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$实数根；当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$实数根.当$b^2-4ac$0时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根.
用一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题的一般步骤为:(1)审.即:分析题意,找出问题中的未知数和所给条件的相等关系；(2)设.即:设出未知数,并用含的代数式表示其余的未知量；(3)列.即:根据问题中，并用它列出方程；(4)解.即:解所列的方程,求得方程中未知数的值；(5)验.即:检验所求未知数的值是否符合题意,并写出答案.
知识梳理
实际问题
一元二次方程: 含有，并且未知数的最高次数是的方程.它的一般形式是，其中.
一元二次方程的解法
直接开平方法
形如时,可以应用直接开平方法来求解.
配方法
配方法的一般步骤是.
公式法
对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$b^2-4ac≥0$时,它的根是.
因式分解法
必须满足一元二次方程的一边是0,另一边能够分解为.
根的判别式
当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$实数根；当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$实数根；当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$实数根.当$b^2-4ac$0时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根.
用一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题的一般步骤为:(1)审.即:分析题意,找出问题中的未知数和所给条件的相等关系；(2)设.即:设出未知数,并用含的代数式表示其余的未知量；(3)列.即:根据问题中，并用它列出方程；(4)解.即:解所列的方程,求得方程中未知数的值；(5)验.即:检验所求未知数的值是否符合题意,并写出答案.
答案
解：
各空依次填写内容如下：
1. 只
2. 一个未知数的整式
3. 2
4. $ax^2+bx+c=0$（a、b、c为常数，$a≠0$）
5. $a≠0$，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
6. $(x+h)^2=k$（h、k为常数，$k≥0$）
7. ①移项，将常数项移到方程右侧；②将二次项系数化为1；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，右边合并为常数；④若右侧常数非负，用直接开平方法求解
8. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
9. 两个一次因式的乘积
10. 有两个不相等的
11. 有两个相等的
12. 没有
13. $≥$
14. 所设未知数
15. 相等关系
各空依次填写内容如下：
1. 只
2. 一个未知数的整式
3. 2
4. $ax^2+bx+c=0$（a、b、c为常数，$a≠0$）
5. $a≠0$，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
6. $(x+h)^2=k$（h、k为常数，$k≥0$）
7. ①移项，将常数项移到方程右侧；②将二次项系数化为1；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，右边合并为常数；④若右侧常数非负，用直接开平方法求解
8. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
9. 两个一次因式的乘积
10. 有两个不相等的
11. 有两个相等的
12. 没有
13. $≥$
14. 所设未知数
15. 相等关系
解析
【分析】
本题是一元二次方程单元的基础知识点梳理题，考查内容覆盖一元二次方程的定义、解法、根的判别式、实际应用步骤等全章节核心基础内容。解题时只需逐一对应回忆对应知识点，结合教材所学的基础概念依次填空即可，不需要复杂计算或推导，重点考查对基础知识点的记忆准确性。
【解析】
我们按照知识梳理的顺序逐个对应知识点填空：
1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2的方程；它的一般形式是$ax^2+bx+c=0$（a、b、c为常数，$a≠0$），其中$a≠0$，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2. 直接开平方法的适用形式：形如$(x+h)^2=k$（h、k为常数，$k≥0$）时，可以应用直接开平方法求解。
3. 配方法的一般步骤：①移项，将常数项移到方程右侧；②将二次项系数化为1；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，右边合并为常数；④若右侧常数非负，用直接开平方法求解。
4. 公式法求根：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$b^2-4ac≥0$时，它的根是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
5. 因式分解法的适用条件：必须满足一元二次方程的一边是0，另一边能够分解为两个一次因式的乘积。
6. 根的判别式的意义：当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根；当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根；当$b^2-4ac≥0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根。
7. 一元二次方程解决问题的步骤：设未知数时用含有所设未知数的代数式表示其余未知量，列方程时根据问题中的相等关系列出方程。
【答案】
各空依次为：
1. 只
2. 一个未知数的整式
3. 2
4. $ax^2+bx+c=0$（a、b、c为常数，$a≠0$）
5. $a≠0$，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
6. $(x+h)^2=k$（h、k为常数，$k≥0$）
7. ①移项，将常数项移到方程右侧；②将二次项系数化为1；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，右边合并为常数；④若右侧常数非负，用直接开平方法求解
8. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
9. 两个一次因式的乘积
10. 有两个不相等的
11. 有两个相等的
12. 没有
13. $≥$
14. 所设未知数
15. 相等关系
【知识点】
一元二次方程相关概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础类知识梳理题，全面覆盖了一元二次方程章节的核心基础知识点，是掌握本章内容、解决后续一元二次方程相关综合题的前提，需要熟练识记、准确掌握这些基础内容。
【难度系数】
0.85
本题是一元二次方程单元的基础知识点梳理题，考查内容覆盖一元二次方程的定义、解法、根的判别式、实际应用步骤等全章节核心基础内容。解题时只需逐一对应回忆对应知识点，结合教材所学的基础概念依次填空即可，不需要复杂计算或推导，重点考查对基础知识点的记忆准确性。
【解析】
