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25 已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像经过点A、B，与y轴相交于点C。
(1) 在如图情况下，a、c的符号之间有何关系？
(2) 如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证：a、c互为倒数。
(3) 在(2)的条件下，如果$b=-4$，$AB=4\sqrt{3}$，求a、c的值。
(1) 在如图情况下，a、c的符号之间有何关系？
(2) 如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证：a、c互为倒数。
(3) 在(2)的条件下，如果$b=-4$，$AB=4\sqrt{3}$，求a、c的值。
答案
(1) 由图可知:抛物线开口向下,即a＜0,又因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c＜0,因此a、c同号。
(2) 设A(m,0),B(n,0),抛物线的表达式y=ax²+bx+c中,令y=0,得ax²+bx+c=0,故OA·OB=mn=c/a。因为OC²=c²,若OA·OB=OC²,则c/a=c²,解得ac=1,所以a、c互为倒数。
(3) 由题意知:y=ax²-4x+1/a,则m+n=4/a,mn=1/a²。因为AB=4√3,即AB²=48,所以(n-m)²=48,即(m+n)²-4mn=48,16/a² -4/a²=48,解得a=±1/2。当a=1/2时,c=2;当a=-1/2时,c=-2,因此a、c的值分别为:1/2、2或-1/2、-2。
(2) 设A(m,0),B(n,0),抛物线的表达式y=ax²+bx+c中,令y=0,得ax²+bx+c=0,故OA·OB=mn=c/a。因为OC²=c²,若OA·OB=OC²,则c/a=c²,解得ac=1,所以a、c互为倒数。
(3) 由题意知:y=ax²-4x+1/a,则m+n=4/a,mn=1/a²。因为AB=4√3,即AB²=48,所以(n-m)²=48,即(m+n)²-4mn=48,16/a² -4/a²=48,解得a=±1/2。当a=1/2时,c=2;当a=-1/2时,c=-2,因此a、c的值分别为:1/2、2或-1/2、-2。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先根据抛物线开口方向判断a的符号，再根据抛物线与y轴交点的位置判断c的符号，即可得出a和c的符号关系。
2. 第(2)问：先设A、B两点的横坐标分别为m、n，由二次函数与一元二次方程的关系可知m、n是方程$ax^2+bx+c=0$的两个正根，根据根与系数的关系可得$OA·OB=mn=\frac{c}{a}$；再结合比例中项的性质得$OC^2=OA·OB$，OC的长度为$|c|$，代入化简即可证明a、c互为倒数。
3. 第(3)问：在(2)的结论下可得$c=\frac{1}{a}$，结合$b=-4$，利用根与系数的关系写出两根之和与两根之积的表达式，再根据AB的长度等于两根差的绝对值，将AB平方后转化为含两根和、两根积的式子，代入计算即可求出a、c的值。
【解析】
(1) 由图像可知：抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；抛物线与y轴交于负半轴，因此常数项$c＜0$，故a、c同号。
(2) 证明：设点A坐标为$(m,0)$，点B坐标为$(n,0)$，其中$m＞0,n＞0$。
令二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$，得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，m、n是该方程的两个正根。
根据根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，因此$OA·OB = m·n = \frac{c}{a}$。
线段OC的长度为$|c|$，由OC是OA、OB的比例中项可得$OC^2=OA·OB$，即$c^2 = \frac{c}{a}$。
因为抛物线与y轴交于点C，$c≠0$，等式两边同时除以c，得$c=\frac{1}{a}$，即$ac=1$，因此a、c互为倒数。
(3) 解：由(2)知$ac=1$，即$c=\frac{1}{a}$，又已知$b=-4$，因此二次函数解析式为$y=ax^2-4x+\frac{1}{a}$。
对于方程$ax^2-4x+\frac{1}{a}=0$，两根之和$m+n = -\frac{b}{a} = \frac{4}{a}$，两根之积$mn = \frac{c}{a} = \frac{\frac{1}{a}}{a} = \frac{1}{a^2}$。
已知$AB=4\sqrt{3}$，AB为两点横坐标之差的绝对值，因此$AB^2=(n-m)^2=(4\sqrt{3})^2=48$。
根据完全平方公式变形：$(n-m)^2=(m+n)^2-4mn$，代入得：
$(\frac{4}{a})^2 - 4×\frac{1}{a^2} = 48$
化简得：$\frac{16}{a^2} - \frac{4}{a^2} = \frac{12}{a^2} = 48$
解得$a^2=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$，即$a=±\frac{1}{2}$。
