8.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是 ()

A.24
B.30
C.36
D.42

8.B

【分析】
四边形ABCD为不规则图形，可将其拆分为△ABD和△BCD两个三角形分别求面积再相加。已知BD是∠ABC的角平分线，且∠BCD=90°（即DC垂直于BC），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过D作AB的垂线段，该垂线段长度与CD相等，即可得到△ABD的高，进而分别计算两个三角形面积求和。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，交AB于点E。
∵ BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得：DE = CD = 4。
分别计算两个三角形的面积：
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × CD = \frac{1}{2} × 9 × 4 = 18$，
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$，
因此四边形ABCD的面积为：$S_{ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 12 + 18 = 30$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题解题核心是利用角平分线的性质作辅助线得到△ABD的高，通过割补法将不规则四边形的面积转化为两个规则三角形的面积和，熟练掌握角平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

9.如图，在$△ ABC$中，D是BC的中点，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，垂足分别是E，F.
(1)若$BE=CF$，求证：AD是$△ ABC$的角平分线；
(2)若AD是$△ ABC$的角平分线，求证：$BE=CF$.

9. 证明:(1)$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore △ BDE$和$△ CDF$是直角三角形.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$$\therefore AD$是$△ ABC$的角平分线.
(2)$\because AD$是$△ ABC$的角平分线,$DE⊥ AB$于点E,$DF⊥ AC$于点F,$\therefore DE=DF$.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore BE=CF.$

【分析】
(1) 要证明AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DE=DF。已知D是BC中点可得BD=CD，且△BDE和△CDF都是直角三角形，结合已知条件BE=CF，可用HL定理证明两个直角三角形全等，得到DE=DF即可得证。
(2) 要证明BE=CF，可通过证明Rt△BDE≌Rt△CDF得到。已知AD是角平分线，根据角平分线的性质可得DE=DF，结合D是BC中点得BD=CD，两个三角形均为直角三角形，用HL定理证明全等，即可得到对应边BE=CF。
【解析】
(1) $\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore △ BDE$和$△ CDF$是直角三角形.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$$\therefore AD$是$△ ABC$的角平分线.
(2) $\because AD$是$△ ABC$的角平分线,$DE⊥ AB$于点E,$DF⊥ AC$于点F,$\therefore DE=DF$.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore BE=CF.$
【答案】
(1) 已证AD是$△ ABC$的角平分线；
(2) 已证$BE=CF$，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的性质，直角三角形全等判定(HL)
【点评】
本题两个小问互为逆命题，围绕角平分线的性质、判定和直角三角形全等的HL定理展开考查，解题核心是找准全等三角形的对应相等条件，通过证明全等得到对应边或距离相等，属于几何基础证明题，能帮助学生清晰掌握角平分线相关定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8

10.如图，在$△ ABC$中，D为BC的中点，$DE⊥ BC$交$∠ BAC$的平分线于点E，$EF⊥ AB$于点F，$EG⊥ AC$交AC的延长线于点G.BF与CG的大小如何？证明你的结论. 第10题图

10. 解:$BF=CG$. 证明如下:
如答图,连接$EB,EC$.
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线,$EF⊥ AB,EG⊥ AC$,
$\therefore EF=EG$.
$\because ED⊥ BC$于点D,D是BC的中点,$\therefore EB=EC$.
$\therefore \mathrm{Rt}△ EFB≌\mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL}),\therefore BF=CG.$

【分析】
要判断BF和CG的大小关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先结合已知条件：AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB、EG⊥AC，根据角平分线的性质可得到EF=EG；再由D是BC中点、DE⊥BC，可知DE是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，连接EB、EC可得EB=EC；此时BF和CG分别在Rt△EFB和Rt△EGC中，斜边和一组直角边对应相等，即可用HL证明两个直角三角形全等，从而得到BF=CG。
【解析】
证明：连接EB，EC。
∵ AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴ EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ ED⊥BC于点D，D是BC的中点，
∴ ED是BC的垂直平分线，
∴ EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ EFB$和$\mathrm{Rt}△ EGC$中：
$\begin{cases}EF=EG \\ EB=EC \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ EFB≌\mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL})$，
∴ $BF=CG$。
【答案】
$BF=CG$，证明如下：

【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形，综合考查了角平分线、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与应用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

11. 如图，△ABC的外角∠CAD的平分线与外角∠ACE的平分线交于点O，连接BO，OG⊥BE于点G.
(1)求证：∠BOG=∠AOC；
(2)若AB=5，BC=6，AC=4，求BG，CG的长.

