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9 已知二次函数$y_1=ax^2+bx+c(a≠0)$与一次函数$y_2=kx+b(k≠0)$的图像相交于点$A(-2,4),B(8,2)$（如图所示），则能使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围是
第10题图①
第10题图②
$x ＜ -2 或 x ＞ 8$
。第10题图①
第10题图②
答案
$x ＜ -2 或 x ＞ 8$
解析
【分析】
要解决使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围问题，首先要明确函数值大小比较的几何意义：相同$x$取值下，$y_1＞y_2$对应二次函数$y_1$的图像位于一次函数$y_2$图像的上方。两个函数的交点横坐标就是$y_1=y_2$的分界点，将$x$轴分为三个区间，再结合二次函数的图像性质判断哪个区间内二次函数在上方，即可得到取值范围。
【解析】
1. 首先明确$y_1＞y_2$的几何含义：对于同一个自变量$x$，二次函数图像上的点在一次函数图像上的点的上方。
2. 已知两个函数图像交于点$A(-2,4)$和$B(8,2)$，说明当$x=-2$和$x=8$时，$y_1=y_2$，这两个$x$值是$y_1$和$y_2$大小关系的分界点，将数轴划分为$x＜-2$、$-2＜x＜8$、$x＞8$三个区间。
3. 结合二次函数图像的性质，抛物线开口向上时，抛物线在两个交点的外侧区域位于直线上方，即当$x＜-2$或$x＞8$时，满足$y_1＞y_2$。
【答案】
$x ＜ -2 或 x ＞ 8$
【知识点】
函数交点的意义；函数值大小的几何判断；二次函数图像性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只需掌握函数值大小与图像上下位置的对应关系，结合交点分界点即可快速求解，是二次函数与不等式结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围问题，首先要明确函数值大小比较的几何意义：相同$x$取值下，$y_1＞y_2$对应二次函数$y_1$的图像位于一次函数$y_2$图像的上方。两个函数的交点横坐标就是$y_1=y_2$的分界点，将$x$轴分为三个区间，再结合二次函数的图像性质判断哪个区间内二次函数在上方，即可得到取值范围。
【解析】
1. 首先明确$y_1＞y_2$的几何含义：对于同一个自变量$x$，二次函数图像上的点在一次函数图像上的点的上方。
2. 已知两个函数图像交于点$A(-2,4)$和$B(8,2)$，说明当$x=-2$和$x=8$时，$y_1=y_2$，这两个$x$值是$y_1$和$y_2$大小关系的分界点，将数轴划分为$x＜-2$、$-2＜x＜8$、$x＞8$三个区间。
3. 结合二次函数图像的性质，抛物线开口向上时，抛物线在两个交点的外侧区域位于直线上方，即当$x＜-2$或$x＞8$时，满足$y_1＞y_2$。
【答案】
$x ＜ -2 或 x ＞ 8$
【知识点】
函数交点的意义；函数值大小的几何判断；二次函数图像性质
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只需掌握函数值大小与图像上下位置的对应关系，结合交点分界点即可快速求解，是二次函数与不等式结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
⑩ 图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在$ l $时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m。如图②建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是
$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
。答案
$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先观察坐标系的建立方式，拱顶为坐标原点，抛物线对称轴为y轴，因此可设抛物线的顶点式为$y=ax^2$（$a≠0$）；其次根据题目给出的水面宽度和拱顶离水面的高度，确定抛物线上一个已知点的坐标；最后将点坐标代入解析式求出系数$a$，即可得到抛物线表达式。
【解析】
由题意可知，抛物线的顶点为坐标原点$(0,0)$，对称轴为y轴，因此设抛物线的解析式为$y=ax^2$（$a≠0$）。
已知水面宽4m，拱顶离水面2m，因此水面与抛物线的交点坐标为$(2,-2)$和$(-2,-2)$。
将点$(2,-2)$代入$y=ax^2$得：
$-2 = a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；抛物线的顶点式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合坐标系确定抛物线上的已知点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数顶点式的特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先观察坐标系的建立方式，拱顶为坐标原点，抛物线对称轴为y轴，因此可设抛物线的顶点式为$y=ax^2$（$a≠0$）；其次根据题目给出的水面宽度和拱顶离水面的高度，确定抛物线上一个已知点的坐标；最后将点坐标代入解析式求出系数$a$，即可得到抛物线表达式。
