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1 点$(-1,y_1)$，$(2,y_2)$，$(4,y_3)$都在抛物线$y=-x^2+2x+c$上，则$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系是(
A.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
B.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
C.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
D.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
A
)。A.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
B.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
C.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
D.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
答案
A
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的函数值大小，有两种常用思路：思路一：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线，离对称轴越远的点函数值越小，计算三个点到对称轴的距离即可比较；思路二：直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，求出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的表达式，再比较大小。
【解析】
方法一（利用二次函数性质）：
对于抛物线$y=-x^2+2x+c$，其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小：
点$(-1,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$\vert -1-1\vert=2$；
点$(2,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$\vert 2-1\vert=1$；
点$(4,y_3)$到对称轴$x=1$的距离为$\vert 4-1\vert=3$。
因为$3＞2＞1$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。
方法二（代入计算法）：
将三个点的横坐标分别代入解析式：
当$x=-1$时，$y_1=-(-1)^2+2×(-1)+c=c-3$；
当$x=2$时，$y_2=-2^2+2×2+c=c$；
当$x=4$时，$y_3=-4^2+2×4+c=c-8$。
因为$c-8＜c-3＜c$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质；函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数相关性质的应用，两种解题方法中，利用对称轴和开口方向判断函数值大小的方法计算量更小，解题效率更高，建议熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三个点的函数值大小，有两种常用思路：思路一：先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线，离对称轴越远的点函数值越小，计算三个点到对称轴的距离即可比较；思路二：直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，求出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的表达式，再比较大小。
【解析】
方法一（利用二次函数性质）：
对于抛物线$y=-x^2+2x+c$，其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
开口向下的抛物线上，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小：
点$(-1,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$\vert -1-1\vert=2$；
点$(2,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$\vert 2-1\vert=1$；
点$(4,y_3)$到对称轴$x=1$的距离为$\vert 4-1\vert=3$。
因为$3＞2＞1$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。
方法二（代入计算法）：
将三个点的横坐标分别代入解析式：
当$x=-1$时，$y_1=-(-1)^2+2×(-1)+c=c-3$；
当$x=2$时，$y_2=-2^2+2×2+c=c$；
当$x=4$时，$y_3=-4^2+2×4+c=c-8$。
因为$c-8＜c-3＜c$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象性质；函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数相关性质的应用，两种解题方法中，利用对称轴和开口方向判断函数值大小的方法计算量更小，解题效率更高，建议熟练掌握该方法。
【难度系数】
0.8
2 二次函数$y=x^2 -4x +3$的图像交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为（
A.6
B.4
C.3
D.1
C
）。A.6
B.4
C.3
D.1
答案
C
