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19. 随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施. 某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为0.5元/度.
(1) 甲公司调查发现，快充桩日使用次数$ n_1 $与快充充电单价$ x $(元/度)满足$ n_1=\frac{120}{x+2} $；慢充桩日使用次数$ n_2 $与慢充充电单价$ y $(元/度)满足$ n_2=\frac{80}{y+1} $；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为40度/次、32度/次. 某天，快充充电单价比慢充充电单价多0.4元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价；
(2) 乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价$ x $(元/度)满足：快充充电单价为1元/度时，日充电量为100度；快充充电单价每降价0.1元/度，日充电量增加10度. 其中，快充充电单价$ x $满足$ 0.5≤ x≤2 $. 每个快充桩的日收益=日充电量×(充电单价－电价). 快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为50元？
(1) 甲公司调查发现，快充桩日使用次数$ n_1 $与快充充电单价$ x $(元/度)满足$ n_1=\frac{120}{x+2} $；慢充桩日使用次数$ n_2 $与慢充充电单价$ y $(元/度)满足$ n_2=\frac{80}{y+1} $；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为40度/次、32度/次. 某天，快充充电单价比慢充充电单价多0.4元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价；
(2) 乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价$ x $(元/度)满足：快充充电单价为1元/度时，日充电量为100度；快充充电单价每降价0.1元/度，日充电量增加10度. 其中，快充充电单价$ x $满足$ 0.5≤ x≤2 $. 每个快充桩的日收益=日充电量×(充电单价－电价). 快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为50元？
答案
19. 解:(1) $\because$ 快充充电单价为 $x$ 元/度,慢充充电单价 $y$ 元/度,快充充电单价比慢充充电单价多0.4元/度,$\therefore$ 慢充充电单价为 $y=(x-0.4)$元/度,根据题意得,$40×\frac{120}{x+2}=32×\frac{80}{x-0.4+1}$,解得 $x=1$,检验:当 $x=1$时,$(x+2)(x+0.6)≠0$,$\therefore x=1$是原方程的解,且符合题意.答:当日的快充充电单价为1元/度；
(2) 根据题意得$(100+\frac{1-x}{0.1}×10)(x-0.5)=50$,解得$x_1=1$,$x_2=1.5$,两个解都满足$0.5≤ x≤2$,均符合题意.答:快充充电单价为1元/度或1.5元/度时,每个快充桩的日收益为50元.
(2) 根据题意得$(100+\frac{1-x}{0.1}×10)(x-0.5)=50$,解得$x_1=1$,$x_2=1.5$,两个解都满足$0.5≤ x≤2$,均符合题意.答:快充充电单价为1元/度或1.5元/度时,每个快充桩的日收益为50元.
解析
【分析】
(1) 解题核心是找准等量关系：一个快充桩与一个慢充桩的日充电总量相等。已知快充单价为$x$元/度，由快充单价比慢充多0.4元/度，可得慢充单价为$(x-0.4)$元/度。再根据“日充电总量=单次平均充电量×日使用次数”，分别表示出快充、慢充的日充电总量，列分式方程求解，最后检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 解题核心等量关系为：每个快充桩的日收益=50元。先根据单价与日充电量的变化规律表示出单价为$x$时的日充电量：单价为1元时日充电量100度，每降价0.1元日充电量增10度，因此单价为$x$时，日充电量为$100+\frac{1-x}{0.1}×10$；再结合“日收益=日充电量×(充电单价-电价)”列一元二次方程，求解后验证解是否在$0.5≤x≤2$的范围内即可。
【解析】
(1) 设当日快充充电单价为$x$元/度，则慢充充电单价为$(x-0.4)$元/度。
根据快充与慢充日充电总量相等，列方程：
$40×\frac{120}{x+2}=32×\frac{80}{x-0.4+1}$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，分母$(x+2)(x+0.6)≠0$，因此$x=1$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 根据题意，单价为$x$元/度时，日充电量为$(100+\frac{1-x}{0.1}×10)$度，结合日收益为50元列方程：