【解析】
由题意可知，抛物线的顶点为坐标原点$(0,0)$，对称轴为y轴，因此设抛物线的解析式为$y=ax^2$（$a≠0$）。
已知水面宽4m，拱顶离水面2m，因此水面与抛物线的交点坐标为$(2,-2)$和$(-2,-2)$。
将点$(2,-2)$代入$y=ax^2$得：
$-2 = a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；抛物线的顶点式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合坐标系确定抛物线上的已知点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数顶点式的特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11 隧道的截面是抛物线，且表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{13}{4}$，一辆车高3.1米，宽4米，该车
不能
（填“能”或“不能”）通过隧道。答案
不能
解析
【分析】
要判断车辆能否通过隧道，需计算出车辆宽度对应的隧道高度，再与车高比较。抛物线对称轴为y轴，车宽4米，说明车辆行驶在隧道中间时，左右边缘对应的横坐标为x=±2，代入抛物线解析式求出该位置的y值（即隧道此处的高度），若y≥3.1则能通过，反之不能。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为y轴，车宽为4米
∴ 车辆左右边缘对应的横坐标为$x=\pm\frac{4}{2}=\pm2$
将$x=2$代入抛物线表达式$y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{13}{4}$，得：
$y=-\frac{1}{8}×2^2+\frac{13}{4}=-\frac{1}{8}×4 + 3.25=-0.5+3.25=2.75$（米）
∵ $2.75＜3.1$，即该宽度处隧道高度低于车高
∴ 该车不能通过隧道。
【答案】
不能
【知识点】
二次函数的应用；函数值计算；抛物线对称性
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是找准车宽对应的横坐标取值，通过计算对应高度与车高的大小关系得出结论，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要判断车辆能否通过隧道，需计算出车辆宽度对应的隧道高度，再与车高比较。抛物线对称轴为y轴，车宽4米，说明车辆行驶在隧道中间时，左右边缘对应的横坐标为x=±2，代入抛物线解析式求出该位置的y值（即隧道此处的高度），若y≥3.1则能通过，反之不能。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为y轴，车宽为4米
∴ 车辆左右边缘对应的横坐标为$x=\pm\frac{4}{2}=\pm2$
将$x=2$代入抛物线表达式$y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{13}{4}$，得：
$y=-\frac{1}{8}×2^2+\frac{13}{4}=-\frac{1}{8}×4 + 3.25=-0.5+3.25=2.75$（米）
∵ $2.75＜3.1$，即该宽度处隧道高度低于车高
∴ 该车不能通过隧道。
【答案】
不能
【知识点】
二次函数的应用；函数值计算；抛物线对称性
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是找准车宽对应的横坐标取值，通过计算对应高度与车高的大小关系得出结论，是二次函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
12 从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度$h$（米）与小球运动时间$t$（秒）的函数表达式是$h=9.8t - 4.9t^2$，那么小球运动中的最大高度为
4.9
米。答案
4.9
解析
【分析】
首先明确小球高度$h$是关于运动时间$t$的二次函数，观察二次项系数为$-4.9＜0$，可知抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，可通过配方法或者二次函数顶点纵坐标公式求解最大高度。
【解析】
将函数整理为二次函数一般形式：$h=-4.9t^2+9.8t$，其中$a=-4.9$，$b=9.8$，$c=0$。
方法1：配方法
对函数配方变形：
$\begin{aligned}h&=-4.9(t^2-2t)\\&=-4.9(t^2-2t+1-1)\\&=-4.9(t-1)^2+4.9\end{aligned}$