11.(1)证明:如答图,作$OM⊥ BD$于点M,$ON⊥ AC$于点N.
$\because AO$平分$∠ CAD$,$\therefore OM=ON$.
同理,$ON=OG$,$\therefore OM=OG$.
$\because OG⊥ BE$,$\therefore BO$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ OBG=\frac{1}{2}∠ ABC$.
$\because ∠ BOG+∠ OBG=90°$,
$\therefore ∠ BOG=90°-∠ OBG=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$.
$\because ∠ BOC=∠ OCE-∠ OBE=\frac{1}{2}∠ ACE-\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ ACE-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ BAC$,
同理$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$,
$\therefore ∠ BOG=∠ AOC$.
(2)解:在$△ BMO$和$△ BGO$中,$\begin{cases} ∠ MBO=∠ GBO, \\ ∠ BMO=∠ BGO, \\ BO=BO, \end{cases}$
$\therefore △ BMO≌△ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore BM=BG$.
同理$AM=AN$,$CN=CG$. 设$CN=CG=x$.
$\because AB=5$,$BC=6$,$AC=4$,
$\therefore BM=BG=6+x$,$AM=AN=4-x$.
$\because AB+AM=BM$,$\therefore 5+4-x=6+x$,解得$x=1.5$,
$\therefore BG=6+x=7.5$,$CG=x=1.5$.

【分析】
(1) 要证明∠BOG=∠AOC，可将两个角分别转化为和∠ABC相关的表达式：首先过点O作OM⊥BD于M、ON⊥AC于N，根据角平分线的性质可得OM=ON=OG，由此判定BO是∠ABC的平分线，推导出∠BOG=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC；再结合三角形内外角的关系，推导∠AOC也等于90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，即可证明两角相等。
(2) 求BG、CG的长度时，可利用角平分线的性质证明对应三角形全等，得到BM=BG、AM=AN、CN=CG，设CG为未知数，用含未知数的式子表示各线段长度，再根据线段的和差关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：如答图，作$OM⊥ BD$于点M，$ON⊥ AC$于点N。
∵ AO平分$∠ CAD$，OM⊥BD，ON⊥AC，
∴ OM=ON（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，CO平分$∠ACE$，ON⊥AC，OG⊥BE，
∴ ON=OG，
∴ OM=OG。
∵ OM⊥BD，OG⊥BE，且OM=OG，
∴ BO平分$∠ ABC$（到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴ $∠ OBG=\frac{1}{2}∠ ABC$。
∵ OG⊥BE，
∴ $∠ BOG+∠ OBG=90°$，
∴ $∠ BOG=90°-∠ OBG=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$。
∵ $∠ BOC=∠ OCE-∠ OBE=\frac{1}{2}∠ ACE-\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ ACE-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ BAC$，
同理可得$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴ $∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$，
∴ $∠ BOG=∠ AOC$。
(2) 解：在$△ BMO$和$△ BGO$中，
$\begin{cases} ∠ MBO=∠ GBO, \\ ∠ BMO=∠ BGO=90°, \\ BO=BO, \end{cases}$
∴ $△ BMO≌△ BGO(\mathrm{AAS})$，
∴ $BM=BG$。
同理可证$△AMO≌△ANO$，得$AM=AN$；$△CNO≌△CGO$，得$CN=CG$。
设$CN=CG=x$，
∵ $AB=5$，$BC=6$，$AC=4$，
∴ $BM=BG=BC+CG=6+x$，$AM=AN=AC-CN=4-x$，
又
∵ $BM=AB+AM$，
∴ $5+4-x=6+x$，解得$x=1.5$，
∴ $BG=6+x=6+1.5=7.5$，$CG=x=1.5$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $BG=7.5$，$CG=1.5$

【知识点】
1. 角平分线的性质与判定
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形内外角关系
【点评】
本题是角平分线相关的典型综合题，结合了角平分线性质、全等判定、三角形角度关系等多个知识点，解题的核心是通过作垂直辅助线构造角平分线模型，第二问利用线段等量关系设未知数列方程是这类线段求解问题的常用技巧，需要熟练掌握相关性质才能灵活应用。
【难度系数】
0.6