当$a=\frac{1}{2}$时，$c=\frac{1}{a}=2$；当$a=-\frac{1}{2}$时，$c=\frac{1}{a}=-2$。
【答案】
(1) a、c同号；
(2) a、c互为倒数，证明见解析；
(3) $a=\frac{1}{2},c=2$或$a=-\frac{1}{2},c=-2$
【知识点】
二次函数图像性质，根与系数的关系，比例中项的性质
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，结合了二次函数图像特征、二次函数与一元二次方程的联系、根与系数的关系等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，能够将线段长度关系转化为方程根的关系进行计算。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：先根据抛物线开口方向判断a的符号，再根据抛物线与y轴交点的位置判断c的符号，即可得出a和c的符号关系。
2. 第(2)问：先设A、B两点的横坐标分别为m、n，由二次函数与一元二次方程的关系可知m、n是方程$ax^2+bx+c=0$的两个正根，根据根与系数的关系可得$OA·OB=mn=\frac{c}{a}$；再结合比例中项的性质得$OC^2=OA·OB$，OC的长度为$|c|$，代入化简即可证明a、c互为倒数。
3. 第(3)问：在(2)的结论下可得$c=\frac{1}{a}$，结合$b=-4$，利用根与系数的关系写出两根之和与两根之积的表达式，再根据AB的长度等于两根差的绝对值，将AB平方后转化为含两根和、两根积的式子，代入计算即可求出a、c的值。
【解析】
(1) 由图像可知：抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$；抛物线与y轴交于负半轴，因此常数项$c＜0$，故a、c同号。
(2) 证明：设点A坐标为$(m,0)$，点B坐标为$(n,0)$，其中$m＞0,n＞0$。
令二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$，得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，m、n是该方程的两个正根。
根据根与系数的关系，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，因此$OA·OB = m·n = \frac{c}{a}$。
线段OC的长度为$|c|$，由OC是OA、OB的比例中项可得$OC^2=OA·OB$，即$c^2 = \frac{c}{a}$。
因为抛物线与y轴交于点C，$c≠0$，等式两边同时除以c，得$c=\frac{1}{a}$，即$ac=1$，因此a、c互为倒数。
(3) 解：由(2)知$ac=1$，即$c=\frac{1}{a}$，又已知$b=-4$，因此二次函数解析式为$y=ax^2-4x+\frac{1}{a}$。
对于方程$ax^2-4x+\frac{1}{a}=0$，两根之和$m+n = -\frac{b}{a} = \frac{4}{a}$，两根之积$mn = \frac{c}{a} = \frac{\frac{1}{a}}{a} = \frac{1}{a^2}$。
已知$AB=4\sqrt{3}$，AB为两点横坐标之差的绝对值，因此$AB^2=(n-m)^2=(4\sqrt{3})^2=48$。
根据完全平方公式变形：$(n-m)^2=(m+n)^2-4mn$，代入得：
$(\frac{4}{a})^2 - 4×\frac{1}{a^2} = 48$
化简得：$\frac{16}{a^2} - \frac{4}{a^2} = \frac{12}{a^2} = 48$
解得$a^2=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$，即$a=±\frac{1}{2}$。
当$a=\frac{1}{2}$时，$c=\frac{1}{a}=2$；当$a=-\frac{1}{2}$时，$c=\frac{1}{a}=-2$。
【答案】
(1) a、c同号；
(2) a、c互为倒数，证明见解析；
(3) $a=\frac{1}{2},c=2$或$a=-\frac{1}{2},c=-2$
【知识点】
二次函数图像性质，根与系数的关系，比例中项的性质
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，结合了二次函数图像特征、二次函数与一元二次方程的联系、根与系数的关系等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，能够将线段长度关系转化为方程根的关系进行计算。
【难度系数】
0.6
26 小佟同学在一个早晨拿出无人机(有前置摄像头)和可以录像的平板电脑,观测天空上的彩虹。他用平板电脑监控彩虹的影像,并且在数学软件中,选取地面上一点为原点,地面为$x$轴,建立平面直角坐标系$xOy$,变量$x$、$y$的单位均为千米。在观测过程中他发现天空中某一道彩虹对应的表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2 + bx + c(0 ≤ x ≤ 8)$,左端点为点$A(0,4)$,右端点为点$B(8,4)$。
(1) 求第一道彩虹的表达式和其对称轴。