由于$-4.9(t-1)^2≤0$，因此当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为4.9米。
方法2：顶点公式法
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数值计算：
$h_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-4.9)×0-9.8^2}{4×(-4.9)}=\frac{-96.04}{-19.6}=4.9$（米）
【答案】
4.9
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用，解题核心是根据二次函数开口方向判断最值对应顶点位置，可灵活选择配方法或顶点公式求解，计算量小。
【难度系数】
0.8
首先明确小球高度$h$是关于运动时间$t$的二次函数，观察二次项系数为$-4.9＜0$，可知抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值对应抛物线顶点的纵坐标，可通过配方法或者二次函数顶点纵坐标公式求解最大高度。
【解析】
将函数整理为二次函数一般形式：$h=-4.9t^2+9.8t$，其中$a=-4.9$，$b=9.8$，$c=0$。
方法1：配方法
对函数配方变形：
$\begin{aligned}h&=-4.9(t^2-2t)\\&=-4.9(t^2-2t+1-1)\\&=-4.9(t-1)^2+4.9\end{aligned}$
由于$-4.9(t-1)^2≤0$，因此当$t=1$时，$h$取得最大值，最大值为4.9米。
方法2：顶点公式法
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数值计算：
$h_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-4.9)×0-9.8^2}{4×(-4.9)}=\frac{-96.04}{-19.6}=4.9$（米）
【答案】
4.9
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的基础应用，解题核心是根据二次函数开口方向判断最值对应顶点位置，可灵活选择配方法或顶点公式求解，计算量小。
【难度系数】
0.8
13 汽车刹车距离$s(\mathrm{m})$与速度$v(\mathrm{km/h})$之间的函数关系是$s=\dfrac{1}{100}v^2$，在一辆车速为100 km/h的汽车前方80 m处，发现停放一辆故障车，此时刹车
会
有危险。（填“会”或“不会”）答案
会
解析
【分析】
要判断刹车是否有危险，核心是比较车速为100km/h时的刹车距离和汽车与故障车的距离80m的大小：若刹车距离大于80m则会有危险，反之则没有。解题时只需将v=100代入给定的二次函数关系式，算出对应的刹车距离s，再和80m做大小比较即可得出结论。
【解析】
将$v=100$代入函数关系式$s=\dfrac{1}{100}v^2$，得：
$s=\dfrac{1}{100}× 100^2=\dfrac{1}{100}×10000=100(\mathrm{m})$
因为$100\mathrm{m}＞80\mathrm{m}$，即刹车所需距离大于汽车与故障车的现有距离，所以此时刹车会有危险。
【答案】
会
【知识点】
二次函数实际应用；代入求值；大小比较
【点评】
本题是二次函数在生活场景中的基础应用，解题关键是明确判断逻辑，准确代入数值计算即可，属于应用型基础题。
【难度系数】
0.9
要判断刹车是否有危险，核心是比较车速为100km/h时的刹车距离和汽车与故障车的距离80m的大小：若刹车距离大于80m则会有危险，反之则没有。解题时只需将v=100代入给定的二次函数关系式，算出对应的刹车距离s，再和80m做大小比较即可得出结论。
【解析】
将$v=100$代入函数关系式$s=\dfrac{1}{100}v^2$，得：
$s=\dfrac{1}{100}× 100^2=\dfrac{1}{100}×10000=100(\mathrm{m})$
因为$100\mathrm{m}＞80\mathrm{m}$，即刹车所需距离大于汽车与故障车的现有距离，所以此时刹车会有危险。
【答案】
会
【知识点】
二次函数实际应用；代入求值；大小比较
【点评】
本题是二次函数在生活场景中的基础应用，解题关键是明确判断逻辑，准确代入数值计算即可，属于应用型基础题。
【难度系数】
0.9
14 已知抛物线$y=x^2+bx+c$与y轴交于点A(0，5)，抛物线顶点P在第一象限且在直线l：$y=\frac{1}{2}x$上，那么抛物线的表达式为
$y=(x-2)^2+1$
。答案
$y=(x-2)^2+1$
解析
【分析】
解题可分四步思考：第一步，已知抛物线与y轴交点A(0,5)，代入解析式可直接求出常数项c；第二步，回忆二次函数顶点坐标公式，写出用b、c表示的顶点横、纵坐标；第三步，利用顶点在直线$y=\frac{1}{2}x$上的条件，列关于b的方程并求解；第四步，结合顶点在第一象限的要求对b的取值进行取舍，最终确定系数得到抛物线表达式。
【解析】
