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13. 观察下列图形的排列规律，当n=
第13题 第15题
5
时，图形中“•”的个数和“△”的个数相等。 第13题 第15题答案
13. 5
解析
【分析】解题时首先分别统计不同n值对应的“•”和“△”的数量，归纳出两者和n的通用表达式，再令两个表达式相等建立方程，求解符合题意的正整数n即可。第一步统计“•”的数量：n=1时3个，n=2时6个，n=3时9个，可推出“•”的个数为3n；第二步统计“△”的数量：n=1时1个，n=2时3个，n=3时6个，符合等差数列前n项和特征，可推出“△”的个数为$\frac{n(n+1)}{2}$；第三步列方程求解，舍去无意义的解即可得到答案。
【解析】
1. 推导“•”的个数规律：
观察图形：
n=1时，“•”的个数为$3=3×1$；
n=2时，“•”的个数为$6=3×2$；
n=3时，“•”的个数为$9=3×3$；
……
可得第n个图形中“•”的个数为$\boldsymbol{3n}$。
2. 推导“△”的个数规律：
观察图形：
n=1时，“△”的个数为$1=\frac{1×(1+1)}{2}$；
n=2时，“△”的个数为$3=\frac{2×(2+1)}{2}$；
n=3时，“△”的个数为$6=\frac{3×(3+1)}{2}$；
……
可得第n个图形中“△”的个数为$\boldsymbol{\frac{n(n+1)}{2}}$。
3. 列方程求解：
令“•”和“△”的个数相等，得：
$3n=\frac{n(n+1)}{2}$
∵n为正整数，
∴n≠0，两边同时除以n得：
$3=\frac{n+1}{2}$
解得$n=5$。
【答案】5
【知识点】图形规律探究，一元二次方程求解
【点评】本题属于规律探究类基础题，重点考查学生的观察归纳能力和方程的应用能力，解题的核心是准确总结两种图形数量与n的关系，解方程时注意结合n为正整数的隐含条件舍去不符合要求的解。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 推导“•”的个数规律：
观察图形：
n=1时，“•”的个数为$3=3×1$；
n=2时，“•”的个数为$6=3×2$；
n=3时，“•”的个数为$9=3×3$；
……
可得第n个图形中“•”的个数为$\boldsymbol{3n}$。
2. 推导“△”的个数规律：
观察图形：
n=1时，“△”的个数为$1=\frac{1×(1+1)}{2}$；
n=2时，“△”的个数为$3=\frac{2×(2+1)}{2}$；
n=3时，“△”的个数为$6=\frac{3×(3+1)}{2}$；
……
可得第n个图形中“△”的个数为$\boldsymbol{\frac{n(n+1)}{2}}$。
3. 列方程求解：
令“•”和“△”的个数相等，得：
$3n=\frac{n(n+1)}{2}$
∵n为正整数，
∴n≠0，两边同时除以n得：
$3=\frac{n+1}{2}$
解得$n=5$。
【答案】5
【知识点】图形规律探究，一元二次方程求解
【点评】本题属于规律探究类基础题，重点考查学生的观察归纳能力和方程的应用能力，解题的核心是准确总结两种图形数量与n的关系，解方程时注意结合n为正整数的隐含条件舍去不符合要求的解。
【难度系数】0.7
14.已知a和b是方程$x^2 + 2024x - 4 = 0$的两个解，则$a^2 + 2023a - b$的值为
2028
.答案
14. 2028
解析
【分析】
解题时首先思考：已知a是方程的根，可利用一元二次方程根的定义，将a代入方程得到含a的等式，对所求代数式中的高次项a²降次，再观察降次后的式子含a、b两个未知数，结合根与系数的关系求出两根之和，整体代入即可计算出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
1. 因为a是方程$x^2 + 2024x - 4 = 0$的根，将x=a代入方程得：
$a^2 + 2024a - 4 = 0$，即$a^2 + 2024a = 4$。
2. 对所求代数式变形：
$a^2 + 2023a - b = (a^2 + 2024a) - a - b = 4 - (a + b)$。
3. 因为a、b是方程$x^2 + 2024x - 4 = 0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{2024}{1} = -2024$。
4. 将$a + b = -2024$代入上式得：
$4 - (-2024) = 4 + 2024 = 2028$。
【答案】
2028
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关计算的典型题型，核心解题技巧是利用根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，避免了求解根的具体值，有效简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先思考：已知a是方程的根，可利用一元二次方程根的定义，将a代入方程得到含a的等式，对所求代数式中的高次项a²降次，再观察降次后的式子含a、b两个未知数，结合根与系数的关系求出两根之和，整体代入即可计算出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