$(100+\frac{1-x}{0.1}×10)(x-0.5)=50$
解得：$x_1=1$，$x_2=1.5$
验证：两个解都满足$0.5≤x≤2$，均符合题意。
【答案】
(1) 当日的快充充电单价为1元/度；
(2) 快充充电单价为1元/度或1.5元/度时，每个快充桩的日收益为50元。
【知识点】
分式方程的应用、一元二次方程的应用、实际问题解的检验
【点评】
本题贴近生活实际，考查利用方程解决实际应用问题的能力，解题的关键是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列方程，同时要注意分式方程必须验根，实际问题的解要符合给定的取值范围。
【难度系数】
0.65
(1) 解题核心是找准等量关系：一个快充桩与一个慢充桩的日充电总量相等。已知快充单价为$x$元/度，由快充单价比慢充多0.4元/度，可得慢充单价为$(x-0.4)$元/度。再根据“日充电总量=单次平均充电量×日使用次数”，分别表示出快充、慢充的日充电总量，列分式方程求解，最后检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 解题核心等量关系为：每个快充桩的日收益=50元。先根据单价与日充电量的变化规律表示出单价为$x$时的日充电量：单价为1元时日充电量100度，每降价0.1元日充电量增10度，因此单价为$x$时，日充电量为$100+\frac{1-x}{0.1}×10$；再结合“日收益=日充电量×(充电单价-电价)”列一元二次方程，求解后验证解是否在$0.5≤x≤2$的范围内即可。
【解析】
(1) 设当日快充充电单价为$x$元/度，则慢充充电单价为$(x-0.4)$元/度。
根据快充与慢充日充电总量相等，列方程：
$40×\frac{120}{x+2}=32×\frac{80}{x-0.4+1}$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，分母$(x+2)(x+0.6)≠0$，因此$x=1$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 根据题意，单价为$x$元/度时，日充电量为$(100+\frac{1-x}{0.1}×10)$度，结合日收益为50元列方程：
$(100+\frac{1-x}{0.1}×10)(x-0.5)=50$
解得：$x_1=1$，$x_2=1.5$
验证：两个解都满足$0.5≤x≤2$，均符合题意。
【答案】
(1) 当日的快充充电单价为1元/度；
(2) 快充充电单价为1元/度或1.5元/度时，每个快充桩的日收益为50元。
【知识点】
分式方程的应用、一元二次方程的应用、实际问题解的检验
【点评】
本题贴近生活实际，考查利用方程解决实际应用问题的能力，解题的关键是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列方程，同时要注意分式方程必须验根，实际问题的解要符合给定的取值范围。
【难度系数】
0.65
20. 某杨梅采摘园收费信息如下表：
（1）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
（2）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，这次参加团建的共有多少人？
（1）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
（2）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，这次参加团建的共有多少人？
答案
20. 解:(1) $\because (30-18)÷1=12$(人),$10+12=22$(人),$\therefore$ 当成人人数大于或等于22人时,成人票都是18元/人.$\because 35-10=25$(人),$25＞22$,$\therefore$ 该社团购买的成人票价为18元/人.设本次活动他们共带出 $x$ 斤杨梅,根据题意,得$10×18+25×18+30x≤1530$,解得 $x≤30$.答:本次活动他们最多共带出杨梅30斤；
(2) 设参加团建的共有 $y$ 人.$\because 30×10=300$(元),$18×22=396$(元),$300＜384＜396$,$\therefore 10＜y＜22$.根据题意得$[30-(y-10)]y=384$,整理得$y^2-40y+384=0$,解得$y_1=16$,$y_2=24$(不合题意,舍去).答:这次参加团建的共有16人.
(2) 设参加团建的共有 $y$ 人.$\because 30×10=300$(元),$18×22=396$(元),$300＜384＜396$,$\therefore 10＜y＜22$.根据题意得$[30-(y-10)]y=384$,整理得$y^2-40y+384=0$,解得$y_1=16$,$y_2=24$(不合题意,舍去).答:这次参加团建的共有16人.