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：1. A、B是二次函数图像与x轴的交点，令y=0，解对应的一元二次方程即可得到A、B的横坐标，进而求出AB的长度（即三角形的底）；2. C是二次函数图像与y轴的交点，令x=0，代入函数式可得到C的纵坐标，其绝对值就是△ABC中AB边上的高；最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求A、B两点坐标及AB的长度
令$y=0$，得方程：$x^2 -4x +3=0$
因式分解得：$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
所以A、B两点坐标为$(1,0)$、$(3,0)$，则$AB=3-1=2$
步骤2：求C点坐标
令$x=0$，代入函数式得$y=0^2-4×0+3=3$，即C点坐标为$(0,3)$，C点到x轴的距离为3，也就是△ABC中AB边上的高为3
步骤3：计算面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
C
【知识点】
二次函数与坐标轴交点；两点间距离；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，核心考察二次函数和坐标轴交点的求解方法，掌握该知识点即可快速解题，是二次函数章节的常规考点。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：1. A、B是二次函数图像与x轴的交点，令y=0，解对应的一元二次方程即可得到A、B的横坐标，进而求出AB的长度（即三角形的底）；2. C是二次函数图像与y轴的交点，令x=0，代入函数式可得到C的纵坐标，其绝对值就是△ABC中AB边上的高；最后用三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求A、B两点坐标及AB的长度
令$y=0$，得方程：$x^2 -4x +3=0$
因式分解得：$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
所以A、B两点坐标为$(1,0)$、$(3,0)$，则$AB=3-1=2$
步骤2：求C点坐标
令$x=0$，代入函数式得$y=0^2-4×0+3=3$，即C点坐标为$(0,3)$，C点到x轴的距离为3，也就是△ABC中AB边上的高为3
步骤3：计算面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
C
【知识点】
二次函数与坐标轴交点；两点间距离；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题型，核心考察二次函数和坐标轴交点的求解方法，掌握该知识点即可快速解题，是二次函数章节的常规考点。
【难度系数】
0.8
3 已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的两个实数根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=4$和$x_1 · x_2=3$，那么二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图像有可能是(
C
)答案
C
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：首先由a＞0确定抛物线开口方向，本题四个选项开口均向上，接着利用一元二次方程根与系数的关系求出抛物线的对称轴，排除对称轴不符合的选项；再根据两根乘积的符号判断两根的正负性，确定抛物线与x轴交点的位置，最终选出符合要求的选项。
【解析】
1. 确定对称轴：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，由根与系数的关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$，因此二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2$，选项A、B的对称轴为直线$x=-2$，不符合要求，排除A、B。
2. 判断根的符号：已知$x_1· x_2=3＞0$，说明两个实数根同号，又因为$x_1+x_2=4＞0$，可得$x_1＞0$、$x_2＞0$，即二次函数图像与x轴的两个交点都在x轴正半轴。
3. 验证剩余选项：选项C的对称轴为$x=2$，与x轴的两个交点都在正半轴，符合条件；选项D与x轴的交点一个在负半轴、一个在正半轴，两根乘积为负，不符合$x_1· x_2=3$的要求，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；根与系数的关系；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数相关的基础综合题，解题核心是将一元二次方程根的特征和二次函数的图像性质结合起来，通过根与系数的关系快速推导抛物线的对称轴、与x轴交点的位置特征，避免了复杂的计算。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：首先由a＞0确定抛物线开口方向，本题四个选项开口均向上，接着利用一元二次方程根与系数的关系求出抛物线的对称轴，排除对称轴不符合的选项；再根据两根乘积的符号判断两根的正负性，确定抛物线与x轴交点的位置，最终选出符合要求的选项。
【解析】
1. 确定对称轴：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，由根与系数的关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$，因此二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2$，选项A、B的对称轴为直线$x=-2$，不符合要求，排除A、B。
2. 判断根的符号：已知$x_1· x_2=3＞0$，说明两个实数根同号，又因为$x_1+x_2=4＞0$，可得$x_1＞0$、$x_2＞0$，即二次函数图像与x轴的两个交点都在x轴正半轴。
3. 验证剩余选项：选项C的对称轴为$x=2$，与x轴的两个交点都在正半轴，符合条件；选项D与x轴的交点一个在负半轴、一个在正半轴，两根乘积为负，不符合$x_1· x_2=3$的要求，排除D。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；根与系数的关系；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数相关的基础综合题，解题核心是将一元二次方程根的特征和二次函数的图像性质结合起来，通过根与系数的关系快速推导抛物线的对称轴、与x轴交点的位置特征，避免了复杂的计算。