1. 因为a是方程$x^2 + 2024x - 4 = 0$的根，将x=a代入方程得：
$a^2 + 2024a - 4 = 0$，即$a^2 + 2024a = 4$。
2. 对所求代数式变形：
$a^2 + 2023a - b = (a^2 + 2024a) - a - b = 4 - (a + b)$。
3. 因为a、b是方程$x^2 + 2024x - 4 = 0$的两个根，根据根与系数的关系，两根之和$a + b = -\frac{2024}{1} = -2024$。
4. 将$a + b = -2024$代入上式得：
$4 - (-2024) = 4 + 2024 = 2028$。
【答案】
2028
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关计算的典型题型，核心解题技巧是利用根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，避免了求解根的具体值，有效简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
15. 如图,矩形ABCD是由三个矩形拼接成的.如果AB=8,阴影部分的面积是24,另外两个小矩形全等,那么小矩形的长为
6
.答案
15. 6
解析
【分析】
我们可以采用设未知数列方程的方法求解：首先设小矩形的长为$x$，由$AB=8$且$AB$的长度等于小矩形的长与宽之和，可得小矩形的宽为$8-x$；再观察图形可知，阴影部分为矩形，它的长等于小矩形的长$x$，它的宽等于小矩形的长减去小矩形的宽，即$x-(8-x)$；最后结合阴影部分面积为24，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
设小矩形的长为$x$，则小矩形的宽为$8-x$。
由图形可得阴影部分的宽为：$x-(8-x)=2x-8$
根据阴影部分面积为24，列方程：
$x(2x-8)=24$
整理得：$x^2-4x-12=0$
因式分解得：$(x-6)(x+2)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-2$（边长为正数，故舍去）
因此小矩形的长为6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，核心是通过观察图形找到各边长的数量关系，结合面积公式列方程求解，求解后要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
我们可以采用设未知数列方程的方法求解：首先设小矩形的长为$x$，由$AB=8$且$AB$的长度等于小矩形的长与宽之和，可得小矩形的宽为$8-x$；再观察图形可知，阴影部分为矩形，它的长等于小矩形的长$x$，它的宽等于小矩形的长减去小矩形的宽，即$x-(8-x)$；最后结合阴影部分面积为24，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
设小矩形的长为$x$，则小矩形的宽为$8-x$。
由图形可得阴影部分的宽为：$x-(8-x)=2x-8$
根据阴影部分面积为24，列方程：
$x(2x-8)=24$
整理得：$x^2-4x-12=0$
因式分解得：$(x-6)(x+2)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-2$（边长为正数，故舍去）
因此小矩形的长为6。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，核心是通过观察图形找到各边长的数量关系，结合面积公式列方程求解，求解后要注意验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
16. 用适当的方法解下列方程：
(1) $x^2 + 4x - 6 = 0$；
(2) $x^2 - 7x + 12 = 0$；
(3) $(5x - 1)(2x + 4) = 3x + 6$；
(4) $t^2 + (t - 1)^2 = 13$。
(1) $x^2 + 4x - 6 = 0$；
(2) $x^2 - 7x + 12 = 0$；
(3) $(5x - 1)(2x + 4) = 3x + 6$；
(4) $t^2 + (t - 1)^2 = 13$。
答案
16. (1) $x_1=-2+\sqrt{10}$,$x_2=-2-\sqrt{10}$
(2) $x_1=3$,$x_2=4$
(3) $x_1=-2$,$x_2=\frac{1}{2}$
(4) $t_1=-2$,$t_2=3$
(2) $x_1=3$,$x_2=4$
(3) $x_1=-2$,$x_2=\frac{1}{2}$
(4) $t_1=-2$,$t_2=3$
解析
【分析】
这四道题均为一元二次方程求解，可根据方程结构特点选择最优解法：(1) 方程一次项系数为偶数，将常数项移到右侧后适合用配方法，也可直接用求根公式法；(2) 左侧二次三项式可直接十字相乘因式分解，选用因式分解法更简便；(3) 方程左右两边含有公因式$(x+2)$，先移项提取公因式可简化计算，避免直接展开的繁琐；(4) 先展开完全平方，整理为一般形式后再用因式分解法求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 + 4x = 6$，
配方，两边同时加4得：$x^2 + 4x + 4 = 6 + 4$，即$(x+2)^2=10$，