解析
【分析】
（1）首先需先确定成人票的单价：根据成人票优惠规则，先计算出成人票价降至最低18元/人时对应的最少成人人数，再结合本次活动的成人总人数判断实际成人票价；接着设带出杨梅的重量为未知数，根据“儿童票总费用+成人票总费用+杨梅总费用≤1530”列不等式求解即可得到最多带出杨梅的重量。
（2）首先判断团建人数的范围：先计算10个成人的总票价、成人票价降至最低时对应人数的总票价，结合支付的总票价384元确定人数的取值范围；再设人数为未知数，根据“人均票价×人数=总票价”列一元二次方程求解，舍去不符合人数范围的解即可得到结果。
【解析】
（1）首先计算成人票价降至最低18元/人时的成人人数：
成人票从30元/人降到18元/人，共下降了$30-18=12$元，每增加1人票价降1元，所以此时总成人人数为$10+12=22$人，即成人人数≥22人时，成人票均为18元/人。
本次活动成人人数为$35-10=25$人，$25＞22$，因此成人票单价为18元/人。
设本次活动共带出$x$斤杨梅，根据总费用不超过1530元列不等式：
$10×18 + 25×18 + 30x ≤1530$
计算得：$180+450+30x ≤1530$，即$630+30x ≤1530$
化简得：$30x ≤900$，解得$x≤30$
（2）设参加团建的共有$y$人。
先判断人数范围：10个成人的总票价为$10×30=300$元，成人票价最低时22人的总票价为$22×18=396$元，已知总票价384元满足$300＜384＜396$，因此人数$y$满足$10＜y＜22$，此时人均票价为$30-(y-10)$元。
根据总票价列方程：
$[30-(y-10)]y=384$
整理得：$y^2 -40y +384=0$
解得：$y_1=16$，$y_2=24$
因为$10＜y＜22$，所以$y_2=24$不符合题意，舍去。
【答案】
（1）本次活动他们最多共带出杨梅30斤；
（2）这次参加团建的共有16人。
【知识点】
一元一次不等式应用；一元二次方程应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际场景考查费用类实际问题的求解，解题的关键是先根据收费规则确定对应人数区间的票价，再根据等量关系或不等关系列关系式求解，注意最终结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
（1）首先需先确定成人票的单价：根据成人票优惠规则，先计算出成人票价降至最低18元/人时对应的最少成人人数，再结合本次活动的成人总人数判断实际成人票价；接着设带出杨梅的重量为未知数，根据“儿童票总费用+成人票总费用+杨梅总费用≤1530”列不等式求解即可得到最多带出杨梅的重量。
（2）首先判断团建人数的范围：先计算10个成人的总票价、成人票价降至最低时对应人数的总票价，结合支付的总票价384元确定人数的取值范围；再设人数为未知数，根据“人均票价×人数=总票价”列一元二次方程求解，舍去不符合人数范围的解即可得到结果。
【解析】
（1）首先计算成人票价降至最低18元/人时的成人人数：
成人票从30元/人降到18元/人，共下降了$30-18=12$元，每增加1人票价降1元，所以此时总成人人数为$10+12=22$人，即成人人数≥22人时，成人票均为18元/人。
本次活动成人人数为$35-10=25$人，$25＞22$，因此成人票单价为18元/人。
设本次活动共带出$x$斤杨梅，根据总费用不超过1530元列不等式：
$10×18 + 25×18 + 30x ≤1530$
计算得：$180+450+30x ≤1530$，即$630+30x ≤1530$
化简得：$30x ≤900$，解得$x≤30$
（2）设参加团建的共有$y$人。
先判断人数范围：10个成人的总票价为$10×30=300$元，成人票价最低时22人的总票价为$22×18=396$元，已知总票价384元满足$300＜384＜396$，因此人数$y$满足$10＜y＜22$，此时人均票价为$30-(y-10)$元。
根据总票价列方程：
$[30-(y-10)]y=384$
整理得：$y^2 -40y +384=0$
解得：$y_1=16$，$y_2=24$
因为$10＜y＜22$，所以$y_2=24$不符合题意，舍去。
【答案】
（1）本次活动他们最多共带出杨梅30斤；
（2）这次参加团建的共有16人。
【知识点】
一元一次不等式应用；一元二次方程应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活实际场景考查费用类实际问题的求解，解题的关键是先根据收费规则确定对应人数区间的票价，再根据等量关系或不等关系列关系式求解，注意最终结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