我们按照知识梳理的顺序逐个对应知识点填空：
1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2的方程；它的一般形式是$ax^2+bx+c=0$（a、b、c为常数，$a≠0$），其中$a≠0$，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2. 直接开平方法的适用形式：形如$(x+h)^2=k$（h、k为常数，$k≥0$）时，可以应用直接开平方法求解。
3. 配方法的一般步骤：①移项，将常数项移到方程右侧；②将二次项系数化为1；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，右边合并为常数；④若右侧常数非负，用直接开平方法求解。
4. 公式法求根：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$b^2-4ac≥0$时，它的根是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
5. 因式分解法的适用条件：必须满足一元二次方程的一边是0，另一边能够分解为两个一次因式的乘积。
6. 根的判别式的意义：当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根；当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根；当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根；当$b^2-4ac≥0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根。
7. 一元二次方程解决问题的步骤：设未知数时用含有所设未知数的代数式表示其余未知量，列方程时根据问题中的相等关系列出方程。
【答案】
各空依次为：
1. 只
2. 一个未知数的整式
3. 2
4. $ax^2+bx+c=0$（a、b、c为常数，$a≠0$）
5. $a≠0$，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
6. $(x+h)^2=k$（h、k为常数，$k≥0$）
7. ①移项，将常数项移到方程右侧；②将二次项系数化为1；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，右边合并为常数；④若右侧常数非负，用直接开平方法求解
8. $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
9. 两个一次因式的乘积
10. 有两个不相等的
11. 有两个相等的
12. 没有
13. $≥$
14. 所设未知数
15. 相等关系
【知识点】
一元二次方程相关概念；一元二次方程的解法；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础类知识梳理题，全面覆盖了一元二次方程章节的核心基础知识点，是掌握本章内容、解决后续一元二次方程相关综合题的前提，需要熟练识记、准确掌握这些基础内容。
【难度系数】
0.85
1. 已知$m$是一元二次方程$x^2 + 2x - 1012 = 0$的一个实数根，则代数式$2m^2 + 4m + 1$的值等于 （
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
D
）A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
答案
1. D
解析
【分析】
解题思路：首先回忆一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=m代入原方程可得到关于m的等式；再观察所求代数式$2m^2+4m+1$的结构，发现$2m^2+4m$可以变形为$2(m^2+2m)$，刚好和代入方程得到的式子相关，因此不需要求解m的具体值，用整体代入法即可算出代数式的值。
【解析】
∵ m是一元二次方程$x^2 + 2x - 1012 = 0$的实数根，
∴ 将x=m代入方程，得：$m^2 + 2m - 1012 = 0$，
移项可得：$m^2 + 2m = 1012$。
对所求代数式变形：
$2m^2 + 4m + 1 = 2(m^2 + 2m) + 1$，
将$m^2 + 2m = 1012$代入上式：
原式$= 2×1012 + 1 = 2024 + 1 = 2025$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关求值的典型题型，核心是运用整体代入思想简化计算，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，考查了学生对代数式结构的观察能力和对方程根定义的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=m代入原方程可得到关于m的等式；再观察所求代数式$2m^2+4m+1$的结构，发现$2m^2+4m$可以变形为$2(m^2+2m)$，刚好和代入方程得到的式子相关，因此不需要求解m的具体值，用整体代入法即可算出代数式的值。
【解析】
∵ m是一元二次方程$x^2 + 2x - 1012 = 0$的实数根，
∴ 将x=m代入方程，得：$m^2 + 2m - 1012 = 0$，
移项可得：$m^2 + 2m = 1012$。
对所求代数式变形：
$2m^2 + 4m + 1 = 2(m^2 + 2m) + 1$，
将$m^2 + 2m = 1012$代入上式：
原式$= 2×1012 + 1 = 2024 + 1 = 2025$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关求值的典型题型，核心是运用整体代入思想简化计算，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，考查了学生对代数式结构的观察能力和对方程根定义的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
2. 用配方法解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$，配方后得到的方程是（
A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
D
）A.$(x+6)^2=28$
B.$(x-6)^2=28$
C.$(x+3)^2=1$
D.$(x-3)^2=1$
答案
2. D
解析
【分析】
解决本题需先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：第一步先把常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的结果，再对应选项判断即可。
【解析】
对原方程$x^2 -6x +8=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -6x = -8$
2. 配方，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在等式两边同时加9，得：$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 左侧利用完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：$(x-3)^2=1$
