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18 已知抛物线$y=(x-4)^2 -9$交$x$轴于$A$、$B$两点，顶点为$D$，把此抛物线向上平移$k$个单位后，交$x$轴于$A'$、$B'$两点，顶点为$D'$，若$△ A'B'D'$是等边三角形，则$k=$
6
。答案
6 [提示:由题意得A(1,0),B(7,0),D(4,-9)。向上平移k个单位后,新抛物线的表达式为y=(x-4)²-9+k,所以D'(4,k-9),A'(4-√(9-k),0),B'(4+√(9-k),0)。由D'A'=A'B',可得√(9-k)+(9-k)²=2√(9-k),所以9-k+(9-k)²=4(9-k),(9-k)(6-k)=0,k=6或k=9(舍)。]
解析
【分析】
解题时先从抛物线平移规律入手，写出平移后的抛物线解析式；再结合抛物线的轴对称性，可知平移后抛物线的顶点在对称轴上，因此△A'B'D'天然为等腰三角形，要使其为等边三角形，只需利用等边三角形“高是边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍”的性质即可列方程求解；最后要注意验证解是否满足抛物线与x轴有两个交点的前提。
【解析】
1. 求平移后抛物线的解析式
根据抛物线平移“上加下减”的规律，原抛物线向上平移$k$个单位后，解析式为：
$y=(x-4)^2 -9 +k$
2. 求$A'B'$的长度及$D'$到x轴的距离
令平移后的抛物线$y=0$，得$(x-4)^2=9-k$，
因为平移后抛物线与x轴交于两个不同点，所以$9-k＞0$，即$k＜9$，
解得$x=4\pm\sqrt{9-k}$，因此$A'(4-\sqrt{9-k},0)$，$B'(4+\sqrt{9-k},0)$，
则底边$A'B'$的长度为：$2\sqrt{9-k}$。
由顶点式得平移后抛物线的顶点$D'(4,k-9)$，$D'$到x轴（即$A'B'$所在直线）的距离为$|k-9|=9-k$（因$k＜9$）。
3. 列方程求解
等边三角形的高 = $\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长，代入对应量得：
$9-k=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{9-k}$
化简得：$9-k=\sqrt{3}·\sqrt{9-k}$
令$t=\sqrt{9-k}$（$t＞0$），方程变为$t^2=\sqrt{3}t$，
因式分解得$t(t-\sqrt{3})=0$，
因$t＞0$，故$t=\sqrt{3}$，即$\sqrt{9-k}=\sqrt{3}$，
两边平方得$9-k=3$，解得$k=6$，符合$k＜9$的条件。
（$k=9$时$A'$、$B'$重合，无法构成三角形，舍去）
【答案】
6
【知识点】
抛物线平移规律，二次函数与x轴交点，等边三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是利用抛物线的对称性简化等边三角形的条件，将几何性质转化为代数方程求解，同时要注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.6
解题时先从抛物线平移规律入手，写出平移后的抛物线解析式；再结合抛物线的轴对称性，可知平移后抛物线的顶点在对称轴上，因此△A'B'D'天然为等腰三角形，要使其为等边三角形，只需利用等边三角形“高是边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍”的性质即可列方程求解；最后要注意验证解是否满足抛物线与x轴有两个交点的前提。
【解析】
1. 求平移后抛物线的解析式
根据抛物线平移“上加下减”的规律，原抛物线向上平移$k$个单位后，解析式为：
$y=(x-4)^2 -9 +k$
2. 求$A'B'$的长度及$D'$到x轴的距离
令平移后的抛物线$y=0$，得$(x-4)^2=9-k$，
因为平移后抛物线与x轴交于两个不同点，所以$9-k＞0$，即$k＜9$，
解得$x=4\pm\sqrt{9-k}$，因此$A'(4-\sqrt{9-k},0)$，$B'(4+\sqrt{9-k},0)$，
则底边$A'B'$的长度为：$2\sqrt{9-k}$。
由顶点式得平移后抛物线的顶点$D'(4,k-9)$，$D'$到x轴（即$A'B'$所在直线）的距离为$|k-9|=9-k$（因$k＜9$）。
3. 列方程求解
等边三角形的高 = $\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长，代入对应量得：
$9-k=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{9-k}$
化简得：$9-k=\sqrt{3}·\sqrt{9-k}$
令$t=\sqrt{9-k}$（$t＞0$），方程变为$t^2=\sqrt{3}t$，
因式分解得$t(t-\sqrt{3})=0$，
因$t＞0$，故$t=\sqrt{3}$，即$\sqrt{9-k}=\sqrt{3}$，
两边平方得$9-k=3$，解得$k=6$，符合$k＜9$的条件。
（$k=9$时$A'$、$B'$重合，无法构成三角形，舍去）
【答案】
6