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{10}$，
解得$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$。
(2) 对左侧因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$，
则$x-3=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
(3) 整理原方程得：$2(5x-1)(x+2)=3(x+2)$，
移项得：$2(5x-1)(x+2)-3(x+2)=0$，
提取公因式$(x+2)$得：$(x+2)[2(5x-1)-3]=0$，
化简得：$(x+2)(10x-5)=0$，
则$x+2=0$或$10x-5=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(4) 展开完全平方得：$t^2 + t^2 - 2t + 1 = 13$，
移项合并同类项得：$2t^2 - 2t - 12 = 0$，两边同时除以2化简为$t^2 - t - 6 = 0$，
因式分解得：$(t-3)(t+2)=0$，
则$t-3=0$或$t+2=0$，
解得$t_1=-2$，$t_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=-2+\sqrt{10}$,$x_2=-2-\sqrt{10}$
(2) $x_1=3$,$x_2=4$
(3) $x_1=-2$,$x_2=\frac{1}{2}$
(4) $t_1=-2$,$t_2=3$
【知识点】
一元二次方程求解、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时可根据方程的形式灵活选择最优方法，能有效简化计算、提升正确率；其中因式分解法是最简便的解法，适用时可优先选择，注意方程两边有公因式时不要直接约掉，避免丢失根。
【难度系数】
0.85
这四道题均为一元二次方程求解，可根据方程结构特点选择最优解法：(1) 方程一次项系数为偶数，将常数项移到右侧后适合用配方法，也可直接用求根公式法；(2) 左侧二次三项式可直接十字相乘因式分解，选用因式分解法更简便；(3) 方程左右两边含有公因式$(x+2)$，先移项提取公因式可简化计算，避免直接展开的繁琐；(4) 先展开完全平方，整理为一般形式后再用因式分解法求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2 + 4x = 6$，
配方，两边同时加4得：$x^2 + 4x + 4 = 6 + 4$，即$(x+2)^2=10$，
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{10}$，
解得$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$。
(2) 对左侧因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$，
则$x-3=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$。
(3) 整理原方程得：$2(5x-1)(x+2)=3(x+2)$，
移项得：$2(5x-1)(x+2)-3(x+2)=0$，
提取公因式$(x+2)$得：$(x+2)[2(5x-1)-3]=0$，
化简得：$(x+2)(10x-5)=0$，
则$x+2=0$或$10x-5=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(4) 展开完全平方得：$t^2 + t^2 - 2t + 1 = 13$，
移项合并同类项得：$2t^2 - 2t - 12 = 0$，两边同时除以2化简为$t^2 - t - 6 = 0$，
因式分解得：$(t-3)(t+2)=0$，
则$t-3=0$或$t+2=0$，
解得$t_1=-2$，$t_2=3$。
【答案】
(1) $x_1=-2+\sqrt{10}$,$x_2=-2-\sqrt{10}$
(2) $x_1=3$,$x_2=4$
(3) $x_1=-2$,$x_2=\frac{1}{2}$
(4) $t_1=-2$,$t_2=3$
【知识点】
一元二次方程求解、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时可根据方程的形式灵活选择最优方法，能有效简化计算、提升正确率；其中因式分解法是最简便的解法，适用时可优先选择，注意方程两边有公因式时不要直接约掉，避免丢失根。
【难度系数】
0.85
17. 如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用100 m长的围栏围成总面积为400 m²的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边AB，BC长各为多少？
墙
墙
答案
17. 解:设$AB=x$ m,根据题意,得$x(100-4x)=400$,整理得$x^2 -25x +100=0$,解得$x_1=20$,$x_2=5$. 当$AB=20$ m时,$BC=20$ m;当$AB=5$ m时,$BC=80$ m$＞25$ m,故舍去. 答:羊圈的边AB,BC长都为20 m.