因此配方后得到的方程为$(x-3)^2=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方的核心操作步骤，掌握“移常数项、加一次项系数一半的平方凑完全平方式”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解决本题需先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：第一步先把常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方式，右侧合并常数项即可得到配方后的结果，再对应选项判断即可。
【解析】
对原方程$x^2 -6x +8=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 -6x = -8$
2. 配方，一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在等式两边同时加9，得：$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 左侧利用完全平方公式整理，右侧合并常数项，得：$(x-3)^2=1$
因此配方后得到的方程为$(x-3)^2=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方的核心操作步骤，掌握“移常数项、加一次项系数一半的平方凑完全平方式”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. (北京中考)若关于x的一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则实数a的值为（
A.-4
B.-1
C.1
D.4
C
）A.-4
B.-1
C.1
D.4
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，题目明确是关于x的一元二次方程，因此要先满足一元二次方程的核心前提：二次项系数不为0，即$a≠0$；其次，已知方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；最后，代入判别式公式列方程求解，验证结果满足$a≠0$的条件即可得到正确答案。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$a≠0$
$\because$ 该方程有两个相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$2^2 - 4× a×1 = 0$
整理得$4 - 4a = 0$
解得$a=1$
经检验，$a=1$满足$a≠0$的要求，符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是基础类考题，主要考查一元二次方程的相关性质，解题时需注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握根的判别式和方程根的数量的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先，题目明确是关于x的一元二次方程，因此要先满足一元二次方程的核心前提：二次项系数不为0，即$a≠0$；其次，已知方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；最后，代入判别式公式列方程求解，验证结果满足$a≠0$的条件即可得到正确答案。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
$\therefore$ 二次项系数$a≠0$
$\because$ 该方程有两个相等的实数根
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
其中一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$2^2 - 4× a×1 = 0$
整理得$4 - 4a = 0$
解得$a=1$
经检验，$a=1$满足$a≠0$的要求，符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是基础类考题，主要考查一元二次方程的相关性质，解题时需注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，熟练掌握根的判别式和方程根的数量的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程$x^2 -6x +8=0$的两根，则该等腰三角形的底边长为（
A.2
B.4
C.8
D.2或4
A
）A.2
B.4
C.8
D.2或4
答案
4. A
解析
【分析】
解题思路分为三步：首先求解一元二次方程得到两根，即为等腰三角形的两条已知边长；其次结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的组合；最后对每种组合用三角形三边关系验证是否能构成三角形，不符合的情况舍去，即可得到正确的底边长。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$
对左边因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即等腰三角形的两边长为2和4。
第二步：分情况讨论
情况1：若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2、2、4
$\because 2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，故该情况舍去。
情况2：若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4、4、2
$\because 4+4＞2$，$4+2＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，该等腰三角形的底边长为2。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立错选D，因此涉及三角形边长的问题时，分类讨论后一定要验证是否满足构成三角形的条件。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：首先求解一元二次方程得到两根，即为等腰三角形的两条已知边长；其次结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的组合；最后对每种组合用三角形三边关系验证是否能构成三角形，不符合的情况舍去，即可得到正确的底边长。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$
对左边因式分解得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即等腰三角形的两边长为2和4。
第二步：分情况讨论
情况1：若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2、2、4
$\because 2+2=4$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法构成三角形，故该情况舍去。
情况2：若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4、4、2
$\because 4+4＞2$，$4+2＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
综上，该等腰三角形的底边长为2。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接认为两种情况都成立错选D，因此涉及三角形边长的问题时，分类讨论后一定要验证是否满足构成三角形的条件。
【难度系数】
0.7