【知识点】
抛物线平移规律，二次函数与x轴交点，等边三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是利用抛物线的对称性简化等边三角形的条件，将几何性质转化为代数方程求解，同时要注意舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.6
19 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$C_1:y=ax^2+2ax-3a(a＜0)$与$x$轴相交于$A$、$B$两点，且点$A$在点$B$左侧，与$y$轴交于点$C$，顶点为点$D$。把抛物线$C_1$向右平移3个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线$C_2$，抛物线$C_2$的顶点为点$E$。如果点$A$、$D$、$E$在同一直线上，抛物线$C_1$的表达式为
$y=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+2$
。答案
$y=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+2$ [提示:由题意可得A(-3,0),B(1,0),C(0,-3a),D(-1,-4a),平移后抛物线C₂的顶点E(2,-4a+4),于是可求得直线AD的表达式为y=-2ax-6a。因为A、D、E三点共线,所以将E(2,-4a+4)代入直线AD,得-10a=-4a+4,解得a=-2/3,所以C₁的表达式为y=-2/3 x² -4/3 x + 2。]
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先求出抛物线$C_1$与x轴交点$A$的坐标，再通过配方法求出$C_1$的顶点$D$的坐标；第二步，根据函数平移“左加右减、上加下减”的规律，求出平移后抛物线$C_2$的顶点$E$的坐标；第三步，利用$A$、$D$两点坐标求出直线$AD$的解析式，因为$A$、$D$、$E$三点共线，所以$E$点坐标满足直线$AD$的解析式，代入即可求出参数$a$的值，最后代入得到$C_1$的表达式。
【解析】
1. 求点$A$坐标：令$y=0$，即$ax^2+2ax-3a=0$，
$\because a≠0$，方程两边同除以$a$得$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
$\because$点$A$在点$B$左侧，$\therefore A(-3,0)$。
2. 求顶点$D$坐标：将$C_1$解析式配方：
$y=ax^2+2ax-3a=a(x^2+2x+1)-a-3a=a(x+1)^2-4a$，
$\therefore$顶点$D$的坐标为$(-1,-4a)$。
3. 求平移后顶点$E$坐标：抛物线向右平移3个单位，横坐标加3，向上平移4个单位，纵坐标加4，
$\therefore E$点坐标为$(-1+3, -4a+4)$，即$E(2, -4a+4)$。
4. 求直线$AD$的解析式：设直线$AD$的表达式为$y=kx+b$，
将$A(-3,0)$、$D(-1,-4a)$代入得：
$\begin{cases} 0=-3k+b \\ -4a=-k+b \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$-4a=2k$，解得$k=-2a$，
将$k=-2a$代入$0=-3k+b$，得$b=-6a$，
$\therefore$直线$AD$的表达式为$y=-2ax-6a$。
5. 求$a$的值：$\because A$、$D$、$E$三点共线，$\therefore E(2,-4a+4)$在直线$AD$上，
将$x=2$，$y=-4a+4$代入$y=-2ax-6a$得：
$-2a×2 -6a = -4a +4$
化简得：$-10a = -4a +4$
移项得：$-6a=4$，解得$a=-\frac{2}{3}$。
6. 求$C_1$的表达式：将$a=-\frac{2}{3}$代入$y=ax^2+2ax-3a$得：
$y=-\frac{2}{3}x^2 + 2×(-\frac{2}{3})x -3×(-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}x^2 -\frac{4}{3}x +2$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+2$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 函数图像平移规律
3. 三点共线的应用
【点评】
本题综合考查二次函数、一次函数的基础知识点，解题的核心是用含参数$a$的式子表示出各相关点的坐标，再利用三点共线的条件建立方程求解，解题时需注意平移规律的正确应用以及计算的准确性。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先求出抛物线$C_1$与x轴交点$A$的坐标，再通过配方法求出$C_1$的顶点$D$的坐标；第二步，根据函数平移“左加右减、上加下减”的规律，求出平移后抛物线$C_2$的顶点$E$的坐标；第三步，利用$A$、$D$两点坐标求出直线$AD$的解析式，因为$A$、$D$、$E$三点共线，所以$E$点坐标满足直线$AD$的解析式，代入即可求出参数$a$的值，最后代入得到$C_1$的表达式。
