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23 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在以O点为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图所示）。
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标。
（2）求出这条抛物线的函数表达式。
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上。为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下。
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标。
（2）求出这条抛物线的函数表达式。
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上。为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下。
答案
(1) 由题意得M(12,0),P(6,6)。
(2) 设这条抛物线的函数表达式为y=a(x-6)²+6,因为抛物线过点O(0,0),所以a(0-6)²+6=0,解得a=-1/6,所以这条抛物线的函数表达式为y=-1/6(x-6)²+6,即y=-1/6 x² +2x(0≤x≤12)。
(3) 设点A的坐标为$(m,-\dfrac{1}{6}m^2+2m)$,则OB=m米,AB=DC=$-\dfrac{1}{6}m^2+2m$。根据抛物线的对称性,可得OB=CM=m米,所以BC=(12-2m)米,即AD=(12-2m)米。AB+AD+DC=$-\dfrac{1}{6}m^2+2m+12-2m-\dfrac{1}{6}m^2+2m=-\dfrac{1}{3}m^2+2m+12=-\dfrac{1}{3}(m-3)^2+15$,因为$-\dfrac{1}{3}＜0$,所以当m=3,即OB=3米时,三根木杆长度之和的最大值为15米。
(2) 设这条抛物线的函数表达式为y=a(x-6)²+6,因为抛物线过点O(0,0),所以a(0-6)²+6=0,解得a=-1/6,所以这条抛物线的函数表达式为y=-1/6(x-6)²+6,即y=-1/6 x² +2x(0≤x≤12)。
(3) 设点A的坐标为$(m,-\dfrac{1}{6}m^2+2m)$,则OB=m米,AB=DC=$-\dfrac{1}{6}m^2+2m$。根据抛物线的对称性,可得OB=CM=m米,所以BC=(12-2m)米,即AD=(12-2m)米。AB+AD+DC=$-\dfrac{1}{6}m^2+2m+12-2m-\dfrac{1}{6}m^2+2m=-\dfrac{1}{3}m^2+2m+12=-\dfrac{1}{3}(m-3)^2+15$,因为$-\dfrac{1}{3}＜0$,所以当m=3,即OB=3米时,三根木杆长度之和的最大值为15米。
解析
【分析】
（1）第一问根据题意，OM是隧道宽度，长度为12米，O为原点，可得M点坐标；抛物线顶点是隧道最高点，高度为6米，且抛物线对称轴是OM的中垂线，由此可得顶点P的坐标。
（2）第二问已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再代入原点O的坐标求出参数a，整理即可得到抛物线的函数表达式。
（3）第三问设点A的横坐标为m，根据抛物线解析式可得到AB、DC的长度；利用抛物线对称性可求出AD的长度，将三根木杆长度相加得到关于m的二次函数，根据二次函数开口向下的性质，顶点处即可取得最大值，计算即可得结果。
【解析】
(1)
∵ OM为隧道宽度，长12米，O为坐标原点，
∴ M点坐标为$\boldsymbol{(12, 0)}$；
抛物线顶点为隧道最高点，高度6米，抛物线对称轴为OM的中垂线$x=6$，
∴ 顶点P坐标为$\boldsymbol{(6, 6)}$。
(2) 设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-6)^2+6$（$a≠0$），
∵ 抛物线过原点$O(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$a(0-6)^2+6=0$，即$36a+6=0$，解得$a=-\frac{1}{6}$，
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，展开整理得$\boldsymbol{y=-\frac{1}{6}x^2 +2x\ (0≤ x≤12)}$。
(3) 设点A的横坐标为$m$，则A点坐标为$(m, -\frac{1}{6}m^2 +2m)$，
∵ B在x轴上，$AB⊥ x$轴，
∴ $AB=DC=-\frac{1}{6}m^2 +2m$，$OB=m$，
根据抛物线对称性可知$CM=OB=m$，
∴ $BC=OM-OB-CM=12-2m$，即$AD=12-2m$，
∴ 三根木杆长度之和：
$L=AB+AD+DC$
$=(-\frac{1}{6}m^2 +2m)+(12-2m)+(-\frac{1}{6}m^2 +2m)$
$=-\frac{1}{3}m^2 +2m +12$
配方得$L=-\frac{1}{3}(m-3)^2 +15$，
∵ $-\frac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当$m=3$时，$L$取得最大值15。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$
(2) $y=-\frac{1}{6}x^2 +2x$（$0≤ x≤12$）（或$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2 +6$）
(3) 三根木杆长度之和的最大值为15米
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际施工场景考察二次函数的相关知识，解题关键是准确把握抛物线的几何特征，利用对称性建立长度和的函数关系，是二次函数应用类的典型题型，能有效考察知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
（1）第一问根据题意，OM是隧道宽度，长度为12米，O为原点，可得M点坐标；抛物线顶点是隧道最高点，高度为6米，且抛物线对称轴是OM的中垂线，由此可得顶点P的坐标。
（2）第二问已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再代入原点O的坐标求出参数a，整理即可得到抛物线的函数表达式。