(2) 小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影,投影可由原彩虹向右平移$m$千米,向上平移$n$千米得到,投影左端点为点$C$,且在第一道彩虹上,右端点为点$D$。一道太阳光射过来,小佟决定借此机会拍一张光效照片。他把无人机(看作一点$P$)驾驶到某一处,太阳光穿过点$B$和点$D$,落在前置摄像头上,呈现出五彩斑斓的效果。
① 若无人机在原点处,试用$n$表示$m$。
② 若无人机在原彩虹的对称轴上,求$\frac{DP}{BP}=\frac{9}{4}$时彩虹投影对应的抛物线表达式。
(1) 求第一道彩虹的表达式和其对称轴。
(2) 小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影,投影可由原彩虹向右平移$m$千米,向上平移$n$千米得到,投影左端点为点$C$,且在第一道彩虹上,右端点为点$D$。一道太阳光射过来,小佟决定借此机会拍一张光效照片。他把无人机(看作一点$P$)驾驶到某一处,太阳光穿过点$B$和点$D$,落在前置摄像头上,呈现出五彩斑斓的效果。
① 若无人机在原点处,试用$n$表示$m$。
② 若无人机在原彩虹的对称轴上,求$\frac{DP}{BP}=\frac{9}{4}$时彩虹投影对应的抛物线表达式。
答案
(1) 将点A(0,4),B(8,4)分别代入y=-1/16 x² +bx +c(0 ≤ x ≤ 8)中,得$\begin{cases} c=4, \\ -4+8b+c=4, \end{cases}$解得b=1/2,c=4,所以第一道彩虹的表达式为y=-1/16 x² +1/2 x +4,对称轴为直线x=4。
(2) ① 因为投影可由第一条彩虹向右平移m千米,向上平移n千米得到,点B(8,4),所以D(8+m,4+n),设直线OB:y=kx(k≠0),代入B(8,4),所以4=8k,解得k=1/2,所以直线OB:y=1/2 x。因为点D在直线OB上,所以4+n=1/2(8+m),所以m=2n;
② 第一条彩虹的表达式为:y=-1/16 x² +1/2 x +4=-1/16(x-4)²+5,所以对称轴为直线x=4,所以投影的表达式为:y=-1/16(x-4-m)²+5+n,把无人机(看作一点P),无人机在原彩虹的对称轴上,因为端点C在第一道彩虹上,所以C(m,-1/16 m² +1/2 m +4),过点B作直线MB,令直线MB平行于x轴,交对称轴于点M,过点D作DN ⊥ MB于N,所以BN=m,BM=4,因为DP/BP=9/4,所以BD/BP=5/4,因为DN平行于PM,所以△BMP ∽ △BND,所以BD/BP=BN/BM,即5/4=m/4,所以m=5,所以C(5,79/16),所以n=79/16 -4=15/16,所以投影的表达式为:y=-1/16(x-9)²+95/16。
解析
【分析】
(1) 已知二次函数的一般形式和两个过点坐标，采用待定系数法，将A、B两点坐标代入解析式，解二元一次方程组即可求得b、c的值，得到函数表达式；再通过对称轴公式或配方法即可求出对称轴。
(2) ① 根据平移“右加左减、上加下减”的坐标变化规律，得到平移后点D的坐标；无人机在原点说明O、B、D三点共线，先求出直线OB的解析式，再将D点坐标代入直线解析式，整理即可得到m与n的关系。
② 原彩虹对称轴为x=4，可知无人机P的横坐标为4；平移后的左端点C是点A平移得到，且C在原彩虹上，可得C点坐标的两种表达；结合$\frac{DP}{BP}=\frac{9}{4}$，作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出m的值，再代入求得n的值，最后根据平移规律写出投影的抛物线解析式即可。
【解析】
(1) 将点$A(0,4)$、$B(8,4)$分别代入$y=-\frac{1}{16}x^2 + bx + c(0 ≤ x ≤ 8)$中，得：
$\begin{cases} c=4, \\ -4+8b+c=4, \end{cases}$
解得$b=\frac{1}{2}$，$c=4$，因此第一道彩虹的表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2 +\frac{1}{2}x +4$。
二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{1}{2}}{2×(-\frac{1}{16})}=4$，即对称轴为直线$x=4$。
(2) ① 原彩虹向右平移m千米、向上平移n千米，因此点$B(8,4)$平移后得到$D(8+m,4+n)$。
无人机在原点，即O、B、D共线，设直线$OB:y=kx(k≠0)$，将$B(8,4)$代入得$4=8k$，解得$k=\frac{1}{2}$，即直线OB解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
点D在直线OB上，因此$4+n=\frac{1}{2}(8+m)$，整理得$m=2n$。
② 将原彩虹解析式配方得$y=-\frac{1}{16}(x-4)^2+5$，原对称轴为直线$x=4$，即点P横坐标为4。
平移后投影的解析式为$y=-\frac{1}{16}(x-4-m)^2+5+n$，点A平移后得到$C(m,4+n)$，且C在原彩虹上。
过点B作平行于x轴的直线，交原对称轴于M，过D作$DN ⊥ MB$于N，可得$BN=m$，$BM=8-4=4$。
因为$DN// PM$，所以$△ BMP ∽ △ BND$。已知$\frac{DP}{BP}=\frac{9}{4}$，则$\frac{BD}{BP}=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}$。