【解析】
1. 求点$A$坐标：令$y=0$，即$ax^2+2ax-3a=0$，
$\because a≠0$，方程两边同除以$a$得$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
$\because$点$A$在点$B$左侧，$\therefore A(-3,0)$。
2. 求顶点$D$坐标：将$C_1$解析式配方：
$y=ax^2+2ax-3a=a(x^2+2x+1)-a-3a=a(x+1)^2-4a$，
$\therefore$顶点$D$的坐标为$(-1,-4a)$。
3. 求平移后顶点$E$坐标：抛物线向右平移3个单位，横坐标加3，向上平移4个单位，纵坐标加4，
$\therefore E$点坐标为$(-1+3, -4a+4)$，即$E(2, -4a+4)$。
4. 求直线$AD$的解析式：设直线$AD$的表达式为$y=kx+b$，
将$A(-3,0)$、$D(-1,-4a)$代入得：
$\begin{cases} 0=-3k+b \\ -4a=-k+b \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$-4a=2k$，解得$k=-2a$，
将$k=-2a$代入$0=-3k+b$，得$b=-6a$，
$\therefore$直线$AD$的表达式为$y=-2ax-6a$。
5. 求$a$的值：$\because A$、$D$、$E$三点共线，$\therefore E(2,-4a+4)$在直线$AD$上，
将$x=2$，$y=-4a+4$代入$y=-2ax-6a$得：
$-2a×2 -6a = -4a +4$
化简得：$-10a = -4a +4$
移项得：$-6a=4$，解得$a=-\frac{2}{3}$。
6. 求$C_1$的表达式：将$a=-\frac{2}{3}$代入$y=ax^2+2ax-3a$得：
$y=-\frac{2}{3}x^2 + 2×(-\frac{2}{3})x -3×(-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}x^2 -\frac{4}{3}x +2$。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+2$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 函数图像平移规律
3. 三点共线的应用
【点评】
本题综合考查二次函数、一次函数的基础知识点，解题的核心是用含参数$a$的式子表示出各相关点的坐标，再利用三点共线的条件建立方程求解，解题时需注意平移规律的正确应用以及计算的准确性。
【难度系数】
0.6
20 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像经过点$A(0,m)$，$B(2,-m)$，$C(-2,n)$，$D(-6,-m)$，其中$m$、$n$为常数，那么$\frac{m}{n}$的值为
$\dfrac{3}{5}$
。答案
$\dfrac{3}{5}$ [提示:由题意可得方程组$\begin{cases} c = m, \\ 4a + 2b + c = -m, \\ 4a - 2b + c = n。 \end{cases}$因为二次函数图像过(2,-m),(-6,-m),所以对称轴为直线x=-2,即-b/(2a)=-2,所以b=4a,代入方程组中第2个方程得4a+8a+c=-m,所以12a+m=-m,m=-6a。代入方程组中第3个方程得,4a-8a+m=n,n=-10a。所以m/n = -6a/(-10a) = 3/5。]
解析
【分析】
解题时首先观察到点B(2,-m)和D(-6,-m)的纵坐标相同，根据二次函数的对称性，这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可先求出对称轴，再利用对称轴公式得到b与a的数量关系；接着将点A代入解析式可得c=m，再将点B代入解析式，结合b、c与a、m的关系，用a表示出m；随后将点C代入解析式，用a表示出n；最后计算m与n的比值时，a≠0可约去，即可求出结果。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：
∵ 二次函数图象过B(2,-m)、D(-6,-m)两点，两点纵坐标相同，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{2+(-6)}{2}=-2$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=-2$，整理得$b=4a$。
2. 代入点A求c：
将A(0,m)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=m$。
3. 用a表示m：
将B(2,-m)、$b=4a$、$c=m$代入解析式，得：
$4a + 2×4a + m = -m$
$12a + m = -m$
移项整理得$m=-6a$。
4. 用a表示n：
将C(-2,n)、$b=4a$、$c=m=-6a$代入解析式，得：