【难度系数】
0.7
④ $A(-5, m)$，$B(b, n)$在二次函数$y=ax^2 + 2ax + 1(a ＜ 0)$的图像上，且$m ＞ n$，$b$的值可能是(
A.1
B.-1
C.5
D.0
C
)。A.1
B.-1
C.5
D.0
答案
C
解析
【分析】
首先要明确二次函数的开口方向和对称轴：开口向下的二次函数，图像上的点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大。先通过对称轴公式计算出给定二次函数的对称轴，再算出点A到对称轴的距离，结合m＞n的条件推导点B到对称轴的距离范围，最后验证选项即可得到答案。
【解析】
1. 计算二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+2ax+1$，由对称轴公式$x=-\frac{\mathrm{一次项系数}}{2×\mathrm{二次项系数}}$，可得对称轴为：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$
2. 分析函数增减性规律：已知$a＜0$，二次函数开口向下，因此点到对称轴$x=-1$的水平距离越小，对应函数值越大。
3. 计算点A到对称轴的距离：点A横坐标为-5，到$x=-1$的距离为$|-5-(-1)|=4$。
4. 推导b的取值范围：因为$m＞n$，说明点A的函数值更大，因此点B到对称轴的距离要大于4，即$|b-(-1)|＞4$，解绝对值不等式得：
$b+1＞4$或$b+1＜-4$，即$b＞3$或$b＜-5$。
5. 验证选项：只有$b=5$满足$b＞3$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数增减性；绝对值不等式求解
【点评】
本题核心是利用二次函数的图像性质建立不等式，熟练掌握开口方向、对称轴与函数值的对应关系，就能快速突破解题，避免代入计算的繁琐。
【难度系数】
0.65
首先要明确二次函数的开口方向和对称轴：开口向下的二次函数，图像上的点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大。先通过对称轴公式计算出给定二次函数的对称轴，再算出点A到对称轴的距离，结合m＞n的条件推导点B到对称轴的距离范围，最后验证选项即可得到答案。
【解析】
1. 计算二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+2ax+1$，由对称轴公式$x=-\frac{\mathrm{一次项系数}}{2×\mathrm{二次项系数}}$，可得对称轴为：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$
2. 分析函数增减性规律：已知$a＜0$，二次函数开口向下，因此点到对称轴$x=-1$的水平距离越小，对应函数值越大。
3. 计算点A到对称轴的距离：点A横坐标为-5，到$x=-1$的距离为$|-5-(-1)|=4$。
4. 推导b的取值范围：因为$m＞n$，说明点A的函数值更大，因此点B到对称轴的距离要大于4，即$|b-(-1)|＞4$，解绝对值不等式得：
$b+1＞4$或$b+1＜-4$，即$b＞3$或$b＜-5$。
5. 验证选项：只有$b=5$满足$b＞3$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数增减性；绝对值不等式求解
【点评】
本题核心是利用二次函数的图像性质建立不等式，熟练掌握开口方向、对称轴与函数值的对应关系，就能快速突破解题，避免代入计算的繁琐。
【难度系数】
0.65
5 中国足球队在某次集训中,一队员在距离球门12米处的挑射,正好射中了2.4米高的球门横梁。若足球运行的路线是抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $（
）,有下列结论:① $ a ＜ -\dfrac{1}{60} $;② $ -\dfrac{1}{60} ＜ a ＜ 0 $;③ $ a - b + c ＞ 0 $;④ $ 0 ＜ b ＜ -12a $,其中正确的是(
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
）,有下列结论:① $ a ＜ -\dfrac{1}{60} $;② $ -\dfrac{1}{60} ＜ a ＜ 0 $;③ $ a - b + c ＞ 0 $;④ $ 0 ＜ b ＜ -12a $,其中正确的是(B
)。A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
B [提示:因为抛物线开口向下,所以a ＜ 0。又因为抛物线过点(12,0),(0,2.4),将(12,0)代入y=ax²+bx+c,得144a+12b+c=0,将(0,2.4)代入,得c=2.4,即144a+12b+2.4=0,化简得144a+12b=-2.4,12a+b=-0.2,b=-0.2-12a。因为抛物线的对称轴在y轴右侧,所以x=-b/(2a)＞0,即-(-0.2-12a)/(2a)＞0,(0.2+12a)/(2a)＞0,因为2a＜0,所以0.2+12a＜0,所以a＜-1/60,故①正确,②错误。由a-b+c=a-(-0.2-12a)+2.4=13a+2.6＜13×(-1/60)+26/10=143/60,可正可负,所以③错误。因为b=-0.2-12a,且a＜-1/60,所以b=-0.2-12a＜-12a,且b＞0,即0＜b＜-12a,故④正确。]
解析
【分析】
解题时先从抛物线经过的两个已知点入手，先求出常数项c，再推导得到a与b的关系式；接下来结合抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧的图像特征，推导a的取值范围，判断结论①②的正误；再将b、c代入a-b+c，结合a的取值范围判断结论③是否成立；最后根据a的范围推导b的取值范围，判断结论④的正误，最终选出正确选项。
【解析】
1. 求已知点对应的系数关系
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$(0,2.4)$，代入得$c=2.4$；