（3）第三问设点A的横坐标为m，根据抛物线解析式可得到AB、DC的长度；利用抛物线对称性可求出AD的长度，将三根木杆长度相加得到关于m的二次函数，根据二次函数开口向下的性质，顶点处即可取得最大值，计算即可得结果。
【解析】
(1)
∵ OM为隧道宽度，长12米，O为坐标原点，
∴ M点坐标为$\boldsymbol{(12, 0)}$；
抛物线顶点为隧道最高点，高度6米，抛物线对称轴为OM的中垂线$x=6$，
∴ 顶点P坐标为$\boldsymbol{(6, 6)}$。
(2) 设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-6)^2+6$（$a≠0$），
∵ 抛物线过原点$O(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$a(0-6)^2+6=0$，即$36a+6=0$，解得$a=-\frac{1}{6}$，
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6$，展开整理得$\boldsymbol{y=-\frac{1}{6}x^2 +2x\ (0≤ x≤12)}$。
(3) 设点A的横坐标为$m$，则A点坐标为$(m, -\frac{1}{6}m^2 +2m)$，
∵ B在x轴上，$AB⊥ x$轴，
∴ $AB=DC=-\frac{1}{6}m^2 +2m$，$OB=m$，
根据抛物线对称性可知$CM=OB=m$，
∴ $BC=OM-OB-CM=12-2m$，即$AD=12-2m$，
∴ 三根木杆长度之和：
$L=AB+AD+DC$
$=(-\frac{1}{6}m^2 +2m)+(12-2m)+(-\frac{1}{6}m^2 +2m)$
$=-\frac{1}{3}m^2 +2m +12$
配方得$L=-\frac{1}{3}(m-3)^2 +15$，
∵ $-\frac{1}{3}＜0$，二次函数开口向下，
∴ 当$m=3$时，$L$取得最大值15。
【答案】
(1) $M(12,0)$，$P(6,6)$
(2) $y=-\frac{1}{6}x^2 +2x$（$0≤ x≤12$）（或$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2 +6$）
(3) 三根木杆长度之和的最大值为15米
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题结合实际施工场景考察二次函数的相关知识，解题关键是准确把握抛物线的几何特征，利用对称性建立长度和的函数关系，是二次函数应用类的典型题型，能有效考察知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
24 某飞碟在地面上方的A点处向上飞出，飞碟的飞行高度y(m)与时间t(s)之间的表达式为$y=-\frac{25}{18}t^2+\frac{5}{3}t+\frac{4}{5}$，飞碟的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图像如图所示抛物线，点B与点A的纵坐标相等，点A与点B的水平距离为5m，点C为飞碟的最高点。
（1）直接写出飞碟飞行
（2）求飞碟飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式。
（3）飞碟飞行中会遇到一棵1米高的小树，若小树距离飞碟出发点3.5米，问：飞碟能飞越小树吗？说明理由。
（1）直接写出飞碟飞行
$\dfrac{3}{5}$
秒后到达最大高度，最大高度为$\dfrac{13}{10}\ \mathrm{m}$
。（2）求飞碟飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式。
（3）飞碟飞行中会遇到一棵1米高的小树，若小树距离飞碟出发点3.5米，问：飞碟能飞越小树吗？说明理由。
答案
(1) $\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{13}{10}\ \mathrm{m}$
(2) 由题意得:A(0,4/5),C(5/2,13/10),设飞碟飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式为y=a(x-5/2)²+13/10,将A(0,4/5)代入表达式得:4/5=a×(-5/2)²+13/10,解得a=-2/25,所以飞碟飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式为y=-2/25(x-5/2)²+13/10。
(3) 能,理由如下:当x=3.5时,y=-2/25×(7/2 -5/2)²+13/10=61/50＞1,所以飞碟能飞越小树。
(2) 由题意得:A(0,4/5),C(5/2,13/10),设飞碟飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式为y=a(x-5/2)²+13/10,将A(0,4/5)代入表达式得:4/5=a×(-5/2)²+13/10,解得a=-2/25,所以飞碟飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的表达式为y=-2/25(x-5/2)²+13/10。
(3) 能,理由如下:当x=3.5时,y=-2/25×(7/2 -5/2)²+13/10=61/50＞1,所以飞碟能飞越小树。
解析
【分析】
（1）已知飞行高度y与时间t的函数是二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点即为最高点，利用二次函数顶点坐标公式可直接求出到达最大高度的时间和最大高度。
（2）要求y与x的函数表达式，首先确定点A坐标：x=0时的高度就是t=0时的y值；A、B纵坐标相等，说明两点关于抛物线对称轴对称，结合两点水平距离为5m，可得对称轴为$x=\frac{5}{2}$，最高点C的纵坐标就是（1）中所求的最大高度，因此可设顶点式解析式，代入A点坐标求出参数a即可。
（3）要判断能否飞越小树，只需将小树对应的水平距离x=3.5代入（2）中所求的解析式，算出对应高度y，与小树高度1m比较大小，若y＞1则能飞越，反之不能。
【解析】
（1）对于二次函数$y=-\frac{25}{18}t^2+\frac{5}{3}t+\frac{4}{5}$，其中$a=-\frac{25}{18}$，$b=\frac{5}{3}$。