$4a - 2×4a + (-6a) = n$
计算得$n=-10a$。
5. 计算$\frac{m}{n}$：
∵ $a≠0$，
∴ $\frac{m}{n}=\frac{-6a}{-10a}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴公式
3. 代入法求函数值
【点评】
本题的解题突破口是利用纵坐标相同的两个点确定二次函数的对称轴，通过参数a统一表示m和n，消去参数即可得到所求比值，侧重考查对二次函数性质的灵活运用能力，解题时注意二次项系数a不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到点B(2,-m)和D(-6,-m)的纵坐标相同，根据二次函数的对称性，这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可先求出对称轴，再利用对称轴公式得到b与a的数量关系；接着将点A代入解析式可得c=m，再将点B代入解析式，结合b、c与a、m的关系，用a表示出m；随后将点C代入解析式，用a表示出n；最后计算m与n的比值时，a≠0可约去，即可求出结果。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：
∵ 二次函数图象过B(2,-m)、D(-6,-m)两点，两点纵坐标相同，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=\frac{2+(-6)}{2}=-2$。
根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=-2$，整理得$b=4a$。
2. 代入点A求c：
将A(0,m)代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=m$。
3. 用a表示m：
将B(2,-m)、$b=4a$、$c=m$代入解析式，得：
$4a + 2×4a + m = -m$
$12a + m = -m$
移项整理得$m=-6a$。
4. 用a表示n：
将C(-2,n)、$b=4a$、$c=m=-6a$代入解析式，得：
$4a - 2×4a + (-6a) = n$
计算得$n=-10a$。
5. 计算$\frac{m}{n}$：
∵ $a≠0$，
∴ $\frac{m}{n}=\frac{-6a}{-10a}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数对称轴公式
3. 代入法求函数值
【点评】
本题的解题突破口是利用纵坐标相同的两个点确定二次函数的对称轴，通过参数a统一表示m和n，消去参数即可得到所求比值，侧重考查对二次函数性质的灵活运用能力，解题时注意二次项系数a不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
21 已知二次函数$y=x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4$。
(1) 探究$m$满足不同范围时，二次函数$y$的图像与$x$轴的交点的个数。
(2) 设二次函数$y$的图像与$x$轴的交点为$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$，且$x_1^2+x_2^2=5$，与$y$轴的交点为$C$，它的顶点为$M$，求直线$CM$的表达式。
(1) 探究$m$满足不同范围时，二次函数$y$的图像与$x$轴的交点的个数。
(2) 设二次函数$y$的图像与$x$轴的交点为$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$，且$x_1^2+x_2^2=5$，与$y$轴的交点为$C$，它的顶点为$M$，求直线$CM$的表达式。
答案
(1) 令y=0,得x²-(2m-1)x+m²+3m+4=0,所以Δ=(2m-1)²-4(m²+3m+4)=-16m-15。当Δ＞0即m ＜ -15/16时,方程有两个不相等的实数根,此时y的图像与x轴有两个交点;当Δ=0即m=-15/16时,方程有两个相等的实数根,此时y的图像与x轴只有一个交点;当Δ＜0即m ＞ -15/16时,方程没有实数根,此时y的图像与x轴没有交点。所以当m ＜ -15/16时,y的图像与x轴有两个交点;当m=-15/16时,y的图像与x轴只有一个交点;当m ＞ -15/16时,y的图像与x轴没有交点。
(2) 由根与系数的关系得:x₁+x₂=2m-1,x₁×x₂=m²+3m+4,所以x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(2m-1)²-2(m²+3m+4)=2m²-10m-7。因为x₁²+x₂²=5,所以2m²-10m-7=5,解得m₁=6,m₂=-1。由(1)得,m ＜ -15/16,所以m=-1,所以二次函数y=x²+3x+2。令x=0,得y=2,所以二次函数y的图像与y轴的交点C(0,2)。又y=x²+3x+2=(x+3/2)² -1/4,所以顶点M的坐标为(-3/2,-1/4)。设过C(0,2)与M(-3/2,-1/4)的直线表达式为y=kx+b(k≠0),则$\begin{cases} -\dfrac{3}{2}k + b = -\dfrac{1}{4}, \\ b = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{2}, \\ b = 2, \end{cases}$所以直线CM的表达式为y=3/2 x + 2。