又抛物线过点$(12,0)$，代入解析式得：$144a + 12b + 2.4 = 0$，
化简得$12a + b = -0.2$，即$b = -0.2 - 12a$。
2. 判断a的取值范围，验证结论①②
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
已知$a＜0$，则分母$2a＜0$，要使分式值为正，需分子$-b＜0$，即$b＞0$；
将$b=-0.2-12a$代入$-\frac{b}{2a}＞0$，得$\frac{0.2+12a}{2a}＞0$，
∵$2a＜0$，
∴$0.2+12a＜0$，解得$a＜-\frac{0.2}{12}=-\frac{1}{60}$，故①正确，②错误。
3. 验证结论③
将$b=-0.2-12a$、$c=2.4$代入$a-b+c$得：
$a-b+c=a-(-0.2-12a)+2.4=13a+2.6$，
∵$a＜-\frac{1}{60}$，
∴$13a+2.6＜13×(-\frac{1}{60})+2.6=\frac{143}{60}$，其值可正可负，无法确定一定大于0，故③错误。
4. 验证结论④
由$b=-0.2-12a$，可得$b=-12a-0.2＜-12a$，
又已证得$b＞0$，故$0＜b＜-12a$，④正确。
综上，①④正确，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数系数符号判断
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数图像与系数的关系，解题时需结合图像开口方向、对称轴位置、经过的特殊点等信息逐步推导系数的取值范围，再逐一验证结论，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
解题时先从抛物线经过的两个已知点入手，先求出常数项c，再推导得到a与b的关系式；接下来结合抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧的图像特征，推导a的取值范围，判断结论①②的正误；再将b、c代入a-b+c，结合a的取值范围判断结论③是否成立；最后根据a的范围推导b的取值范围，判断结论④的正误，最终选出正确选项。
【解析】
1. 求已知点对应的系数关系
∵抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$(0,2.4)$，代入得$c=2.4$；
又抛物线过点$(12,0)$，代入解析式得：$144a + 12b + 2.4 = 0$，
化简得$12a + b = -0.2$，即$b = -0.2 - 12a$。
2. 判断a的取值范围，验证结论①②
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，
已知$a＜0$，则分母$2a＜0$，要使分式值为正，需分子$-b＜0$，即$b＞0$；
将$b=-0.2-12a$代入$-\frac{b}{2a}＞0$，得$\frac{0.2+12a}{2a}＞0$，
∵$2a＜0$，
∴$0.2+12a＜0$，解得$a＜-\frac{0.2}{12}=-\frac{1}{60}$，故①正确，②错误。
3. 验证结论③
将$b=-0.2-12a$、$c=2.4$代入$a-b+c$得：
$a-b+c=a-(-0.2-12a)+2.4=13a+2.6$，
∵$a＜-\frac{1}{60}$，
∴$13a+2.6＜13×(-\frac{1}{60})+2.6=\frac{143}{60}$，其值可正可负，无法确定一定大于0，故③错误。
4. 验证结论④
由$b=-0.2-12a$，可得$b=-12a-0.2＜-12a$，
又已证得$b＞0$，故$0＜b＜-12a$，④正确。
综上，①④正确，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数系数符号判断
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数图像与系数的关系，解题时需结合图像开口方向、对称轴位置、经过的特殊点等信息逐步推导系数的取值范围，再逐一验证结论，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
6 已知抛物线$y=ax^2 -8ax +3$（$a$为常数，且$a≠0$）上有$A(1,y_1)$、$B(2,y_2)$、$C(3,y_3)$、$D(5,y_4)$四个点，若$y_1$、$y_2$、$y_3$、$y_4$四个数中有且只有一个数大于0，则$a$的取值范围是（
A.$a≤\frac{3}{7}$
B.$\frac{1}{4}≤a＜\frac{3}{7}$
C.$a≥\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$
B
）。A.$a≤\frac{3}{7}$
B.$\frac{1}{4}≤a＜\frac{3}{7}$
C.$a≥\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
首先先求抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性得到y₃=y₄，再结合“有且只有一个数大于0”的条件判断a的符号：若a＜0，抛物线开口向下，y₃=y₄是四个函数值里的最大值，要么两个大于0要么全不大于0，不符合要求，因此a＞0，开口向上。开口向上时，离对称轴越远函数值越大，可得y₁＞y₂＞y₃=y₄，要满足只有1个值大于0，只能是最大的y₁＞0，其余y₂≤0（若y₂＞0则y₁也大于0，就有两个值大于0；若y₁≤0则四个值全不大于0，都不符合），最后解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于抛物线$y=ax^2-8ax+3$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{8a}{2a}=4$，因为点$C(3,y_3)$和$D(5,y_4)$关于$x=4$对称，因此$y_3=y_4$。
2. 判断a的符号：
若$a＜0$，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，因此$y_3=y_4$是四个函数值的最大值。若$y_3=y_4＞0$，则有2个值大于0，不符合题意；若$y_3=y_4≤0$，则四个值全部≤0，也不符合题意，因此$a＞0$。