1. 求c的值：
将点A(0,5)代入$y=x^2+bx+c$，代入x=0、y=5得：
$0+0+c=5$，解得$c=5$。
2. 表示顶点坐标：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，本题中a=1、c=5，因此顶点P的坐标为$(-\frac{b}{2},\frac{20-b^2}{4})$。
3. 列方程求b：
因为点P在直线$y=\frac{1}{2}x$上，所以顶点坐标满足直线解析式：
$\frac{20-b^2}{4}=\frac{1}{2}×(-\frac{b}{2})$
两边同乘4消分母得：$20-b^2=-b$
整理得一元二次方程：$b^2-b-20=0$
因式分解得：$(b-5)(b+4)=0$
解得$b_1=5$，$b_2=-4$。
4. 取舍b的值：
顶点P在第一象限，因此顶点横坐标$-\frac{b}{2}＞0$，即$b＜0$，故舍去$b=5$，取$b=-4$。
5. 确定抛物线表达式：
将$b=-4,c=5$代入原式得$y=x^2-4x+5$，配方后得$y=(x-2)^2+1$。
【答案】
$y=(x-2)^2+1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点坐标公式
3. 一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题时需要结合多个已知条件逐步推导参数，注意要根据顶点所在象限对求出的参数值进行验证取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题可分四步思考：第一步，已知抛物线与y轴交点A(0,5)，代入解析式可直接求出常数项c；第二步，回忆二次函数顶点坐标公式，写出用b、c表示的顶点横、纵坐标；第三步，利用顶点在直线$y=\frac{1}{2}x$上的条件，列关于b的方程并求解；第四步，结合顶点在第一象限的要求对b的取值进行取舍，最终确定系数得到抛物线表达式。
【解析】
1. 求c的值：
将点A(0,5)代入$y=x^2+bx+c$，代入x=0、y=5得：
$0+0+c=5$，解得$c=5$。
2. 表示顶点坐标：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，本题中a=1、c=5，因此顶点P的坐标为$(-\frac{b}{2},\frac{20-b^2}{4})$。
3. 列方程求b：
因为点P在直线$y=\frac{1}{2}x$上，所以顶点坐标满足直线解析式：
$\frac{20-b^2}{4}=\frac{1}{2}×(-\frac{b}{2})$
两边同乘4消分母得：$20-b^2=-b$
整理得一元二次方程：$b^2-b-20=0$
因式分解得：$(b-5)(b+4)=0$
解得$b_1=5$，$b_2=-4$。
4. 取舍b的值：
顶点P在第一象限，因此顶点横坐标$-\frac{b}{2}＞0$，即$b＜0$，故舍去$b=5$，取$b=-4$。
5. 确定抛物线表达式：
将$b=-4,c=5$代入原式得$y=x^2-4x+5$，配方后得$y=(x-2)^2+1$。
【答案】
$y=(x-2)^2+1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点坐标公式
3. 一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题时需要结合多个已知条件逐步推导参数，注意要根据顶点所在象限对求出的参数值进行验证取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
15 如图，已知点$A(4, 0)$，$O$为坐标原点，$P$是线段$OA$上任意一点(不含端点$O$，$A$)，过$P$、$O$两点的二次函数$y_1$和过$P$、$A$两点的二次函数$y_2$的图像开口均向下，它们的顶点分别为$B$、$C$，射线$OB$与$AC$相交于点$D$。当$OD=AD=4$时，这两个二次函数的最大值之和等于
$2\sqrt{3}$
。答案
$2\sqrt{3}$ [提示:如图,过点B作BF ⊥ OA 于点F,过点D作DE ⊥ OA 于点E,过点C作CM ⊥ OA 于点M。因为BF ⊥ OA, DE ⊥ OA, CM ⊥ OA,所以BF // DE // CM。因为OD = AD = 4, DE ⊥ OA,所以OE = EA = 1/2 OA = 2,由勾股定理得:DE=√(OD²-OE²)=2√3。设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF = PF = x,因为BF // DE // CM,所以△OBF ∽ △ODE,△ACM ∽ △ADE,所以BF/DE = OF/OE, CM/DE = AM/AE。因为AM = PM = 1/2(OA - OP) = 1/2(4 - 2x) = 2 - x,即BF/(2√3) = x/2, CM/(2√3) = (2 - x)/2,解得BF=√3 x, CM=2√3 -√3 x,所以BF + CM = 2√3。]
解析
【分析】