(2) 由根与系数的关系得:x₁+x₂=2m-1,x₁×x₂=m²+3m+4,所以x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=(2m-1)²-2(m²+3m+4)=2m²-10m-7。因为x₁²+x₂²=5,所以2m²-10m-7=5,解得m₁=6,m₂=-1。由(1)得,m ＜ -15/16,所以m=-1,所以二次函数y=x²+3x+2。令x=0,得y=2,所以二次函数y的图像与y轴的交点C(0,2)。又y=x²+3x+2=(x+3/2)² -1/4,所以顶点M的坐标为(-3/2,-1/4)。设过C(0,2)与M(-3/2,-1/4)的直线表达式为y=kx+b(k≠0),则$\begin{cases} -\dfrac{3}{2}k + b = -\dfrac{1}{4}, \\ b = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{2}, \\ b = 2, \end{cases}$所以直线CM的表达式为y=3/2 x + 2。
解析
【分析】
(1) 二次函数图像与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实根个数一致，解题时先令y=0得到一元二次方程，计算判别式Δ，再分别根据Δ＞0、Δ=0、Δ＜0三种情况讨论m的取值范围即可。
(2) 先利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$后代入数值列方程求m；结合(1)中二次函数与x轴有交点的条件筛选出符合要求的m值，得到二次函数解析式；再分别求出y轴交点C和顶点M的坐标，最后用待定系数法求直线CM的表达式即可。【解析】(1) 令y=0，得方程：$x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4=0$，判别式$\Delta=(2m-1)^2-4×1×(m^2+3m+4)=-16m-15$。①当$\Delta＞0$，即$m＜-\frac{15}{16}$时，方程有两个不相等的实数根，此时二次函数图像与x轴有2个交点；②当$\Delta=0$，即$m=-\frac{15}{16}$时，方程有两个相等的实数根，此时二次函数图像与x轴有1个交点；③当$\Delta＜0$，即$m＞-\frac{15}{16}$时，方程没有实数根，此时二次函数图像与x轴没有交点。(2) 由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=m^2+3m+4$，则$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m-1)^2-2(m^2+3m+4)=2m^2-10m-7$。已知$x_1^2+x_2^2=5$，代入得$2m^2-10m-7=5$，整理得$m^2-5m-6=0$，解得$m_1=6$，$m_2=-1$。由(1)可知二次函数与x轴有交点时$m≤-\frac{15}{16}$，故舍去m=6，取m=-1。代入得二次函数解析式为$y=x^2+3x+2$。令x=0，得y=2，故C点坐标为(0,2)。将函数配方为顶点式：$y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$，故顶点M坐标为$(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$。设直线CM的表达式为y=kx+b(k≠0)，代入C、M坐标得：$\begin{cases} b=2 \\ -\frac{3}{2}k + b = -\frac{1}{4} \end{cases}$解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{2} \\ b = 2 \end{cases}【$答案】(1) 当$m＜-\frac{15}{16}$时，二次函数图像与x轴有2个交点；当$m=-\frac{15}{16}$时，图像与x轴有1个交点；当$m＞-\frac{15}{16}$时，图像与x轴没有交点。(2) 直线CM的表达式为$y=\frac{3}{2}x+2$。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，既考查了判别式、韦达定理等基础知识点的应用，也要求学生求解参数时注意检验前提条件，能有效考查学生的运算能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 二次函数图像与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实根个数一致，解题时先令y=0得到一元二次方程，计算判别式Δ，再分别根据Δ＞0、Δ=0、Δ＜0三种情况讨论m的取值范围即可。