由相似性质得$\frac{BD}{BP}=\frac{BN}{BM}$，即$\frac{5}{4}=\frac{m}{4}$，解得$m=5$。
将$x=5$代入原彩虹解析式，得C点纵坐标为$\frac{79}{16}$，因此$n=\frac{79}{16}-4=\frac{15}{16}$。
代入投影解析式得$y=-\frac{1}{16}(x-9)^2+\frac{95}{16}$。
【答案】
(1) 第一道彩虹的表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2 +\frac{1}{2}x +4$，对称轴为直线x=4。
(2) ① $m=2n$；
② 彩虹投影对应的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{16}(x-9)^2+\frac{95}{16}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活情境，综合考查了二次函数、一次函数与相似三角形的相关知识，解题时需熟练掌握函数解析式求解方法、图形平移的坐标变化规律，能通过构造辅助线利用相似性质建立等量关系，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知二次函数的一般形式和两个过点坐标，采用待定系数法，将A、B两点坐标代入解析式，解二元一次方程组即可求得b、c的值，得到函数表达式；再通过对称轴公式或配方法即可求出对称轴。
(2) ① 根据平移“右加左减、上加下减”的坐标变化规律，得到平移后点D的坐标；无人机在原点说明O、B、D三点共线，先求出直线OB的解析式，再将D点坐标代入直线解析式，整理即可得到m与n的关系。
② 原彩虹对称轴为x=4，可知无人机P的横坐标为4；平移后的左端点C是点A平移得到，且C在原彩虹上，可得C点坐标的两种表达；结合$\frac{DP}{BP}=\frac{9}{4}$，作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出m的值，再代入求得n的值，最后根据平移规律写出投影的抛物线解析式即可。
【解析】
(1) 将点$A(0,4)$、$B(8,4)$分别代入$y=-\frac{1}{16}x^2 + bx + c(0 ≤ x ≤ 8)$中，得：
$\begin{cases} c=4, \\ -4+8b+c=4, \end{cases}$
解得$b=\frac{1}{2}$，$c=4$，因此第一道彩虹的表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2 +\frac{1}{2}x +4$。
二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{1}{2}}{2×(-\frac{1}{16})}=4$，即对称轴为直线$x=4$。
(2) ① 原彩虹向右平移m千米、向上平移n千米，因此点$B(8,4)$平移后得到$D(8+m,4+n)$。
无人机在原点，即O、B、D共线，设直线$OB:y=kx(k≠0)$，将$B(8,4)$代入得$4=8k$，解得$k=\frac{1}{2}$，即直线OB解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
点D在直线OB上，因此$4+n=\frac{1}{2}(8+m)$，整理得$m=2n$。
② 将原彩虹解析式配方得$y=-\frac{1}{16}(x-4)^2+5$，原对称轴为直线$x=4$，即点P横坐标为4。
平移后投影的解析式为$y=-\frac{1}{16}(x-4-m)^2+5+n$，点A平移后得到$C(m,4+n)$，且C在原彩虹上。
过点B作平行于x轴的直线，交原对称轴于M，过D作$DN ⊥ MB$于N，可得$BN=m$，$BM=8-4=4$。
因为$DN// PM$，所以$△ BMP ∽ △ BND$。已知$\frac{DP}{BP}=\frac{9}{4}$，则$\frac{BD}{BP}=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}$。
由相似性质得$\frac{BD}{BP}=\frac{BN}{BM}$，即$\frac{5}{4}=\frac{m}{4}$，解得$m=5$。
将$x=5$代入原彩虹解析式，得C点纵坐标为$\frac{79}{16}$，因此$n=\frac{79}{16}-4=\frac{15}{16}$。
代入投影解析式得$y=-\frac{1}{16}(x-9)^2+\frac{95}{16}$。
【答案】
(1) 第一道彩虹的表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2 +\frac{1}{2}x +4$，对称轴为直线x=4。
(2) ① $m=2n$；
② 彩虹投影对应的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{16}(x-9)^2+\frac{95}{16}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活情境，综合考查了二次函数、一次函数与相似三角形的相关知识，解题时需熟练掌握函数解析式求解方法、图形平移的坐标变化规律，能通过构造辅助线利用相似性质建立等量关系，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