到达最大高度的时间为顶点横坐标：$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{5}{3}}{2×(-\frac{25}{18})}=\frac{3}{5}\ \mathrm{s}$。
将$t=\frac{3}{5}$代入解析式得最大高度：$y=-\frac{25}{18}×(\frac{3}{5})^2+\frac{5}{3}×\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{13}{10}\ \mathrm{m}$。
（2）由题意得，当x=0时，对应t=0时的高度$y=\frac{4}{5}$，即A点坐标为$(0,\frac{4}{5})$；
A、B纵坐标相等，水平距离为5m，因此抛物线对称轴为$x=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}$，最高点C的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{13}{10})$。
设y与x的函数表达式为顶点式：$y=a(x-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{10}$，
将$A(0,\frac{4}{5})$代入得：$\frac{4}{5}=a×(-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{10}$，
解得$a=-\frac{2}{25}$，
因此y与x的函数表达式为$y=-\frac{2}{25}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{10}$。
（3）能飞越，理由如下：
当$x=3.5=\frac{7}{2}$时，代入解析式得：
$y=-\frac{2}{25}×(\frac{7}{2}-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{10}=\frac{61}{50}$，
因为$\frac{61}{50}＞1$，所以飞碟能飞越小树。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{13}{10}\ \mathrm{m}$
(2) $y=-\dfrac{2}{25}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{13}{10}$
(3) 能，理由见解析
【知识点】
二次函数顶点性质，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合飞行场景考查二次函数的基础应用，需要熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法、待定系数法求函数解析式，以及利用函数值解决实际判断问题，解题时注意结合图像的对称性找关键点坐标即可降低难度。
【难度系数】
0.7
（1）已知飞行高度y与时间t的函数是二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点即为最高点，利用二次函数顶点坐标公式可直接求出到达最大高度的时间和最大高度。
（2）要求y与x的函数表达式，首先确定点A坐标：x=0时的高度就是t=0时的y值；A、B纵坐标相等，说明两点关于抛物线对称轴对称，结合两点水平距离为5m，可得对称轴为$x=\frac{5}{2}$，最高点C的纵坐标就是（1）中所求的最大高度，因此可设顶点式解析式，代入A点坐标求出参数a即可。
（3）要判断能否飞越小树，只需将小树对应的水平距离x=3.5代入（2）中所求的解析式，算出对应高度y，与小树高度1m比较大小，若y＞1则能飞越，反之不能。
【解析】
（1）对于二次函数$y=-\frac{25}{18}t^2+\frac{5}{3}t+\frac{4}{5}$，其中$a=-\frac{25}{18}$，$b=\frac{5}{3}$。
到达最大高度的时间为顶点横坐标：$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{5}{3}}{2×(-\frac{25}{18})}=\frac{3}{5}\ \mathrm{s}$。
将$t=\frac{3}{5}$代入解析式得最大高度：$y=-\frac{25}{18}×(\frac{3}{5})^2+\frac{5}{3}×\frac{3}{5}+\frac{4}{5}=\frac{13}{10}\ \mathrm{m}$。
（2）由题意得，当x=0时，对应t=0时的高度$y=\frac{4}{5}$，即A点坐标为$(0,\frac{4}{5})$；
A、B纵坐标相等，水平距离为5m，因此抛物线对称轴为$x=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}$，最高点C的坐标为$(\frac{5}{2},\frac{13}{10})$。
设y与x的函数表达式为顶点式：$y=a(x-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{10}$，
将$A(0,\frac{4}{5})$代入得：$\frac{4}{5}=a×(-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{10}$，
解得$a=-\frac{2}{25}$，
因此y与x的函数表达式为$y=-\frac{2}{25}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{10}$。
（3）能飞越，理由如下：
当$x=3.5=\frac{7}{2}$时，代入解析式得：
$y=-\frac{2}{25}×(\frac{7}{2}-\frac{5}{2})^2+\frac{13}{10}=\frac{61}{50}$，
因为$\frac{61}{50}＞1$，所以飞碟能飞越小树。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{5}$，$\dfrac{13}{10}\ \mathrm{m}$
(2) $y=-\dfrac{2}{25}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{13}{10}$
(3) 能，理由见解析
【知识点】
二次函数顶点性质，待定系数法求解析式，二次函数实际应用
【点评】
本题结合飞行场景考查二次函数的基础应用，需要熟练掌握二次函数顶点坐标的求解方法、待定系数法求函数解析式，以及利用函数值解决实际判断问题，解题时注意结合图像的对称性找关键点坐标即可降低难度。
【难度系数】
0.7