(2) 先利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$后代入数值列方程求m；结合(1)中二次函数与x轴有交点的条件筛选出符合要求的m值，得到二次函数解析式；再分别求出y轴交点C和顶点M的坐标，最后用待定系数法求直线CM的表达式即可。【解析】(1) 令y=0，得方程：$x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4=0$，判别式$\Delta=(2m-1)^2-4×1×(m^2+3m+4)=-16m-15$。①当$\Delta＞0$，即$m＜-\frac{15}{16}$时，方程有两个不相等的实数根，此时二次函数图像与x轴有2个交点；②当$\Delta=0$，即$m=-\frac{15}{16}$时，方程有两个相等的实数根，此时二次函数图像与x轴有1个交点；③当$\Delta＜0$，即$m＞-\frac{15}{16}$时，方程没有实数根，此时二次函数图像与x轴没有交点。(2) 由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=m^2+3m+4$，则$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2m-1)^2-2(m^2+3m+4)=2m^2-10m-7$。已知$x_1^2+x_2^2=5$，代入得$2m^2-10m-7=5$，整理得$m^2-5m-6=0$，解得$m_1=6$，$m_2=-1$。由(1)可知二次函数与x轴有交点时$m≤-\frac{15}{16}$，故舍去m=6，取m=-1。代入得二次函数解析式为$y=x^2+3x+2$。令x=0，得y=2，故C点坐标为(0,2)。将函数配方为顶点式：$y=x^2+3x+2=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$，故顶点M坐标为$(-\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$。设直线CM的表达式为y=kx+b(k≠0)，代入C、M坐标得：$\begin{cases} b=2 \\ -\frac{3}{2}k + b = -\frac{1}{4} \end{cases}$解得$\begin{cases} k = \dfrac{3}{2} \\ b = 2 \end{cases}【$答案】(1) 当$m＜-\frac{15}{16}$时，二次函数图像与x轴有2个交点；当$m=-\frac{15}{16}$时，图像与x轴有1个交点；当$m＞-\frac{15}{16}$时，图像与x轴没有交点。(2) 直线CM的表达式为$y=\frac{3}{2}x+2$。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，既考查了判别式、韦达定理等基础知识点的应用，也要求学生求解参数时注意检验前提条件，能有效考查学生的运算能力和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
22 已知y是x的二次函数，且其图像在x轴上截得的线段AB长为4，当$x=3$时，y取得最小值$-2$。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）若此函数图像上有一点P，使$△ PAB$的面积等于12，求P点坐标。
（1）求这个二次函数的表达式。
（2）若此函数图像上有一点P，使$△ PAB$的面积等于12，求P点坐标。
答案
(1) 因为当x=3时y取得最小值-2,所以抛物线顶点为(3,-2),对称轴为直线x=3,所以可设二次函数表达式为y=a(x-3)²-2。又因为图像在x轴上截得线段AB的长是4,所以图像与x轴交于(1,0)和(5,0)两点,所以a(1-3)²-2=0,所以a=1/2,所以二次函数表达式为y=1/2 x² -3x +5/2。
(2) 因为△PAB的面积为12,AB=4,所以1/2×4×|P_y|=12,所以|P_y|=6,所以P_y=±6。但抛物线开口向上,函数值最小为-2,所以P_y=-6应舍去,所以P_y=6。又点P在抛物线上,所以6=1/2 x² -3x +5/2,解得x₁=-1,x₂=7,所以点P的坐标为(-1,6)或(7,6)。
(2) 因为△PAB的面积为12,AB=4,所以1/2×4×|P_y|=12,所以|P_y|=6,所以P_y=±6。但抛物线开口向上,函数值最小为-2,所以P_y=-6应舍去,所以P_y=6。又点P在抛物线上,所以6=1/2 x² -3x +5/2,解得x₁=-1,x₂=7,所以点P的坐标为(-1,6)或(7,6)。
解析
【分析】
（1）求二次函数表达式时，已知x=3时y取最小值-2，可直接确定抛物线顶点坐标为(3,-2)，优先选择顶点式设解析式；再结合x轴上截得的线段长为4，利用对称轴可推出抛物线与x轴的两个交点坐标，代入顶点式即可求出未知系数a。
（2）求P点坐标时，△PAB的底AB长度已知，面积已知，可先根据三角形面积公式求出AB边上的高，即点P纵坐标的绝对值；再结合二次函数的最小值舍去不符合题意的纵坐标值，最后代入二次函数解析式求出对应的x值，即可得到P点坐标。
【解析】
（1）
∵当x=3时，y取得最小值-2，
∴抛物线顶点坐标为$(3,-2)$，对称轴为直线$x=3$，
设二次函数表达式为$y=a(x-3)^2-2(a≠0)$。
∵图像在x轴上截得的线段AB长为4，