3. 确定函数值大小：$a＞0$时，开口向上，离对称轴越远函数值越大，四个点到对称轴的距离分别为$|1-4|=3$、$|2-4|=2$、$|3-4|=1$、$|5-4|=1$，因此$y_1＞y_2＞y_3=y_4$。
4. 列不等式组求解：
要满足有且只有一个值大于0，需满足$\begin{cases}y_1＞0 \\ y_2≤0 \end{cases}$
代入点坐标得：
$\begin{cases}a×1^2-8a×1+3＞0 \\ a×2^2-8a×2+3≤0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}-7a+3＞0 \\ -12a+3≤0 \end{cases}$
解得$\frac{1}{4}≤a＜\frac{3}{7}$，此时$y_3=y_4=-15a+3≤-\frac{15}{4}+3＜0$，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题结合二次函数的对称性、增减性考查不等式组的应用，解题的核心是先通过对称轴判断函数值的大小关系，再结合限定条件列不等式，是二次函数的经典综合题型。
【难度系数】
0.6
首先先求抛物线的对称轴，利用二次函数的对称性得到y₃=y₄，再结合“有且只有一个数大于0”的条件判断a的符号：若a＜0，抛物线开口向下，y₃=y₄是四个函数值里的最大值，要么两个大于0要么全不大于0，不符合要求，因此a＞0，开口向上。开口向上时，离对称轴越远函数值越大，可得y₁＞y₂＞y₃=y₄，要满足只有1个值大于0，只能是最大的y₁＞0，其余y₂≤0（若y₂＞0则y₁也大于0，就有两个值大于0；若y₁≤0则四个值全不大于0，都不符合），最后解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于抛物线$y=ax^2-8ax+3$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{8a}{2a}=4$，因为点$C(3,y_3)$和$D(5,y_4)$关于$x=4$对称，因此$y_3=y_4$。
2. 判断a的符号：
若$a＜0$，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，因此$y_3=y_4$是四个函数值的最大值。若$y_3=y_4＞0$，则有2个值大于0，不符合题意；若$y_3=y_4≤0$，则四个值全部≤0，也不符合题意，因此$a＞0$。
3. 确定函数值大小：$a＞0$时，开口向上，离对称轴越远函数值越大，四个点到对称轴的距离分别为$|1-4|=3$、$|2-4|=2$、$|3-4|=1$、$|5-4|=1$，因此$y_1＞y_2＞y_3=y_4$。
4. 列不等式组求解：
要满足有且只有一个值大于0，需满足$\begin{cases}y_1＞0 \\ y_2≤0 \end{cases}$
代入点坐标得：
$\begin{cases}a×1^2-8a×1+3＞0 \\ a×2^2-8a×2+3≤0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}-7a+3＞0 \\ -12a+3≤0 \end{cases}$
解得$\frac{1}{4}≤a＜\frac{3}{7}$，此时$y_3=y_4=-15a+3≤-\frac{15}{4}+3＜0$，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题结合二次函数的对称性、增减性考查不等式组的应用，解题的核心是先通过对称轴判断函数值的大小关系，再结合限定条件列不等式，是二次函数的经典综合题型。
【难度系数】
0.6
7 若二次函数$y=-2x^2 -3x +c$的图像与x轴无交点，则c的取值范围是
$c ＜ -\dfrac{9}{8}$
。答案
$c ＜ -\dfrac{9}{8}$
解析
【分析】
要确定二次函数图像与x轴无交点时c的取值范围，首先明确二次函数与x轴的交点对应“y=0时所得一元二次方程的实数根”：无交点就等价于对应的一元二次方程没有实数根，此时根的判别式Δ＜0。我们只需要找出对应一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项，代入判别式列不等式求解即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=-2x^2 -3x +c$的图像与x轴无交点
∴ 对应的一元二次方程$-2x^2 -3x +c=0$无实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=-2$，$b=-3$，常数项为$c$，无实根则$\Delta＜0$，代入得：
$(-3)^2 - 4×(-2)× c ＜ 0$
计算得：$9 + 8c ＜ 0$
移项得：$8c ＜ -9$
两边同时除以8得：$c ＜ -\dfrac{9}{8}$
【答案】
$c ＜ -\dfrac{9}{8}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图像与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，解题的关键是熟练掌握判别式和交点个数的对应规律，计算时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数图像与x轴无交点时c的取值范围，首先明确二次函数与x轴的交点对应“y=0时所得一元二次方程的实数根”：无交点就等价于对应的一元二次方程没有实数根，此时根的判别式Δ＜0。我们只需要找出对应一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项，代入判别式列不等式求解即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=-2x^2 -3x +c$的图像与x轴无交点
∴ 对应的一元二次方程$-2x^2 -3x +c=0$无实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=-2$，$b=-3$，常数项为$c$，无实根则$\Delta＜0$，代入得：
$(-3)^2 - 4×(-2)× c ＜ 0$
计算得：$9 + 8c ＜ 0$
移项得：$8c ＜ -9$
两边同时除以8得：$c ＜ -\dfrac{9}{8}$
【答案】
