1.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,$D$为斜边$BC$上一点,且$BD=BA$,过点$D$作$BC$的垂线交$AC$于点$E$.求证:点$E$在$∠ ABC$的平分线上.

1. 证明:连接 BE,如答图.
$\because ED⊥ BC,\therefore ∠ BDE=∠ A=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ DBE$中,$\begin{cases} BE=BE,\\ BA=BD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ DBE(\mathrm{HL}),\therefore ∠ ABE=∠ DBE,$
$\therefore$点$E$在$∠ ABC$的平分线上.

2.如图，AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，AF平分∠BAE.求证：AF⊥CD.

2. 证明:如答图,连接 AC,AD.
在$△ ABC$和$△ AED$中,$\begin{cases} AB=AE,\\ ∠ B=∠ E,\\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS}),\therefore AC=AD,∠ BAC=∠ EAD.$
$\because AF$平分$∠ BAE,\therefore ∠ BAF=∠ EAF,$
$\therefore ∠ BAF-∠ BAC=∠ EAF-∠ EAD,\therefore ∠ FAC=∠ FAD.$
在$△ ACF$和$△ ADF$中,$\begin{cases} AC=AD,\\ ∠ FAC=∠ FAD,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore △ ACF≌△ ADF(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ AFC=∠ AFD.$
$\because ∠ AFC+∠ AFD=180°,\therefore ∠ AFC=90°,\mathrm{即 } AF⊥ CD.$

3.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线.求证:AB+AC＞2AD. 第3题图

3. 证明:如答图,延长 AD 至点 E,使 DE=AD,连接 CE.
$\because AD$为$BC$边的中线,$\therefore BD=CD.$
在$△ ABD$和$△ ECD$中,$\begin{cases} AD=ED,\\ ∠ ADB=∠ EDC,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS}),\therefore AB=EC.$
在$△ ACE$中,$\because AC+EC＞AE=2AD,$
$\therefore AB+AC＞2AD.$

4. 如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点. 求证:DE=2AM.

4. 证明:如答图,延长 AM 至点 N,使 MN=AM,连接 BN.
$\because M$为$BC$的中点,$\therefore CM=BM.$
在$△ AMC$和$△ NMB$中,$\begin{cases} AM=NM,\\ ∠ AMC=∠ NMB,\\ CM=BM, \end{cases}$
$\therefore △ AMC≌△ NMB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AC=NB,∠ C=∠ NBM.$
$\because AD=AC,\therefore AD=NB.$
$\because AB⊥ AE,AD⊥ AC,\therefore ∠ EAB=∠ DAC=90°,$
$\therefore ∠ EAD+∠ BAC=180°,$
$\therefore ∠ ABN=∠ ABC+∠ C=180°-∠ BAC=∠ EAD.$
在$△ EAD$和$△ ABN$中,$\begin{cases} AE=BA,\\ ∠ EAD=∠ ABN,\\ AD=BN, \end{cases}$
$\therefore △ EAD≌△ ABN(\mathrm{SAS}),\therefore DE=AN=2AM.$