要计算两个二次函数的最大值之和，本质是求两个顶点B、C到x轴的距离BF与CM的和。首先利用等腰三角形ODA的三线合一性质求出底边OA上的高DE的长度；再结合二次函数的对称性，得到两个二次函数的对称轴分别平分OP、PA；最后利用平行线判定相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例分别表示出BF和CM，相加后消去未知数即可得到结果。
【解析】
解：过点B作BF ⊥ OA 于点F，过点D作DE ⊥ OA 于点E，过点C作CM ⊥ OA 于点M。
∵ BF ⊥ OA，DE ⊥ OA，CM ⊥ OA，
∴ BF // DE // CM。
∵ OD = AD = 4，DE ⊥ OA，OA=4，
∴ OE = EA = $\frac{1}{2}$ OA = 2，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
设P点坐标为$(2x,0)$，根据二次函数的对称性，二次函数$y_1$过O、P两点，其对称轴为OP的中垂线，故$OF = PF = x$；
二次函数$y_2$过P、A两点，其对称轴为PA的中垂线，故$AM = PM = \frac{1}{2}(OA - OP) = \frac{1}{2}(4 - 2x) = 2 - x$。
∵ BF // DE，
∴ △OBF ∽ △ODE，
∴ $\frac{BF}{DE} = \frac{OF}{OE}$，即$\frac{BF}{2\sqrt{3}} = \frac{x}{2}$，解得$BF=\sqrt{3}x$；
∵ CM // DE，
∴ △ACM ∽ △ADE，
∴ $\frac{CM}{DE} = \frac{AM}{AE}$，即$\frac{CM}{2\sqrt{3}} = \frac{2-x}{2}$，解得$CM=2\sqrt{3}-\sqrt{3}x$。
∴ 两个二次函数的最大值之和为$BF + CM = \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}x = 2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数对称性、相似三角形性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题将二次函数性质与几何知识结合考查，解题的关键是合理作出辅助线，利用相似三角形的比例关系表示出两个最大值，通过整体相加消去未知数，无需单独求解每个最大值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
要计算两个二次函数的最大值之和，本质是求两个顶点B、C到x轴的距离BF与CM的和。首先利用等腰三角形ODA的三线合一性质求出底边OA上的高DE的长度；再结合二次函数的对称性，得到两个二次函数的对称轴分别平分OP、PA；最后利用平行线判定相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例分别表示出BF和CM，相加后消去未知数即可得到结果。
【解析】
解：过点B作BF ⊥ OA 于点F，过点D作DE ⊥ OA 于点E，过点C作CM ⊥ OA 于点M。
∵ BF ⊥ OA，DE ⊥ OA，CM ⊥ OA，
∴ BF // DE // CM。
∵ OD = AD = 4，DE ⊥ OA，OA=4，
∴ OE = EA = $\frac{1}{2}$ OA = 2，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
设P点坐标为$(2x,0)$，根据二次函数的对称性，二次函数$y_1$过O、P两点，其对称轴为OP的中垂线，故$OF = PF = x$；
二次函数$y_2$过P、A两点，其对称轴为PA的中垂线，故$AM = PM = \frac{1}{2}(OA - OP) = \frac{1}{2}(4 - 2x) = 2 - x$。
∵ BF // DE，
∴ △OBF ∽ △ODE，
∴ $\frac{BF}{DE} = \frac{OF}{OE}$，即$\frac{BF}{2\sqrt{3}} = \frac{x}{2}$，解得$BF=\sqrt{3}x$；
∵ CM // DE，
∴ △ACM ∽ △ADE，
∴ $\frac{CM}{DE} = \frac{AM}{AE}$，即$\frac{CM}{2\sqrt{3}} = \frac{2-x}{2}$，解得$CM=2\sqrt{3}-\sqrt{3}x$。
∴ 两个二次函数的最大值之和为$BF + CM = \sqrt{3}x + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}x = 2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数对称性、相似三角形性质、等腰三角形三线合一
【点评】
本题将二次函数性质与几何知识结合考查，解题的关键是合理作出辅助线，利用相似三角形的比例关系表示出两个最大值，通过整体相加消去未知数，无需单独求解每个最大值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.6