$c ＜ -\dfrac{9}{8}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图像与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，解题的关键是熟练掌握判别式和交点个数的对应规律，计算时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.7
8 抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(-1,m)$，$B(2,m)$，若点$M(1,y_1)$，$N(\dfrac{2}{5},y_2)$，$K(-\dfrac{1}{2},y_3)$也在二次函数$y=x^2+bx+c$的图像上，用“＜”表示$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系：
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
。答案
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
解析
【分析】
首先观察到点A、B纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，据此可先求出抛物线的对称轴；再由抛物线解析式可知二次项系数为正，开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大；最后分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可得出三个函数值的大小关系，无需计算b、c的具体值，简化解题过程。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(-1,m)$，$B(2,m)$，两点纵坐标相等
∴ 点A、B关于抛物线的对称轴对称
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}$
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大
分别计算点M、N、K到对称轴$x=\dfrac{1}{2}$的距离：
点$M(1,y_1)$到对称轴的距离：$\left|1-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$
点$N(\dfrac{2}{5},y_2)$到对称轴的距离：$\left|\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{2}\right|=\left|\dfrac{4}{10}-\dfrac{5}{10}\right|=\dfrac{1}{10}$
点$K(-\dfrac{1}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right|=1$
∵ $\dfrac{1}{10}＜\dfrac{1}{2}＜1$
∴ $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
【答案】
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
【知识点】
二次函数对称性，二次函数图象性质，函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用考题，无需计算解析式的未知系数，利用对称性求对称轴、结合开口方向和点到对称轴的距离即可比较函数值，解题方法灵活，能有效考查对二次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先观察到点A、B纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，据此可先求出抛物线的对称轴；再由抛物线解析式可知二次项系数为正，开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大；最后分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可得出三个函数值的大小关系，无需计算b、c的具体值，简化解题过程。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(-1,m)$，$B(2,m)$，两点纵坐标相等
∴ 点A、B关于抛物线的对称轴对称
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}$
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大
分别计算点M、N、K到对称轴$x=\dfrac{1}{2}$的距离：
点$M(1,y_1)$到对称轴的距离：$\left|1-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$
点$N(\dfrac{2}{5},y_2)$到对称轴的距离：$\left|\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{2}\right|=\left|\dfrac{4}{10}-\dfrac{5}{10}\right|=\dfrac{1}{10}$
点$K(-\dfrac{1}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right|=1$
∵ $\dfrac{1}{10}＜\dfrac{1}{2}＜1$
∴ $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
【答案】
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
【知识点】
二次函数对称性，二次函数图象性质，函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用考题，无需计算解析式的未知系数，利用对称性求对称轴、结合开口方向和点到对称轴的距离即可比较函数值，解题方法灵活，能有效考查对二次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
