8.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是 ()

A.24
B.30
C.36
D.42

8.B

9.如图，在$△ ABC$中，D是BC的中点，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，垂足分别是E，F.
(1)若$BE=CF$，求证：AD是$△ ABC$的角平分线；
(2)若AD是$△ ABC$的角平分线，求证：$BE=CF$.

9. 证明:(1)$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore △ BDE$和$△ CDF$是直角三角形.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$$\therefore AD$是$△ ABC$的角平分线.
(2)$\because AD$是$△ ABC$的角平分线,$DE⊥ AB$于点E,$DF⊥ AC$于点F,$\therefore DE=DF$.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),\therefore BE=CF.$

10.如图，在$△ ABC$中，D为BC的中点，$DE⊥ BC$交$∠ BAC$的平分线于点E，$EF⊥ AB$于点F，$EG⊥ AC$交AC的延长线于点G.BF与CG的大小如何？证明你的结论. 第10题图

10. 解:$BF=CG$. 证明如下:
如答图,连接$EB,EC$.
$\because AE$是$∠ BAC$的平分线,$EF⊥ AB,EG⊥ AC$,
$\therefore EF=EG$.
$\because ED⊥ BC$于点D,D是BC的中点,$\therefore EB=EC$.
$\therefore \mathrm{Rt}△ EFB≌\mathrm{Rt}△ EGC(\mathrm{HL}),\therefore BF=CG.$

11. 如图，△ABC的外角∠CAD的平分线与外角∠ACE的平分线交于点O，连接BO，OG⊥BE于点G.
(1)求证：∠BOG=∠AOC；
(2)若AB=5，BC=6，AC=4，求BG，CG的长.

11.(1)证明:如答图,作$OM⊥ BD$于点M,$ON⊥ AC$于点N.
$\because AO$平分$∠ CAD$,$\therefore OM=ON$.
同理,$ON=OG$,$\therefore OM=OG$.
$\because OG⊥ BE$,$\therefore BO$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ OBG=\frac{1}{2}∠ ABC$.
$\because ∠ BOG+∠ OBG=90°$,
$\therefore ∠ BOG=90°-∠ OBG=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$.
$\because ∠ BOC=∠ OCE-∠ OBE=\frac{1}{2}∠ ACE-\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ ACE-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ BAC$,
同理$∠ AOB=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC+∠ AOB=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$,
$\therefore ∠ BOG=∠ AOC$.
(2)解:在$△ BMO$和$△ BGO$中,$\begin{cases} ∠ MBO=∠ GBO, \\ ∠ BMO=∠ BGO, \\ BO=BO, \end{cases}$
$\therefore △ BMO≌△ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore BM=BG$.
同理$AM=AN$,$CN=CG$. 设$CN=CG=x$.
$\because AB=5$,$BC=6$,$AC=4$,
$\therefore BM=BG=6+x$,$AM=AN=4-x$.
$\because AB+AM=BM$,$\therefore 5+4-x=6+x$,解得$x=1.5$,
$\therefore BG=6+x=7.5$,$CG=x=1.5$.