5.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$有两个相等的实数根，则实数$m$的值为.

5.1

6.已知关于$x$的一元二次方程$(x-2)^2=2(x-2)$，它的根为。

6.$x_1=2,x_2=4$

7.若$x_1$与$x_2$是方程$2x^2 - 4x + 1 = 0$的两个实数根，则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =$。

7.4

8.解方程：
(1)$(x+2)^2 = 3x + 6$；
(2)$x^2 + 6x + 4 = 0$(配方法或公式法)；
(3)$2x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4)$(x+3)^2 = 4(x+3)$。

8.解析:(1)原方程整理,得$(x+2)^2 - 3(x+2)=0$,
因式分解,得$(x+2)(x-1)=0$,
解得$x_1=-2,x_2=1$.
(2)原方程整理,得$x^2+6x=-4$,
配方,得$x^2+6x+3^2=-4+3^2$,
即$(x+3)^2=5$,
直接开平方,得$x+3=\pm\sqrt{5}$,
解得$x_1=\sqrt{5}-3,x_2=-\sqrt{5}-3$.
(3)$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4×2×(-1)=16+8=24$,
$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$,
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{6}}{2}$.
(4)移项,得$(x+3)^2-4(x+3)=0$,
因式分解,得$(x+3)(x+3-4)=0$,即$(x+3)(x-1)=0$,
解得$x_1=-3,x_2=1$.

9. 对于实数$a,b$,定义一种运算“$\oplus$”为:$a\oplus b = a^2 - 2b$,若关于$x$的方程:$(x+1)\oplus (3m)=0$没有实数根,求实数$m$的取值范围.

9.解析:由题意可得$(x+1)^2-2×3m=0$,
整理得$x^2+2x+1-6m=0$.
$\because$该方程没有实数根,
$\therefore\Delta=4-4(1-6m)＜0$,
解得$m＜0$.

10. 关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +k -1=0$.
(1)如果方程有实数根,求$k$的取值范围;
(2)如果$x_1,x_2$是这个方程的两个根,且$x_1^2 +x_2^2 +3x_1x_2=24$,求$k$的值.

10.解析:(1)$\because$方程有实数根,
$\therefore\Delta=(-6)^2-4(k-1)≥0$,
解得$k≤10$.
(2)$\because x_1,x_2$是这个方程的两个根,
$\therefore x_1+x_2=6,x_1x_2=k-1$.
$\because x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=24$,
$\therefore (x_1+x_2)^2+x_1x_2=24$,
即$6^2+k-1=24$,
解得$k=-11$.