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1.通过配成来解一元二次方程的方法，叫作配方法。
答案
完全平方形式
2.式子叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即。当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。
答案
解：依次填入：
$b^2-4ac$
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta ＞ 0$
$\Delta = 0$
$\Delta ＜ 0$
$b^2-4ac$
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta ＞ 0$
$\Delta = 0$
$\Delta ＜ 0$
3.当$\Delta≥0$时，方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根可写成的形式，这个式子叫作一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的求根公式。
答案
解：
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
4.解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作。
答案
解：公式法
5.先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作.
答案
解：因式分解法
6.一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根$x_1,x_2$与其系数$a,b,c$有如下关系：$x_1 + x_2 =$，$x_1x_2 =$。
答案
$-\dfrac{b}{a}$；$\dfrac{c}{a}$
解析
解：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，由求根公式可得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
设方程的两个根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
则：
$\begin{aligned}x_1+x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}\\&=-\frac{b}{a}\end{aligned}$
$\begin{aligned}x_1x_2&=(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})·(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\\&=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}\\&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=\frac{4ac}{4a^2}\\&=\frac{c}{a}\end{aligned}$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，由求根公式可得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
设方程的两个根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
则：
$\begin{aligned}x_1+x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}\\&=-\frac{b}{a}\end{aligned}$
$\begin{aligned}x_1x_2&=(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})·(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\\&=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}\\&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=\frac{4ac}{4a^2}\\&=\frac{c}{a}\end{aligned}$
【例】 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + k = 0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$k$的取值范围;
(2)若$m$是方程的根,且$m^2 + 2m = 2$,求$k$的值.
【解题指引】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程解的定义.(1)根据根的判别式,即可得出关于$k$的一元一次不等式,解之即可得出结论.
(2)根据一元二次方程解的定义得到$m^2 + 2m = -k$,代入等式,整理后即可求得.
【解析】(1)∵方程$x^2 + 2x + k = 0$有两个不相等的实数根,
∴$\Delta = 2^2 - 4×1×k = 4 - 4k ＞ 0$,
∴$k ＜ 1$.
(2)∵$m$是方程的根,
∴$m^2 + 2m + k = 0$,即$m^2 + 2m = -k$.
∵$m^2 + 2m = 2$,
∴$-k = 2$,
∴$k = -2$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$k$的取值范围;
(2)若$m$是方程的根,且$m^2 + 2m = 2$,求$k$的值.
【解题指引】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程解的定义.(1)根据根的判别式,即可得出关于$k$的一元一次不等式,解之即可得出结论.
(2)根据一元二次方程解的定义得到$m^2 + 2m = -k$,代入等式,整理后即可求得.
【解析】(1)∵方程$x^2 + 2x + k = 0$有两个不相等的实数根,
∴$\Delta = 2^2 - 4×1×k = 4 - 4k ＞ 0$,
∴$k ＜ 1$.
(2)∵$m$是方程的根,
∴$m^2 + 2m + k = 0$,即$m^2 + 2m = -k$.
∵$m^2 + 2m = 2$,
∴$-k = 2$,
∴$k = -2$.
答案
解：
(1) ∵ 方程$x^2 + 2x + k = 0$有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta = 2^2 - 4×1× k = 4 - 4k ＞ 0$，
解得 $k ＜ 1$。
(2) ∵ $m$是方程的根，
∴ 将$x=m$代入方程得 $m^2 + 2m + k = 0$，即 $m^2 + 2m = -k$。
∵ $m^2 + 2m = 2$，
∴ $-k = 2$，
解得 $k = -2$。
(1) ∵ 方程$x^2 + 2x + k = 0$有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta = 2^2 - 4×1× k = 4 - 4k ＞ 0$，
解得 $k ＜ 1$。
(2) ∵ $m$是方程的根，
∴ 将$x=m$代入方程得 $m^2 + 2m + k = 0$，即 $m^2 + 2m = -k$。
∵ $m^2 + 2m = 2$，
∴ $-k = 2$，
解得 $k = -2$。
1. 一元二次方程$x^2=3$的根为（
A.$x=\sqrt{3}$
B.$x_1=\sqrt{3},x_2=0$
C.$x_1=x_2=\sqrt{3}$
D.$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
D
）A.$x=\sqrt{3}$
B.$x_1=\sqrt{3},x_2=0$
C.$x_1=x_2=\sqrt{3}$
D.$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
答案
1.D
2.用配方法解一元二次方程$x^2 - 4x - 1 = 0$，配方正确的是 （
A.$(x - 2)^2 = 3$
B.$(x + 2)^2 = 3$
C.$(x - 2)^2 = 5$
D.$(x - 1)^2 = 5$
C
）A.$(x - 2)^2 = 3$
B.$(x + 2)^2 = 3$
C.$(x - 2)^2 = 5$
D.$(x - 1)^2 = 5$
答案
2.C
3.如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$能用公式法求解，那么必须满足的条件是（
A.$b^2-4ac≥0$
B.$b^2-4ac≤0$
C.$b^2-4ac＞0$
D.$b^2-4ac＜0$
A
）A.$b^2-4ac≥0$
B.$b^2-4ac≤0$
C.$b^2-4ac＞0$
D.$b^2-4ac＜0$
答案
3.A
4.方程$2x(x-3)+5(3-x)=3-x$的根是（
A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x_1=2,x_2=3$
D.$x_1=-2,x_2=3$
C
）A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x_1=2,x_2=3$
D.$x_1=-2,x_2=3$
答案
4.C