16 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像如图所示，分析下列四个结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ b^2 - 4ac ＞ 0 $；③ $ b - 2a ＞ 0 $；④ $ (a + c)^2 ＜ b^2 $，其中正确的结论有 ______。（填序号）
答案
②③④ [提示:因为二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向下,对称轴在y轴左侧,与y轴交于正半轴,所以a＜0,-b/(2a)＜0,c＞0,所以b＜0,所以abc＞0,结论①错误;因为二次函数y=ax²+bx+c与x轴有两个交点,所以Δ=b²-4ac＞0,结论②正确;因为对称轴在直线x=-1右侧,所以-b/(2a)＞-1,因为a＜0,所以b＞2a,即b-2a＞0,结论③正确;因为当x=-1时,y＞0,当x=1时,y＜0,所以a-b+c＞0,a+b+c＜0,所以(a-b+c)(a+b+c)=(a+c)² - b² ＜0,所以(a+c)² ＜ b²,结论④正确。综上所述,正确的结论有②③④。]
解析
【分析】
解决这类二次函数结论判断题，思路如下：首先从图像提取核心信息：1.开口方向确定a的符号；2.对称轴位置结合a的符号确定b的符号；3.与y轴交点确定c的符号；4.与x轴交点个数判断判别式符号；5.代入x=±1等特殊点得到对应函数值的符号，再结合代数变形逐一验证每个结论即可。
【解析】
1. 判断结论①：
抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＜0$可推出$b＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。因此$abc=负×负×正＞0$，结论①错误。
2. 判断结论②：
抛物线与x轴有2个交点，说明对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，结论②正确。
3. 判断结论③：
由图可知对称轴在直线$x=-1$右侧，即$-\frac{b}{2a}＞-1$，因为$a＜0$，不等式两边乘$2a$（负数，不等号变向）得$-b＜-2a$，两边乘$-1$（不等号再次变向）得$b＞2a$，移项得$b-2a＞0$，结论③正确。
4. 判断结论④：
当$x=1$时，函数值$y=a+b+c＜0$；当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c＞0$，两式相乘得$(a-b+c)(a+b+c)＜0$，用平方差公式变形得$(a+c)^2-b^2＜0$，即$(a+c)^2＜b^2$，结论④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数图象与系数关系，根的判别式，平方差公式
【点评】
本题是二次函数图象综合判断的典型题型，需要将图象的几何特征转化为代数关系，结合不等式性质、代数变形进行判断，能有效考查二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数结论判断题，思路如下：首先从图像提取核心信息：1.开口方向确定a的符号；2.对称轴位置结合a的符号确定b的符号；3.与y轴交点确定c的符号；4.与x轴交点个数判断判别式符号；5.代入x=±1等特殊点得到对应函数值的符号，再结合代数变形逐一验证每个结论即可。
【解析】
1. 判断结论①：
抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＜0$可推出$b＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。因此$abc=负×负×正＞0$，结论①错误。
2. 判断结论②：
抛物线与x轴有2个交点，说明对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，结论②正确。
3. 判断结论③：
由图可知对称轴在直线$x=-1$右侧，即$-\frac{b}{2a}＞-1$，因为$a＜0$，不等式两边乘$2a$（负数，不等号变向）得$-b＜-2a$，两边乘$-1$（不等号再次变向）得$b＞2a$，移项得$b-2a＞0$，结论③正确。
4. 判断结论④：
当$x=1$时，函数值$y=a+b+c＜0$；当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c＞0$，两式相乘得$(a-b+c)(a+b+c)＜0$，用平方差公式变形得$(a+c)^2-b^2＜0$，即$(a+c)^2＜b^2$，结论④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数图象与系数关系，根的判别式，平方差公式
【点评】
本题是二次函数图象综合判断的典型题型，需要将图象的几何特征转化为代数关系，结合不等式性质、代数变形进行判断，能有效考查二次函数性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
17 已知点$P(m,y_1)(m≠2)$，$Q(2,y_2)$在抛物线$y=x^2+2mx+3$上，且这个抛物线上P、Q两点间的部分(包括P，Q两点)所有点的纵坐标都大于6，那么$m$的取值范围是