解析
【分析】
首先观察图形结构：三个矩形羊圈共用墙体作为上边，垂直于墙的边（与AB等长的边）共有4条，平行于墙的边仅BC1条。解题时先设AB的长度为x m，即可用总围栏长度表示出BC的长度为(100-4x)m，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后根据墙长25m的限制，检验解是否符合实际，舍去不合理的解即可得到答案。
【解析】
解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(100-4x)m。
根据矩形总面积为400 m²，列方程得：
$x(100-4x)=400$
整理方程：
$x^2 -25x +100=0$
解方程得：
$x_1=20$，$x_2=5$
检验根的合理性：
当$x=20$时，$BC=100-4×20=20$ m，$20＜25$，符合墙长限制；
当$x=5$时，$BC=100-4×5=80$ m，$80＞25$，超出墙长，不符合实际，舍去。
【答案】
羊圈的边AB长为20 m，BC长为20 m。
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程结合几何实际场景的典型题型，解题的关键是准确梳理围栏各边的数量关系，尤其要注意结合题干给出的墙长限制对解进行验证，避免忽略实际条件得出错误答案。
【难度系数】
0.7
首先观察图形结构：三个矩形羊圈共用墙体作为上边，垂直于墙的边（与AB等长的边）共有4条，平行于墙的边仅BC1条。解题时先设AB的长度为x m，即可用总围栏长度表示出BC的长度为(100-4x)m，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后根据墙长25m的限制，检验解是否符合实际，舍去不合理的解即可得到答案。
【解析】
解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(100-4x)m。
根据矩形总面积为400 m²，列方程得：
$x(100-4x)=400$
整理方程：
$x^2 -25x +100=0$
解方程得：
$x_1=20$，$x_2=5$
检验根的合理性：
当$x=20$时，$BC=100-4×20=20$ m，$20＜25$，符合墙长限制；
当$x=5$时，$BC=100-4×5=80$ m，$80＞25$，超出墙长，不符合实际，舍去。
【答案】
羊圈的边AB长为20 m，BC长为20 m。
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程结合几何实际场景的典型题型，解题的关键是准确梳理围栏各边的数量关系，尤其要注意结合题干给出的墙长限制对解进行验证，避免忽略实际条件得出错误答案。
【难度系数】
0.7
18. 如图①所示是一本长为26 cm、宽为18.5 cm、厚为1 cm的数学书. 小明用一张面积为1 120 cm²的矩形纸包好了这本数学书,书皮展开后如图②所示,图中虚线为折痕,阴影是裁剪掉的部分,四角均为大小相同的小正方形,小正方形的边长即为折叠进去的宽度,设小正方形的边长(即折叠进去的宽度)为x cm,求x的值.
答案
18. 解:依题意得$(18.5×2+1+2x)(26+2x)=1120$,整理得$x^2 +32x -33=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-33$(不合题意,舍去).$\therefore x$的值为1.
解析
【分析】
解题时首先要明确包书矩形纸的长和宽的构成：水平方向需要覆盖封面宽度、封底宽度、书的厚度，再加左右两侧折叠的2个x，因此水平长度为18.5×2+1+2x；竖直方向需要覆盖书的长度，再加上下两侧折叠的2个x，因此竖直长度为26+2x。再结合矩形面积公式“面积=长×宽”列出关于x的一元二次方程，求解后结合边长为正的实际要求舍去不符合的解即可得到x的值。
【解析】
解：根据题意，包书纸的长为$(18.5×2 + 1 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(26 + 2x)\ \mathrm{cm}$，由矩形面积公式列方程得：
$(18.5× 2 + 1 + 2x)(26 + 2x) = 1120$
化简括号内的项：$18.5×2+1=38$，方程可写为：
$(38 + 2x)(26 + 2x) = 1120$
展开并整理方程：
$4x^2 + 128x + 988 = 1120$
两边同除以4得：
$x^2 + 32x - 33 = 0$
因式分解得：
$(x + 33)(x - 1) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=-33$。
由于$x$表示折叠宽度，不能为负数，故$x_2=-33$不合题意，舍去。
【答案】
$x$的值为$1$
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活实际命题，解题关键是准确分析出包书纸长和宽的表达式，求解方程后要注意结合实际意义对解进行筛选，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确包书矩形纸的长和宽的构成：水平方向需要覆盖封面宽度、封底宽度、书的厚度，再加左右两侧折叠的2个x，因此水平长度为18.5×2+1+2x；竖直方向需要覆盖书的长度，再加上下两侧折叠的2个x，因此竖直长度为26+2x。再结合矩形面积公式“面积=长×宽”列出关于x的一元二次方程，求解后结合边长为正的实际要求舍去不符合的解即可得到x的值。
【解析】
解：根据题意，包书纸的长为$(18.5×2 + 1 + 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(26 + 2x)\ \mathrm{cm}$，由矩形面积公式列方程得：
$(18.5× 2 + 1 + 2x)(26 + 2x) = 1120$
化简括号内的项：$18.5×2+1=38$，方程可写为：
$(38 + 2x)(26 + 2x) = 1120$
展开并整理方程：
$4x^2 + 128x + 988 = 1120$
两边同除以4得：
$x^2 + 32x - 33 = 0$
因式分解得：
$(x + 33)(x - 1) = 0$
解得$x_1=1$，$x_2=-33$。
由于$x$表示折叠宽度，不能为负数，故$x_2=-33$不合题意，舍去。
【答案】
$x$的值为$1$
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活实际命题，解题关键是准确分析出包书纸长和宽的表达式，求解方程后要注意结合实际意义对解进行筛选，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