∴抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离为$4÷2=2$，
可得两个交点坐标为$(1,0)$和$(5,0)$。
将$(1,0)$代入解析式得：$a×(1-3)^2-2=0$，
解得$a=\frac{1}{2}$，
∴二次函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$，整理为一般式为$y=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}$。
（2）设点P的纵坐标为$y_P$，
∵$S_{△ PAB}=12$，$AB=4$，且AB在x轴上，
∴$\frac{1}{2}×AB×|y_P|=12$，即$\frac{1}{2}×4×|y_P|=12$，
解得$|y_P|=6$，即$y_P=6$或$y_P=-6$。
∵抛物线开口向上，函数最小值为-2，
∴$y_P=-6$不符合题意，舍去，即$y_P=6$。
将$y=6$代入二次函数解析式得：$6=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}$，
整理得$x^2-6x-7=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=7$，
∴点P的坐标为$(-1,6)$或$(7,6)$。
【答案】
（1）$y=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}$（或$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$）
（2）$(-1,6)$或$(7,6)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数图像性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问利用顶点式求解析式是常用解题技巧，结合对称轴和截距可快速确定交点坐标；第二问需要结合二次函数的最值对求得的纵坐标进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
（1）求二次函数表达式时，已知x=3时y取最小值-2，可直接确定抛物线顶点坐标为(3,-2)，优先选择顶点式设解析式；再结合x轴上截得的线段长为4，利用对称轴可推出抛物线与x轴的两个交点坐标，代入顶点式即可求出未知系数a。
（2）求P点坐标时，△PAB的底AB长度已知，面积已知，可先根据三角形面积公式求出AB边上的高，即点P纵坐标的绝对值；再结合二次函数的最小值舍去不符合题意的纵坐标值，最后代入二次函数解析式求出对应的x值，即可得到P点坐标。
【解析】
（1）
∵当x=3时，y取得最小值-2，
∴抛物线顶点坐标为$(3,-2)$，对称轴为直线$x=3$，
设二次函数表达式为$y=a(x-3)^2-2(a≠0)$。
∵图像在x轴上截得的线段AB长为4，
∴抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离为$4÷2=2$，
可得两个交点坐标为$(1,0)$和$(5,0)$。
将$(1,0)$代入解析式得：$a×(1-3)^2-2=0$，
解得$a=\frac{1}{2}$，
∴二次函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$，整理为一般式为$y=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}$。
（2）设点P的纵坐标为$y_P$，
∵$S_{△ PAB}=12$，$AB=4$，且AB在x轴上，
∴$\frac{1}{2}×AB×|y_P|=12$，即$\frac{1}{2}×4×|y_P|=12$，
解得$|y_P|=6$，即$y_P=6$或$y_P=-6$。
∵抛物线开口向上，函数最小值为-2，
∴$y_P=-6$不符合题意，舍去，即$y_P=6$。
将$y=6$代入二次函数解析式得：$6=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}$，
整理得$x^2-6x-7=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=7$，
∴点P的坐标为$(-1,6)$或$(7,6)$。
【答案】
（1）$y=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{5}{2}$（或$y=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$）
（2）$(-1,6)$或$(7,6)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数图像性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问利用顶点式求解析式是常用解题技巧，结合对称轴和截距可快速确定交点坐标；第二问需要结合二次函数的最值对求得的纵坐标进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