$m ＞ 1 且 m ≠ 2$
。答案
$m ＞ 1 且 m ≠ 2$ [提示:抛物线y=x²+2mx+3的对称轴为直线x=-2m/2=-m,分三种情况讨论:① 当m＞0时,对称轴x=-m在y轴的左侧,开口向上,当x＞-m时,y随x的增大而增大,(i) 0＜m＜2时,即P在点Q的左侧,因为图形G上所有点的纵坐标都大于6,所以y₁＞6,即3m²+3＞6,解得m＞1或m＜-1,所以1＜m＜2;(ii) 当m＞2时,P在Q点的右侧,因为图形G上所有点的纵坐标都大于6,所以y₂＞6,即4+4m+3＞6,解得m＞-1/4,所以m＞2;② 当m＜0时,对称轴x=-m在y轴的右侧,开口向上,当m＜x＜2时,总存在当x=0时,y=3,不符合题意;③ 当m=0时,对称轴为y轴,开口向上,所以P(0,3),则图形G上不是所有点的纵坐标都大于6。综上所述,m＞1且m≠2。]
解析
【分析】
首先明确抛物线的基本性质：该抛物线二次项系数为1＞0，因此开口向上，对称轴为直线$x=-m$。题目要求P、Q两点间的抛物线上所有点纵坐标都大于6，本质是保证P、Q横坐标构成的区间内，抛物线的最小值大于6。接下来结合对称轴的位置、P和Q的相对位置（即m与2的大小关系）分类讨论：先排除m≤0的情况（此时区间内会出现y=3＜6的点，不符合要求），再对m＞0的情况按m＜2和m＞2分别计算区间内的最小值，列不等式求解即可。
【解析】
解：抛物线$y=x^2+2mx+3$中，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{2m}{2}=-m$。
分三种情况讨论：
1. 当$m＜0$时，对称轴$x=-m＞0$，此时P、Q横坐标构成的区间包含$x=0$，代入得$y=0+0+3=3＜6$，不符合要求，舍去；
2. 当$m=0$时，点P坐标为$(0,3)$，$3＜6$，不符合要求，舍去；
3. 当$m＞0$时，对称轴$x=-m＜0$，此时$x＞-m$时$y$随$x$的增大而增大，再分两类：
（i）若$0＜m＜2$，则P在Q左侧，区间为$[m,2]$，区间内最小值为$x=m$处的函数值，即：
$y_1=m^2+2m· m+3=3m^2+3＞6$
解得$m＞1$或$m＜-1$，结合$0＜m＜2$，得$1＜m＜2$；
（ii）若$m＞2$，则P在Q右侧，区间为$[2,m]$，区间内最小值为$x=2$处的函数值，即：
$y_2=2^2+2m·2+3=4m+7＞6$
解得$m＞-\frac{1}{4}$，结合$m＞2$，得$m＞2$；
综上，$m$的取值范围是$m＞1$且$m≠2$。
【答案】
$m ＞ 1 且 m ≠ 2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与不等式；分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用二次函数的增减性找到区间内的最小值，解题时需根据对称轴位置和两点的相对位置合理分类，避免漏解，同时注意题目给出的$m≠2$的限定条件。
【难度系数】
0.6
首先明确抛物线的基本性质：该抛物线二次项系数为1＞0，因此开口向上，对称轴为直线$x=-m$。题目要求P、Q两点间的抛物线上所有点纵坐标都大于6，本质是保证P、Q横坐标构成的区间内，抛物线的最小值大于6。接下来结合对称轴的位置、P和Q的相对位置（即m与2的大小关系）分类讨论：先排除m≤0的情况（此时区间内会出现y=3＜6的点，不符合要求），再对m＞0的情况按m＜2和m＞2分别计算区间内的最小值，列不等式求解即可。
【解析】
解：抛物线$y=x^2+2mx+3$中，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{2m}{2}=-m$。
分三种情况讨论：
1. 当$m＜0$时，对称轴$x=-m＞0$，此时P、Q横坐标构成的区间包含$x=0$，代入得$y=0+0+3=3＜6$，不符合要求，舍去；
2. 当$m=0$时，点P坐标为$(0,3)$，$3＜6$，不符合要求，舍去；
3. 当$m＞0$时，对称轴$x=-m＜0$，此时$x＞-m$时$y$随$x$的增大而增大，再分两类：
（i）若$0＜m＜2$，则P在Q左侧，区间为$[m,2]$，区间内最小值为$x=m$处的函数值，即：
$y_1=m^2+2m· m+3=3m^2+3＞6$
解得$m＞1$或$m＜-1$，结合$0＜m＜2$，得$1＜m＜2$；
（ii）若$m＞2$，则P在Q右侧，区间为$[2,m]$，区间内最小值为$x=2$处的函数值，即：
$y_2=2^2+2m·2+3=4m+7＞6$
解得$m＞-\frac{1}{4}$，结合$m＞2$，得$m＞2$；
综上，$m$的取值范围是$m＞1$且$m≠2$。
【答案】
$m ＞ 1 且 m ≠ 2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与不等式；分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用二次函数的增减性找到区间内的最小值，解题时需根据对称轴位置和两点的相对位置合理分类，避免漏解，同时注意题目给出的$m≠2$的限定条件。
【难度系数】
0.6
